Поперечные колебательные движения в вязкой жидкости, контактирующей с пористой средой

В статье рассматривается решение двух задач о поперечных колебаниях в вязкой несжимаемой однородной жидкости, контактирующей с пористой средой (матрицей), насыщенной этой же жидкостью. Поверхностью раздела пористой среды и контактирующей с ней жидкостью во всех рассмотренных случаях является плоскость. Очевидно, что колебательные движения жидкости могут проникать на заметную глубину в пористую матрицу только при достаточно большой пористости (близкой к единице) и высокой проницаемости пористой матрицы. Пористая среда далее предполагается недеформируемой, однородной и изотропной.

Новизна данного исследования заключается в том, что поперечные колебательные движения жидкости рассматриваются с учетом пористого основания, на котором она располагается и которое ограничено снизу твердой непроницаемой стенкой. Работа носит теоретический характер, однако результаты исследования могут быть применены в области ракетнокосмической, авиационной и транспортной техники, а также при моделировании биосистем, где важна гидроупругость.

Обзор литературы

Распространение поверхностных волн в слое жидкости, находящейся на пористом основании, рассмотрено, в частности, в работах [1–2]. Наряду с поверхностными волнами в вязкой жидкости могут существовать также внутренние поперечные волны, вызванные колебаниями погруженных в нее твердых тел. Решение задачи о поперечных колебательных движениях в жидкости, соприкасающейся с неограниченной плоской поверхностью, которая колеблется в своей плоскости, приведено в работах1–2.

В статье [3] представлены результаты качественного и количественного анализа аналитических решений краевой задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного градиента давления в длинной плоской щели и цилиндрическом канале, заполненных пористым материалом.

В работе [4] исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное длинное пористое ядро круглого сечения. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку соединенных капель. Показано, что длина этих капель увеличивается с возрастанием магнитного поля.

Численное решение модели Бринкмана с учетом неравномерной пористости вблизи стенки канала, заполненного зернистой средой, получено в статье [5]. Данное решение позволяет более детально исследовать поведение потока жидкости вблизи стенки в зернистых средах. Сравнение моделей пористой среды Дарси и Бринкмана приведено в работе [6], где рассмотрено математическое моделирование нестационарных режимов термогравитационной конвекции в пористой вертикальной цилиндрической полости с теплопроводной оболочкой конечной толщины в условиях конвективного охлаждения со стороны окружающей среды.

Решение задачи о течении вязкой жидкости в плоском канале, который заполнен волокнистой пористой средой, представленной регулярной системой цилиндров, расположенных поперек потока жидкости, представлено в работах3 [7].

В работе [8] рассмотрено условие передачи импульса, которое применяется на границе между пористой средой и однородной жидкостью. При этом используются закон Дарси с поправкой Бринкмана и уравнения Стокса. Данный подход вызывает скачок напряжения, что имеет важное значение для процессов теплообмена, поскольку допускает непрерывный конвективный перенос на границе между пористой средой и однородной жидкостью.

В работе [9] приведены точные аналитические решения задач об обтекании сферы и цилиндра в пористой среде при использовании уравнения Бринкмана с граничным условием На-

• ¹    Ламб Г. Гидродинамика. М.: ОГИЗ, 1947. 929 с. URL: https://www.twirpx.com/file/63848

• ²    Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10 т. М. : Физматлит, 2015. 736 с. Т 6: Гидродинамика. URL: http://www.immsp.kiev.ua/postgraduate/Biblioteka_trudy/GidrodinamikaLanday1986.pdf

• ³    Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. С. 640–641. URL: http://www.geokniga.org/books/4843

вье. Показано, что условие прилипания на границе пористой среды и твердого тела, в частности, при использовании уравнения Бринкмана, в общем случае должно быть заменено на условие, допускающее ненулевую скорость фильтрации на границе.

Материалы и методы

Первая задача

Рассматриваются поперечные колебательные движения жидкости с учетом пористого основания. Предполагается, что неподвижный слой пористой среды толщиной h 1 снизу ограничен неподвижной непроницаемой плоской поверхностью, а сверху контактирует со слоем свободной жидкости толщиной h ₂. Жидкость соприкасается сверху с неограниченной плоской поверхностью, колеблющейся вдоль своей плоскости по гармоническому закону с частотой ω .

Система координат выбрана так, что поверхность раздела пористой среды и жидкости совпадает с плоскостью y , z ; пористая среда занимает область h ₁ £ x £0 , а жидкости соответствует 0 £ x £ h ₂ . Ось y выбирается параллельно направлению колебаний плоской поверхности x = h 2 , скорость которой запишем в виде функции от времени u = u ₀ exp ( - i to t ) , где и ₀ - действительная постоянная. Все величины не зависят от z . Величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости, обозначаются в необходимых случаях индексами 1 и 2 соответственно.

Для решения первой задачи запишем систему уравнений нестационарного движения жидкости в пористой среде – модель фильтрации Бринкмана [10]:

Г^ +£ ( u , -V ) u =-v p , + n 'V ² u , + f

V- « 1 = 0 , (1)

где p - плотность жидкости (p = const); Г - пористость матрицы (Г=const); и 1 -макроскопическая скорость фильтра- ции (и 1 = Гv1, где v 1 - средняя по объему пор скорость жидкости); p1 - среднее по объему пор давление;f = - (п / K)и 1 -плотность силы сопротивления пористой матрицы; K – коэффициент проницаемости пористой матрицы (K = const) П - эффективная вязкость жидкости в порах; п - вязкость свободной жидкости (η′ =η).

Очевидно, колебательное движение жидкости в пористой среде возможно только при достаточно большой пористости, близкой к единице. Поэтому далее предполагаем, что пористость близка к единице, и с учетом этого принимаем η ′ = η [11].

Уравнения движения свободной жидкости имеют вид4 [4]

∂u р -+р(и2-V)и2 = -Vрг +пV2и , д t         2       2         2          2

V- и 2 = 0 .              (2)

Из соображений симметрии следует, что все величины будут функциями только от координаты x и времени t . Согласно уравнениям непрерывности, в (1-2) u 1 y = u 1 , u 2y = u 2 , а также u 1 _x = const , u 2_x = const , где обе константы должны быть равны нулю, поскольку с учетом уравнений непрерывности граничных условий u 1 x = 0 и u 2_x = 0 на непроницаемых поверхностях x =- h 1 и x = h 2 . Поэтому u 1 _x = 0 , u 2 x = 0 . Кроме того, ( и 1 -V ) и 1 = 0 и ( и 2 -V ) и 2 = 0 . Таким образом, вследствие симметрии уравнения движения (1–2) линеаризуются.

Вторая задача

Отличие постановки данной задачи от первой заключается в том, что на свободной поверхности жидкости x = h 2 действует касательное напряжение, измеряющееся по гармоническому закону o xy = n S ₀exp( — i ® t ) .

Такое напряжение может быть создано, например, потоком воздуха переменного направления или касательным к поверхности переменным электрическим полем, действующим на поверхностный заряд в электропроводной жидкости.

Результаты исследования

Уравнения движения для первой задачи принимают вид:

1∂u    1

• 1    =- ∇p1+υ∇2u1-u1, Γ ∂t   ρ

div u 1 = 0,

∂u1

• 2    =- ∇p2 +υ∇2u2,(3)

∂t

η ′ η где υ ′ = ; υ = .

ρρ

Из (3) найдем p 1 ^ const , p 2 = const . Из симметрии следует, что скорости u ₁, u ₂ направлены вдоль оси y .

Введем обозначения u 1 y ^ u 1 , u 2 y = u 2 , получим:

1 ∂ u    ∂ ² u υ

¹ = υ ¹ - u ^, Γ ∂ t    ∂ x ² K ¹

сравнению с моделью Бринкмана) наличие скольжения неявно учитывается тем, что на скорость жидкости накладывается только условие непротекания в нормальном к твердой поверхности направлении, а скорость скольжения жидкости вдоль этой поверхности остается неопределенной. Второе условие (5) выражает непрерывность скорости. Третье связывает скачок касательных напряжений с относительной касательной скоростью жидкости на поверхности раздела; при 1 Λ→ 0 оно переходит в условие непрерывности касательных напряжений, а при Л = 0 - в условие прилипания. Четвертое – это обычное условие прилипания жидкости к твердой поверхности.

Найдем решения уравнений (4) с учетом граничных условий:

u1(x,t) = F1 (x) exp( - itot), u 2(x,t) = F2( x )exp( - itot).     (6)

Подставив (6) в (4), получим:

∂ u    ∂ ² u

² = υ ²

∂ t     ∂ x ²

F " ( x ) +| i ^ -   | F ( x ) = 0,

lиГ KJ 1

Граничные условия к уравнениям (4) запишем в виде5 [8; 12]:

U 1 = в    ( x =- h ) ( в = const ),

∂ x

U 1 = u 2 ( x = 0 ),

л(— - —)= u 2 ( x = 0 ) ( Л = const ),

V5x 5x )

u 2 = u ₀exp( - i to t ) ( x = h 2 ),     (5)

где в и Л - постоянные с размерностью длины.

В первом условии (5) учитывается возможное скольжение жидкости относительно твердой непроницаемой поверхности, контактирующей с пористой средой. При в = 0 получается обычное условие прилипания и 1 = 0 . В модели фильтрации Дарси (более простой по

F " ( x ) + i ^ F ₂( x ) = 0.

Найдем решение системы данных дифференциальных уравнений с учетом четырех граничных условий для функций F ₁ и F ₂ , вытекающих из условий (5):

F 1 ( x ) = A 1 exp ^ 1 x + B 1 exp( - ^ 1 x ) , F ₂( x ) = A 2 exp ^ 2 x + B ₂exp( - ^ 2 x ) , (8)

где A1, B1, A2, B2 – произвольные постоянные, f 1_ n 1

^{5 1} #1 s s 2 )

ξ = 1 - i

2    _{δ 2}

s2=sj2+^4++s4

• л 2^ *чи

Подставим выражения F ₁( x ), F ₂( x ) (8) в граничные условия (5), запишем систему алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных A ₁, B ₁, A ₂, B ₂:

4(1 - Д4)ехр(—4 hp +

+ B i (1 + / ^)exp & h i ) = 0

при x = ‒ h ₁

A 1 + B 1 = A 2 + B 2 при x = 0;

Ai f£ -1)-Bi f4 + у )-(A2 — B2^2 = 0

к л) к M при x = 0;

A 2 exp( ^ 2 h 2 ) + B 2 exp( — 5 2 h 2 ) = u 0

при x = h ₂.

Найдем постоянные A ₁, B ₁, A ₂, B ₂:

A i = I f [ D " D sh ^ 2 h 2 / + 5 "

• exp⁽ 5 1 h i ^{+ 5} 2 h 2 ) ,

Bi = u fD s2- h^ — 1 (1—£4) •

• ² к D i         D i /

• • e^XP⁽ ^ 2 h — 4 h),

A 2 = 12 u 0 D ,

B₂ = u 0 ^ exp 4 h 2 -^ D exp2 £ ₂ h 2 ^ ,

D ₌       D i ^ 2 + D 2       ,

D 1 ^ 2 ch ^ 2 h 2 + D ₂sh ^ ₂ h 2

D 1 = sh ^ i h 1 + p^ i ch ^ i h_x ,

D 2 =^ 1

l ^sh 4 h

В частном случае p = 0 , Л^ да коэффициенты A ₁, B ₁, A ₂, B ₂ значительно упрощаются.

В пределе Г→1, К → ∞ насыщенная жидкостью пористая среда заменяется свободной жидкостью. При этом система двух уравнений (7) заменяется одним вторым уравнением с граничными условиями: u 1 ( - h 1 ) = 0 и 4 в (5). Решение такой задачи представлено в работе Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица⁶. В предельном случае h ₁→0 остается только уравнение для F ₂( x ) и граничное условие 4 в (5). Второе граничное условие примет вид и ₂(0 , ) = 0 ; условия 1 и 3 отбрасываются. В результате получим выражение для скорости, совпада ющее с тем, что было получено Ландау и Лифшицем:

sink x u2 (x,t)=-----— u0 exp( - itot)

• ²         sink ₂ h 2 ⁰

Здесь и далее k 2 = (1 + i )/ 5 2 . Везде подразумеваются действительные части соответствующих комплексных выражений.

В связи с громоздкостью общего решения (8) рассмотрим подробнее два предельных случаях:

• 1)    e ² = ( 5 1 / д ₂) ² = ro KZ ( иГ ) << 1 ,

• 2)    е ² >> 1 .

В первом предельном случае s ² << 1 выражения для скоростей принимают следующий вид:

^ 1 = H { sh h + x + в Ch h 1 + x 5

u 0       I     3 ,     6 ,       6 , J

• • exp( - ik 2 h₂ - i to t ),

u ² =Г D'sink ₂ ( h 2 - x ) + e i ^{2 x} !• u ₀

• • exp( - ik ₂ h 2 - i to t )

H ' = (1 + D' sink ₂ h 2 )/ D 1 ,

D '=

ik 2 D 1 - D ‘

k 2 D 1 cosk 2 h 2 + D 2 sink 2 h 2

D " =

ik 2 D ’- D 2

k 2 D ‘ cos k 2 h 2 + D ₂" sink 2 h 2

h в 1 h D = sh ¹ + -Vech 1 , ¹       5 *    5 *      5 *

kh 0 k  kh

D = sin 2=1 +    ² cos 2=1 ,

Vг Vr   Vr

D .

⁵ i

— + 5*

D 2 =

kh cos^=1 -

V г

-1 f в -51L h 51 [ 51* Л *

5 *

, * •

ek2+11 г Л)

kh sin ²¹ .

V г

Здесь и далее δ ₁ ^* = δ ₁ Γ 2 .

Силу трения, действующую на единицу площади колеблющейся пластины, определим по формуле:

P y =-п -^2 при x = h₂.

В данном случае эта сила трения равна

P y ⁽ h z ) ^n ^ u ¹ |x = h = d x

= -n u ₀ k ₂( i - D'e - ik ² h ² ) • e - “ t , (10)

а на поверхности пористой матрицы ( x = 0):

P y (0) =n ^ 1.

∂ x

| x = 0

=n u ₀ k ₂( i - D' cosk 2 КУ

• exp( - ik 2 h 2 - i to t ) .           (11)

Для второго предельного случая s ² >> 1 запишем:

Uk = H " sin ^k 2 ^{( h +} x ) + ^{в к} 2 _cos ^k 2 ⁽ h l ⁺ x ) u 0    L      Vr    Vr      Vr .

• exp( - ik 2 h₂ - i to t ) ,

—=ГD"sink2(h2 -x)+ek2x!• u0

• exp( - ik ₂ h 2 - i rn t ) ,

H "= (1 + D" sink ₂ h 2 )/ D'l ,

Силы трения на поверхностях x = h ₂ и x = 0 вычисляются в данном случае из формул (10-11) соответственно путем замены в них D ′ на D ′′ .

При в ^ 0 , Л^ 0 , И 1 ^ 0 выражения (10–11) в обоих предельных случаях принимают известный вид⁷:

P _y ( h ₂) = - k ₂ η u ₀ctg k ₂ h ₂exp( - i ω t ),

P y (°) = s//? ! "^ ^еХР( - i ® t ) .

Согласно (9; 12) скорость и ₂ в первом предельном случае, а также и 1 и и ₂ во втором выражаются через тригонометрические функции от аргумента x (а также от времени t ) и экспоненциальные множители перед ними. Следовательно, в вязкой жидкости (область 2) в первом случае могут существовать затухающие поперечные волны, в которых скорость u ₂ = u _{2 y} перпендикулярна направлению волны (оси x ). В пористой среде (область 1) такие волны в этом случае отсутствуют: амплитуда скорости и 1 монотонно убывает по мере удаления от поверхности x = 0 вглубь пористой среды.

Во втором предельном случае затухающие поперечные волны могут существовать как в свободной жидкости, так и в пористой среде. Амплитуда этих волн затухает по мере удаления от колеблющейся плоскости вглубь жидкости.

В тех случаях, когда поперечные волны существуют, их длина в областях 1 и 2 равна 2 п5 ₂ ТГ и 2 п5 ₂ соответственно. Сильное затухание волны происходит на расстоянии, близком к ее длине, поэтому движение сосредоточено в слое аналогичной толщины. Чтобы волна могла проникнуть из свободной жидкости в пористую среду, толщина слоев h 1 и h ₂ должна быть сравнимой с длинами волн.

Во второй задаче вместо условия 4 в (5) запишем:

∂ u

—- = S o exp( - to t ) ( x = h ₂),

∂ x

A 2 = 12 S 0 D ,

B 2 = 5 0 ^f 1 D - exp2 ^ ₂h₂ - ex^ , 1 ²                    - 2 J

D =--- D 1 ^ 2 ⁺ D 2 ------,

D ^ ₂ ² sh ^ ₂ h 2 + D ₂ ^ ₂ch ^ ₂ h 2

D i = sh ^ i h i + p^ i ch ^ i h i ,

D 2 = &  ^f 1 - ^в ) ch ^ h i +^f p^ - 1 W hi. V   к)      v Л)

при этом условия 1–3 не изменяются.

В этом случае решения уравнений (7) имеют вид (8), но с другими коэффициентами: A 1 , B 1 , A ₂, B ₂. Найдем эти коэффициенты из математических граничных условий данной задачи в общем виде:

^A i⁽¹ - ^e^ i )exP( -^ i h i ) +

+ B i (1 + l ^exp ^ h ) = 0 ( ² - h )

A , + B , = A 2 + B 2 ( x = 0),

A (^ -11- B i f ^ 1 + у 1- ( A 2 - B 2 ) ^ 2 = 0

l л j v л j

( x = 0),

^ 2 A 2 exP ⁽ ^ 2 h 2 ) - ^ 2 ^B 2 exP ^{( -} ^ 2 ^h 2 ) = ^S 0

В связи с громоздкостью получаемого выражения для скорости колебания жидкости рассмотрим два предельных случая найденного общего решения.

В случае малых частот колебаний волн е ²<< 1 выражения для скоростей принимают вид:

1 к А + x U i = H I sh 1 - T-

u 2 = S 0 D

( x = h ₂).

Из четырех данных уравнений найдем неизвестные A 1 , B 1 , A ₂, B ₂ в общем виде:

A = ^ ⁰⁽¹ + р^р Г d ch ^ h _ х

• 2 D1    V.

• • expf - h i + ² 2 h 2 ),

B = S0(1+P^1) (1 - Dch^ h 122

2 D1    V 72

• • exP⁽ ^ 2 h ⁺ £ 1 A X

+ в ch a ;

h i ^{+ x}

5 *

^- i 7

• exp( - ik 2 h 2 - i to t ),

-' ¹ e ■ 2

- ik 2 x

^c + ¹ e -^{ik 2} h ² + —

( 2        ik ₂ D ')

• exp( - i rn t ),

e i ₂ ( x - h , )

I1

H ' = -0    + D' coskh ,

d;( ik2

_n,_         k 2 d;+ iD ‘

D l              7 7      7 2 7-^7  •7 7, k2D2cosk2h2 -k2D1sink2h2

h p _л h D.= sh 1 + -^ch 1 , ¹      S i S i S i

^D ‘= P ⁵ i

— + 5 1

•

f в - 5 * 1 5 1 * 1 5 1 *  Л^

sh t • ⁵ 1 ^*

Для больших частот колебаний волн £ ² >> 1 запишем:

. k ( h + x ) ek k ( h + x ) u = H sin _ + cos _ ’ ¹ Vr Vr Vr

•exp( - ik 2 h₂ - itot ),

u ₂ = S 0 D"

1 -ikx , I 1 -ikh e 2 + e 2S

2         1 2

+ — I ei ik2 D")

_} ik 2 ( x - / 2 )

• exp( - i to t ),

f                2

H" = -0 —+ D"coskh ,

DX ik 2         2 J

D " =

_______ k2 D /+ id"

k ₂ D ^ cosk 2 h 2 - k 2 D f sink 2 h₂

kh p k₂  kh

D = sin 2^- +^—cos 2^-

Vг Vr   Vr

D2'=

kh cos ²¹

P г

^

РЛ+11 г  л)

kh sin ²¹ .

V г

Из (13–14) следует, что в первом предельном случае затухающие поперечные волны могут существовать только в свободной жидкости, а во втором – и в жидкости, и в пористой среде. Длины этих волн в областях 1 и 2 аналогичны записанным в первой задаче.

Скорость жидкости на свободной поверхности равна в первом случае u 2 |х=h = ^0 D '[exp( - ik2 h2)+1 / ik2 D ]■

■ exp( - i to t ), (15) а во втором вычисляется из (13) путем замены D ′ на D ′′ .

В пределе в ^ 0 , Л^ 0 , h 1 ^ 0 (при замене пористой матрицы непроницаемой поверхностью x = 0) выражение (15) принимает вид:

u ₂ = ( S ₀ / k ₂) ⋅ e ^{- i ω t} tg k ₂ h ₂ .

Обсуждение и заключения

В статье получены точные аналитические решения уравнения Бринкмана для двух задач о внутренних поперечных волнах в вязкой жидкости, находящейся на пористом основании. На границе пористой среды и твердого тела учитывается возможное скольжение жидкости.

Данные исследования направлены на изучение свойств гидроупругости в сферах ракетно-космической, авиационной и транспортной техники, а также для моделирования биологических систем.

В рамках будущих исследований можно рассмотреть колебательные движения пористого шара с твердым непроницаемым ядром в вязкой жидкости.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

• 1.    Slezkin N. A. [On the influence of the porosity of the bottom on a flat standing wave in a heavy fluid]. Izvestiya AN SSSR. MZhG = USSR Academy of Sciences Bulletin. Mechanics of Liquid and Gas. 1984; 4:160–163. (In Russ.)

• 2.    Stolyarov I. V., Taktarov N. G. [Propagation of surface waves in a layer of fluid on a porous base]. Izvestiya AN SSSR. MZhG = USSR Academy of Sciences Bulletin. Mechanics of Liquid and Gas. 1987; 5:183–186. (In Russ.)

• 3.    Hanukaeva D. Yu., Filippov A. N. Filtration of viscous fluid through Brinkman media limited by impermeable walls. Trudy RGU nefti i gaza imeni I. M. Gubkina = Works of Gubkin Russian State University of Oil and Gas. 2014; 276(3):145–155. Available at: http://elibrary.ru/item.asp?id=22742022 (In Russ.)

• 4.    Egereva E. N., Runova O. A., Taktarov N. G. Instability and disintegration of a magnetic fluid column that surrounds a long porous core. Fluid Dynamics. 2015; 50(1):164-172. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24010576

• 5.    Bochkarev A. A., Volkov V. I. Model of the Brinkman with the account of non-uniform the porosity. Izvestiya Altayskogo gosudarstvennogo universiteta = Altay State University Bulletin. 2002; 1:99-100. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=20407818 (In Russ.)

• 6.    Trifonova T. A., Sheremet M. A. Comparative analysis of Darcy and Brinkman models at studying of transient conjugate natural convection in a porous cylindrical cavity. Kompyuternyye issledovaniya i modelirovaniye = Computer Studies and Modeling. 2013; 5(4):623–634. Available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=21160592 (In Russ.)

• 7.    Mosina E. V. Numerical study of flow at a liquid-porous medium interface. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2010; 44(5):679–685. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=16670164

• 8.    Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid – I. Theoretical development // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995. Vol. 38. P. 2635–2646. DOI: https://doi.org/10.1016/0017-9310(94)00346-W

• 9.    Leont’ev N. E. Flow past a cylinder and a sphere in a porous medium within the framework of the Brinkman equation with the Navier boundary condition. Fluid Dynamics. 2014; 49(2):232-237. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=21875223

• 10.    Brinkman H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles. Appl. Sci. Res. 1947; 1(1):27–34. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02120313

• 11.    Haber S., Mauri R. Boundary conditions for Darcy’s flow through porous media. Int. J. Multiphase Flow. 1983; 9(5):561–574. DOI: https://doi.org/10.1016/0301-9322(83)90018-6

• 12.    Harris S. D., Ingham D. B., Pop I. Mixed convection boundary-layer flow near the stagnation point on a vertical surface in a porous medium: Brinkman model with slip. Transp. Porous Med. 2009; 77(2):267–285. DOI: https://doi.org/10.1007/s10485-011-1526-x

  Received 24.11.2017; revised 24.04.2018; published online 29.06.2018

About authors: