Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями

Введение. В настоящее время всё больше внимания уделяется исследованиям колебаний неоднородных стержней, в том числе стержней с надрезом, моделирующим трещинообразный дефект. Эти модели важны для решения обратных задач динамики упругих конструкций [1, 2]. При этом отметим, что достаточно подробно исследованы задачи с полостью в стержне, проведены исследования и эксперименты по идентификации размеров и местоположения полости в стержне [3, 4], предложены формулы для определения поправок для резонансных частот. Кроме того, отметим цикл работ по исследованию задач об изгибных колебаниях балок с трещинами и разрезами [5—7]. При этом для адекватной постановки задачи требуется модификация граничных условий [8] в задаче для балки с надрезом.

В настоящей работе представлен способ формулировки асимптотически точных условий сопряжения, моделирующих тонкий разрез, при анализе поперечных колебаний консольно закреплённого стержня. Проведён анализ точности полученных условий на амплитудно-частотные зависимости и резонансные частоты.

Задача для трёхэлементной балки. Рассмотрим установившиеся колебания с частотой оо упругой балки длины L , ослабленной тонким надрезом длины 2/ с центром в точке х₀. Будем считать, что балка на конце х = 0 жёстко закреплена, а на конце х = L действует сосредоточенная сила. Уравнение колебаний неоднородной балки имеет вид [9]:

^Е1 (х)и/"(х))" -рсо2Л(х)и/(х) = О где Е — модуль Юнга; I — момент инерции; р — плотность; F — площадь поперечного сечения. Соответствующие граничные условия имеют вид:

и/(0) = и/'(0) = 0; £/(£)• и/" (£) = 0; (EI(xyw"(x^

Для упрощения постановки задачи рассмотрим сначала модель трёхэлементной балки, на каждом участке которой характеристики постоянны:

Рис. 1. Консольно закреплённая балка с тонким разрезом

Считая модуль Юнга величиной постоянной по всей длине балки (Е -const), будем искать решение задачи на каждом промежутке (для простоты считаем, что поперечное сечение балки — прямоугольник шириной b и высотой Н на неповреждённом участке и высоты h в ослабленном месте)

IV

РОУД n

"ЙГ”' =0

Г- Г-        I Г- uu т т где F,=F2=bH, F0=bh,Ix=I2= — ,I0= — .

Условия сопряжения и граничные условия для системы (1) имеют вид м_т (0) = 0, w' (0) = 0,

^ (x0-l) = w0 (x0-l),w[(x0-l) = w^ (х0 -/), I^(xo-l) = IoW^xo-iyi^

w₀ (x₀+l) = w₂ (x₀ +/),w' (x₀ +/) = w' (x₀ +/), I_oWo(x_o + l) = I₂w^x₀ +Г),1Х(х₀ +^ = I₂W^X_Q +/),

Попробуем упростить решение задачи, сформулировав для двухэлементной балки модифицированные граничные условия в месте наличия надреза. Для получения условий стыковки на концах разреза представим функцию и/0 в следующем виде:

и/0 (%) = Л^И^^ -х0)) + 4 cos(A-(x -х0)) + 4 sh(A-(x -%0)) + Д sin(A-(x -%0)j,     (3)

где к⁴ =

12рсо² Eh⁷

Используя граничные условия (2), получаем следующие равенства, связывающие граничные значения функций w_T и и/₂ на краях разреза:

w2 (^о +0 = (/1i+A) + (4+A)^

^w2 (.Xo+I^^A-^k^l+^+^k;

i₂w"(x_o+l) = i_o ((4 -4)^² +(4 - А)^³/);

/2и^(хо+/) = /о((АМ)^/Ч4-А)Н;

^1 (*о-О = (А+4)-(4+А)^;

и^/1'(*о-/) = -(А-4)^^2/ + (4+4)^

1Х(х₀-П = 1₀ ((4 -4)^² -(4-4)^);

7X^o-/) = 4(4AM)fr4/ + (4-A)fr3)-

Исключив из получившихся соотношений произвольные постоянные ^,4,4,^, характеризую щие участок надреза, получаем следующие условия, связывающие соответствующие значения производных слева и справа от разреза:

IV1 (х0 -/)- и/2 (х0 + /) + /(и< (х0 -/) + iv' (х0 + /)) = 0;

И/; (х₀ - /) - IV' (х₀ + /) + / ■ ^(^"(^0 - 0 + ^W2 (^%0 + 0) = °'

7W0 - /) - IV" (х₀ +/)) + /• ^(^Г(х₀ - /) + iv'"(x₀ + /)) = 0;              ^W

^(«Л - /) - и/'"(х₀ + /)) + k⁴l (и^ (х₀ - /) + iv₂ (х₀ + /)) = 0.

Раскладывая в соотношениях (4) выражения для функций в ряд с точностью до О(/2) в окрест ности х0, получим следующие равенства

/2                                           /2

w^x^-b w; (х₀) + у <(х₀) - iv₂ (х₀) - / ■ IV' (х₀) - у tv"(x₀) + ^+/ • (^W1 (^0 ) - / • ^Wl" (*0 ) ^{+ W}2 (Л ) ^{+ Z} ' ^W2 (*0 )) = 0;

и/; (x₀ ) - / • < (x₀) + у iv;"(x₀) - IV' (x₀ ) - / ■ IV " (x₀) - у IV'"(x₀) +

+/ • Y (и/7 (^0 ) - / • Wll^O ) + ^2 (^%0 ) + / • И/2"(^0 )) = 0;

W" (^0 ) - / • <(^o ) + J • И/Г (^0 ) - ^2 (^X0 ) - / • И/2"(^о ) +

+у •^w" (^o) + / • (^1"(^O) - / • ^wl^V (^o) + ^"'(^0) + / • ^w" (^o)) = 0; IV^Xo ) - W '"(x₀ ) + k^t ■ ^(iv, (x₀ ) + iv₂ (x₀ )) = 0.

Упростив, окончательно получаем следующие условия сопряжения:

Сохраняя в (5) слагаемые с точностью до С>(/2), получаем окончательно условия сопряжения на концах разреза для сечения в виде прямоугольника:

• 1.    (х₀)-^₂(х_о) = О;

• 2.    w; (х₀) - w' (х₀) + 2/ (У- -1)<(x₀) = 0;

• 4.    w^x₀) - w^x₀) +       ■ hlw, (х₀ ) = 0.

(6) 3

ЕП

В случае исчезающе малого тонкого разреза, где / ^ 0, в условиях 2 и 4 в (6) выполняется предельный переход, и они сводятся к традиционным.

В таблице 1 показано, как изменяется невязка при выполнении каждого из условий (6) с изменением длины разреза; в таблице 2 показано, как изменяется невязка при изменении глубины разреза; в таблице 3 показано, как изменяется значения невязки каждого из условий для различных точек разреза х₀.

Таблица 1

Значение невязок условий сопряжения при различных / для х₀ = 0,5

/ L	Н h	Значения невязок для соответствующих условий сопряжения в процентах
		1	2	3	4
0,1	2	60,02	5,81	22,34	5,99
0,05	2	23,69	3,76	10,81	1,49
0,01	2	3,81	1,21	2,10	0,06
0,005	2	0,18	0,63	1,05	0,01
0,001	2	0,03	0,13	0,21	0,0006

Таблица 2

Значение невязок условий сопряжения при различных значениях глубины разреза для х₀ =0,5

/ L	Н h	Значения невязок для соответствующих условий сопряжения в процентах
		1	2	3	4
0,01	1,11	3,66	1,21	2,07	0,003
0,01	1,25	3,67	1,21	2,07	0,005
0,01	1,43	3,70	1,21	2,07	0,01
0,01	1,67	3,73	1,21	2,08	0,02
0,01	2	3,81	1,21	2,10	0,06
0,01	2,5	3,96	1,22	2,18	0,17

Таблица 3

Значение невязок условий сопряжения для различных значений точки разреза

/ L	н h	xQ	Значения невязок для соответствующих условий сопряжения в процентах
			1	2	3	4
0,01	2	0,1	28,92	9,52	1,16	0,02
0,01	2	0,2	11,67	4,31	1,3	0,03
0,01	2	0,3	7,10	2,61	1,49	0,04
0,01	2	0,4	5,01	1,74	1,75	0,05
0,01	2	0,5	3,81	1,21	2,10	0,06
0,01	2	0,6	3,03	0,83	2,63	0,07
0,01	2	0,7	2,48	0,54	3,50	0,07
0,01	2	0,8	2,07	0,31	5,21	0,08
0,01	2	0,9	1,75	0,11	10,12	0,08

Нетрудно заметить, что при увеличении длины или глубины разреза (Н >3h) погрешность возрастает, что требует более сложных моделей изгиба балки, например, модели типа Тимошенко [9].

Задача для двухэлементной балки. С помощью выведенных условий сопряжения (4) можно исследовать задачу о колебаниях двухэлементной балки, то есть балки с тонким разрезом, которой соответствует система двух дифференциальных уравнений, а вместо граничных условий (2) для трёхэлементной балки выступают полученные условия сопряжения (6).

Сравним полученное решение для двухэлементной балки и точное решение для трёхэлементной балки, а в качестве критерия выберем значение смещения на свободном конце (и/₂(£)) при различных значениях безразмерной частоты к.

Рис. 2. Сравнение значений w₂(L) при значениях к до первого резонанса для Н = 0,1, h = 0,05, / = 0,01: 1 — решение для трёхэлементной балки, 2 — решение для двухэлементной балки

Рис. 3. Сравнение значений w₂(L) при значениях к после первого резонанса для Н = 0,1, h = 0,05, / = 0,01:

1 — решение для трёхэлементной балки, 2 — решение для двухэлементной балки

Как проиллюстрировано на рисунках 2 и 3, погрешность решения увеличивается в окрестности резонанса, но при этом на других участках не превышает 5 %.

В таблице 4 показаны значения резонансных частот для точного решения задачи с использованием трёхэлементной балки и решения задачи для двухэлементной балки, построенного с использованием полученных условий сопряжения.

Таблица 4

Сравнение значений резонансных частот для трёхэлементной и двухэлементной балок

/ L	н h	Значения резонансных частот для
		трёхэлементной балки	двухэлементной балки
0,01	1,11	1,873	1,870
0,01	1,25	1,869	1,868
0,01	1,43	1,861	1,864
0,01	1,67	1,844	1,858
0,01	2	1,802	1,844
0,01	2,5	1,692	1,815

Как видно из приведённой таблицы, при малой глубине разреза значения резонансных частот отличаются незначительно, а при увеличении глубины разреза разница между резонансными частотами растёт.

Заключение. Рассмотрена модель трёхэлементной балки, характеристики которой постоянны на каждом участке. Получено точное аналитическое решение, формирующееся из решений задачи на каждом промежутке. Представлен способ формулировки условий сопряжения на концах тонкого разреза. Сформулированы адекватные модифицированные условия сопряжения на концах тонкого разреза. Проведён ряд численных экспериментов по оценке точности полученных условий, в которых продемонстрирована адекватность полученных условий. Результаты вычислительных экспериментов позволили оценить влияние параметров пропила на точность сформулированных условий сопряжения. Выполнено сравнение резонансных частот для трёхэлементной и двухэлементной балок.