Поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении

В статье исследуются поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении. Модель учитывает натяжение каната, из-гибную жёсткость и сопротивление внешней среды. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов с движущимися границами и нагрузками [1-20]. Такие объекты широко распространены в технике. Это канаты грузоподъёмных установок [2, 9, 13, 20], гибкие звенья передач [1, 8, 17], балки [3, 18], лентопротяжные механизмы [14], конвейеры [16] и т.д. Наличие движущихся границ делает неприменимыми к решению таких краевых задач классические методы математической физики, поэтому они в настоящее время изучены недостаточно.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Схема объекта изучения изображена на рис. 1.

Уравнение, учитывающее изгибную жёсткость, натяжение каната и сопротивление внешней среды, имеет вид:

u_tt(x,t)+bu_xxxx(x,t)–a²u_xx(x,t)+Gu_t(x,t)= 0.     (1)

Рис. 1. Схема объекта

Здесь u(x,t) – поперечное смещение точки каната с координатой x в момент времени t ; b =(EI)/ р ( E – модуль упругости материала каната; I – осевой момент инерции сечения каната, р - масса единицы длины каната); a ² = T/ р ( T - натяжение каната); G – коэффициент сопротивления среды (сила, действующая на единицу длины струны при единичной скорости поперечного движения).

Граничные условия имеют вид: u(vt, t) = 0; u(vt + l,t) = 0;

u^vt, t) = 0; uxx(vt + l,t) = 0, где v - скорость продольного движения каната, l – длина колеблющейся части.

Введем безразмерные переменные:

и(х, t) = U(f, т);   f = 2к(^ Vt) ;

^к^а2 — v2 т =------1-------t-

В результате получим задачу с условиями, заданными на неподвижных границах:

U_TT(f,r) + ^Uffff(f,r) - U ff (f,T) -

-уи^,^ +2UT(f,T) -^U^f,^ = 0;

U(0,t) = 0;U(2^,t) = 0;

U_ff(0,T) = 0; U^(2k,t) = 0.

Здесь

GZ

^   / 2 (_а 2 -_у 2 )^;Я V;^ .-.'

^2v            GvZ

Четыре коэффициента уравнения (1) могут быть выражены через три безразмерных параметра:

a = "._fl = f^._n = _5L a Z²a² 2ла

Параметры характеризуют: a - скорость продольного движения каната; 9 - изгибную жёсткость; D – сопротивление среды.

Через безразмерные параметры коэффициенты уравнения (3) выражаются следующим образом:

п 9          2“

1 - a2 . Vl-a2 .

.             ^         ^

Vl-a2    1 - a2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решим задачу (3), (4) без учёта изгибной жёсткости ( в = 0). Решение будем искать в виде:

Шеи /^К^ .

Для нахождения функции ^(f) получим следующую краевую задачу:

/( f) + (уш + ^)^ ' (f) - (ш² + 2w)Xf) = 0; (5)

^(0) = 0 ;^(2я) = 0.          (6)

Решение задачи (5-6) не представляет затруднений. В результате решения получено выражение для собственных частот колебаний:

у^ + 2Я.

ш„ = -      + п у2 + 4

7⁽У² +4⁾⁽п² +^²⁾ - (у^ + 2Л)²

^+t             у²+4              .

Здесь i – мнимая единица; n – порядковый номер частоты. Действительная часть выражения (7) характеризует затухание колебаний, а мнимая частоту.

При отсутствии затухания ( X = п = 0) выражение (7) примет вид:

^

^ш п    I —--- .               (8)

7 у² + 4

При этом собственные функции определяются выражением:

,(f) = sin(tl22Z)2£) + sln((1^2Z)2£).

Как изменяются собственные функции ^(f) в зависимости от параметра a, показано на рис. 2.

Анализ рисунка 2 показывает, что чем больше скорость движения каната, тем больше искажаются собственные функции. Искажение

^ А

a = 0

1.5

a = 0.4

0.5

a = 0.6

a = 0.8

-0.5

a = 0.9

2 л:

-1 0

f

Рис. 2. Зависимость собственных функций от скорости продольного движения каната

происходит на границе, движущейся навстречу бегущим волнам.

Решим задачу (3, 4) с учётом изгибной жёсткости, но без учета затухания ( λ = η = 0). Решение будем искать в виде

^(еа)   п(()г"-^, где i – мнимая единица.

Для определения ^(е) получим следующую задачу:

/^""(f) - ^"(f) - /уш^ ' (е) - ш²О — 0 ; (9)

Объединяя члены при p и –p с учётом (11) и краевых условий (10) , получим систему двух линейных уравнений относительно µ ₁и f ₃: д(2л) — ^(0) — 2Л ^F(0) + 2(F(-P) + F(p))) — 0;

^(0) — 0; ^(2л) — 0; ^"(0) — 0; ^"(2л) — 0. (10)

Для решения предполагается использовать дискретное интегральное преобразование Фурье. При применении преобразования к задаче (9,10) ряд для ^" ( f ) получается расходящимся. Для улучшения сходимости введем новую функцию:

/(е) = ^(е)+^21е-^2-е3+^2-е4, <и> где ^1 — ц(2л) -^'(0).

Функция /(f) удовлетворяет условиям: /(0) — 0 ;/(2л) — 0; /"(0) — 0;

д" ( 2л ) — £(0 ) — -2^F ( 0 ) + 2 P ² (F ( -p ) +F ( p ) ) ) — 0.

Из равенства нулю определителя системы получается уравнение собственных частот:

<6

^^^^^в

со

22 — р^^А р

/А р

^^^^^в

^в р ²

СО

'>2

-Арр2 + (3.28991р2 + 1)(Арш2 + В2)

р²(А р ²-В р ²)

+

со

+

2 /А р р² рт1 ^А р ^{2 -} В

* (12.98778 - А--ш2

*

1 р

3.28991 ш2

''

'

'

/ (2л) — 0; / (2л) — / (0).

Это улучшает сходимость получаемых далее рядов.

Относительно /(^) получим следующую задачу:

//""(/) - /"(/) - «Гш/'(О - ш2/(е) —

, 12/    1 .      / 6     ш2         -6  , .     3 ч

^{М 1 (} (2л)³  2 ^{1/Ш +} у(2л)²   2 2 ⁺ \(2л)^{3 + 1/Ш} (2л)²) ^ ⁺

+ (т^-     ^ш)е3- лтЩ^о4);

\ (2л)2 (2л)3            2(2л)3

/(0) — 0 ;/(2л) — 0; /"(0) — 0; /"(2л) — 0.

Для решения задачи используем дискретное интегральное преобразование Фурье:

2л

F(p) — I /(f) e^df; р — 0, ±1, ±2...... о

В результате применения преобразования получим:

F(p) —

-//₃ + 0.3039бР | (-р² + (/шр + ш²)(3.28991р² + 1))

/р4 + р2 — /шр — ш2

;

со

+2Z р=1

-Арр2 + (3.28991р2 + 1)(Арш2 + В2).

р4(Ар2-Вр2)

■ )•

Здесь Ар — /р4 + р2

— ш2;Вр — ушр.

Решим задачу (3), (4) методом Канторовича-Галеркина. Решение будем искать в виде:

^(е,т) — ^(е)ешт.

Для определения ^(^) получим следующую задачу:

L[д(е>1 — /^""(0 - ^"(е) - (уш+^)^ ' (е) +

+ (ш2 + шЛ)^^) — 0 ; ^(0) — 0 ; ^(2л) — 0;

р = ±1,±2...

F(0) — ^ /3 + 0.30396^ (12.98788

—

£ ш2

—

3.289905 \

Ш2   /

/(0) — 0; /(2л) — 0.

Функцию ^(f) возьмём в виде: ^ю — с^ю + GMf), где £(0 ^{— s}iⁿ |" ^; M₂ ( ^{f ) — s}iⁿ* >". Данные функции удовлетворяют граничным условиям (15) и являются первой и второй собственными функциями задачи (3), (4) в случае, когда продольное движение каната отсутствует.

Согласно методу Канторовича-Галеркина, произвольные постоянные C ₁ и C ₁ находятся из следующей однородной системы линейных алгебраических уравнений:

2л

I LLOIM^M —0;

J 0

'"

'"

где /₃—/ ( 2 л ) -/ ( 0 ) .

Обратное интегральное имеет вид:

преобразование

ОО

/(f)—    2 F(p> _e-^iрf

2л

.

2л

I ALOWfW —0. 0

Дифференциальный оператор L[^(f)1 определяется выражением (14).

Произведя интегрирование и приравняв определитель системы к нулю, получим уравнение собственных частот:

w⁴ + 2Лы³ + w² ( 1.0625^ + 0.36025y² + 1.25 ) +

+w(A(1.06250 + 1.25) + 0.72051y^) + (16)

((0.0625^ + 0.25)(^ + 1) + 0.36025^2) = 0.

Данное уравнение позволяет получить две первые собственные частоты поперечных колебаний каната.

Уравнение (13) было решено численно при различных значениях параметров а и 9 . Результаты вычислений приведены в табл. 2. При 9 = 0 ряды, входящие в уравнение (13) расходятся, поэтому значения частот были вычислены по формуле (8).

Уравнение (16) решалось в среде MATLAB. Для оценки точности метода Канторовича-Га-леркина уравнение (16) было решено для случая отсутствия затухания ( X = п = 0 ). Результаты вычислений приведены в табл. 1. При каждом значении а приведены следующие частоты: точное значение первой собственной частоты, точное значение второй собственной частоты, приближённое значение первой собственной частоты, приближённое значение второй собственной частоты. В таблице жирным шрифтом выделены приближённые частоты имеющие погрешность более 5%.

Анализ табличных данных показывает, что погрешность частот, полученных методом Кан-торовича-Галеркина, увеличивается с увеличением а и уменьшается с увеличением 9 . Погрешность вторых собственных частот больше чем первых.

Уравнение (13) позволяет получить любую собственную частоту. Например, при а = 0.4 и 9 = 2 получены следующие собственные частоты:

w1 = 0.7770; w2 = 2.7063; w3 = 5.8510;

w4 = 10.2345; w5 = 15.8673;w6 = 22.7436

Уравнение (16) позволяет учесть затухание ( D Ф 0 ). Например, для параметров а = 0.8; 9 = 2; D = 0.1 получены следующие частоты:

w1 = —0.0626+ 0.7543 Z;

w2 = -0.0626+ 2.8476i.

Действительная часть частот характеризует затухание колебаний, а мнимая частоту.

Если w_n безразмерная частота (задача (3),

(4)), то частота исходной задачи (1), (2) находит- ся по формуле:

П+

л(а² — v²)Pw_n Zu

Таблица 1. Результаты вычислений

0 a	0	2	4	6	8	10	примечания
	0.5	0.6124	0.7071	0.7906	0.8660	0.9354	ш^точн.)
0	1	1.7321	2.2361	2.6458	3,0000	3.3166	ш2 (точн.)
	0.5	0.6124	0.7071	0.7906	0.8660	0.9354	^(прибл.)
	1	1.7321	2.2361	2.6458	3,0000	3.3166	ш2 (прибл.)
	0.4899	0.6140	0.7130	0.7993	0.8769	0.9487	^(точн.)
0.2	0.9798	1.7576	2.2747	2.2747	3.0565	3.3805	ш2 (точн.)
	0.4815	0.6099	0.7099	0.7968	0.8749	0.9465	шг (прибл.)
	1.0383	1.7753	2.2876	2.7048	3.0657	3.3885	ш2 (прибл.)
	0.4583	0.6179	0.7304	0.8274	0.9137	0.9913	шг (точн.)
0.4	0.9165	1.8430	2.4056	2.8586	3.2485	3.5968	ш2 (точн.)
	0.4323	0.6046	0.7214	0.8196	0.9066	0.9857	шг (прибл.)
	1.1565	1.9206	2.4624	2.9055	3.2896	3.6334	ш2 (прибл.)
	0.4000	0.6334	0.7770	0.8953	1.0001	1.0932	шг (точн.)
0.6	0.8000	2.0419	2.7063	3.2340	3.6870	3.3960	ш2 (точн.)
	0.3598	0.6052	0.7558	0.8780	0.9842	1.0796	шг (прибл.)
	1.3896	2.2393	2.8513	3.3542	3.7912	4.1829	ш2 (прибл.)
	0.3000	0.7013	0.9205	1.0942	1.2435	1.3764	шг (точн.)
0.8	0.6000	2.5899	3.5133	4.2350	4.8481	5.3913	ш2 (точн.)
	0.2584	0.6485	0.8777	1.0576	1.2109	1.3468	шг (прибл.)
	1.9352	3.0485	3.8532	4.5168	5.0948	5.6135	ш2 (прибл.)
	0.0705	2.1796	3.2835	4.1177	4.8151	5.4242	шг (точн.)
0.99	1.1411	10.3101	14.4443	17.6036	20.2682	22.6175	ш2 (точн.)
	0.0588	1.9451	3.0599	3.9129	4.6256	5.2487	шг (прибл.)
	8.4981	13.2371	16.6261	19.4233	21.8623	24.0390	ш2 (прибл.)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье произведен анализ колебаний каната движущегося в продольном направлении. Модель учитывает натяжение каната, изгибную жёсткость и сопротивление внешней среды. Решение произведено точным и приближённым методами, что позволяет оценить применимость метода Канторовича-Галеркина для описания колебаний систем с движущимися границами. Полученные количественные результаты могут быть использованы для расчёта широкого круга технических объектов.