Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области

Потребности современной техники, связанные с созданием новых материалов сложной микроструктуры, задачами снижения веса конструкций без потери надежности и многими другими практическими вопросами, требуют привлечения уточненных моделей сред и исследования свойств решений в областях со сложной конфигурацией границы. Громоздкость соответствующих уравнений и наличие участков границы с большими кривизнами значительно усложняют непосредственное вычисление решений. Однако многие такие задачи содержат малый параметр, что позволяет применять для их решения те или иные асимптотические методы. В настоящее время широкое распространение и важные приложения во многих разделах механики получил асимптотический метод М. И. Вишика и Л. А. Люстерника [1], [2]. Важными достоинствами метода являются его идейная простота, применимость к широким классам уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных. Данная работа посвящена вопросу применения метода М.И. Вишика–Л.А. Люстерника для изучения асимптотики вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области.

Исследование вырождающихся уравнений, начатое работами М.В. Келдыша [3], С.Г. Михлина [4], O.A. Олейник [5], получило значительное развитие и в настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу (упомянем обзоры [6], [7] и монографию [8]). Отличительной чертой краевых задач для вырождающихся уравнений является то, что их решения не наследуют свойства гладкости от правых частей - производные решений могут иметь особенности на линиях вырождения. Поэтому прямое приложение асимптотического метода М.И. Вишика-Л.А. Люстерника построения глобальной асимптотики решений эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случае вырождающихся уравнений не приводит к успеху - удается построить только несколько первых членов асимптотики [9], [10]. Для построения полного асимптотического разложения решения краевых задач для вырождающихся на границе эллиптических уравнений применяется метод составных асимптотических разложений [11]. Слагаемые двухмасштабного асимптотического разложения определяются в двух итерационных процессах: в первом отыскивается внешнее разложение, а во втором - пограничный слой. Для устранения особенности коэффициентов внешнего разложения применяется процедура перераспределения невязок между предельными задачами. Та часть невязки, которая порождена функциями внешнего разложения и обуславливает появление особенности на следующем шаге итерационного процесса, компенсируется при построении пограничного слоя, а невязка, образованная функциями пограничного слоя и имеющая недопустимый рост на бесконечности, компенсируется функциями внешнего разложения. Построенные таким образом коэффициенты асимптотики имеют определенное, не изменяющееся от шага к шагу итерационного процесса, поведение в окрестности границы или на бесконечности. Эта процедура реализована, в частности, в работе [12] для построения асимптотического разложения решения вырождающихся на границе эллиптических уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами.

В данной статье изучается асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области. Рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение второго порядка, у которого все коэффициенты при старших произ- водных содержат множитель р2а, где р

L ( х ,д_х) и ( x ):= L₂ ( х , д_х) и ( х )- L _o( х ) и ( х ) = f ( х ), хе Q. Здесь

• - расстояние до границы области. Находится решение этого уравнения при малом регулярном возмущении границы области. Несмотря на то, что рассматриваемое возмущение границы регулярно, в случае 1>а>1/2, для построения асимптотики приходится применять методы теории сингулярных возмущений, поскольку оператор задачи вырождается на границе. Метод построения асимптотики решения возмущенной задачи существенно зависит от величины порядка вырождения ОС . При ос < 1/2 возмущение носит регулярный характер, коэффициенты асимптотического разложения отыскиваются в виде решения задачи Дирихле для исходного уравнения в невозмущенной области. В случае а >  1/2 в асимптотику входят слагаемые типа пограничного слоя. При а> 1 пограничный слой имеет экспоненциальное убывание, а при 1/2 с ос < 1 - степенное. Поскольку порядок роста пограничного слоя при 1/2 <  ос <  1 может увеличиваться от шага к шагу итерационного процесса, для построения полной асимптотики в этом случае также применяется метод составных асимптотических разложений.

Пусть в области задано уравнение nдд

L2(х,дх)и(е,х) = ^ —v (Х)aij(х)— i^I дх            дхj самосопряженный вырождающийся эллиптический оператор, \>а>0,L =g(х)>0,1/- гладкая в Q, положительная в функция, эквивалентная расстоянию до границы , а — малый положительный параметр.

В малой d окрестности границы области введем локальные координаты у = (У1,у2,...,Уп) = (у',Уп), ось y направлена по внутренней нормали к .

Введем зависящую от область Q_g = Q \ D_e, где D_e - полоса шириной £h ( 5 ) у границы эп , т.е. при всех xeD_s выполняется неравенство:

v ( х ) <  h ( ( 5 ), h ( 5 ) >  h ₀ > 0, 5 g SQ.

В локальных координатах ( у' , у_п ) граница        задается уравнением

Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области y^ = h((s), а оператор L принимает      вид:

n

X У^-( y „ + ^h( ( y ))²“ a j ⁽ y )y— g ( y ).⁽³⁾ .I yy,                    j

Далее указывается процедура построения асимптотического разложения при _e -> о решения и задачи Дирихле

L ( х , дх )и(е, х ) = f ( х ), х<= Q_e, (4) и (е, х ) = ( хх ) х е д Q_£ .

при различных значениях параметра а >  0 .

Полагая о-П приходим к пре-

L(х,дх)и(х) = f (х) в области Q. При гладкой правой части f решение и этого уравнения (в случае а < 1/2 решение соответствующей задачи Дирихле) допускает в малой окрестности асимптотическое представление дельному                уравнению p+q (2-2а) (p, q)             (0) V2a   ~М

и(У)=                 yn       и (y )  SaU уп    и (y), p,q^N0,p q(2-2a)

(3*'й J/ Sy' VК)(y) где N0 = 0,1,2,... .

Структура асимптотики решения задачи (4) существенно зависит от величины параметра    . В случае

0 < а < 1 / 2 для вырождающегося в Q оператора L разрешима задача Дирихле с граничным условием на . Асимптотическое разложение решения задачи

L(х,дх)ц„(х) = 3₀,_i6,,_J6₆k J(х)

СУМ"'. i,jeN0 ,

• (4)    отыскивается в виде формального ряда

X ijk ^ V_y(XX) ,

• i,    j, keN0

коэффициенты ряда (6) которого опре деляются из задач

i

L-)(х,дх)Vi_m,(х), (х)efl т=1

V (хА = - V    h(v/ p+q(2"2а) (p,q)   /     (0)    / ijx (х)         7 a    h(y )         vlms  (y )   vlms-1(y )    0 j°0k Wх),

U-p=i,—+q=j l,—, s, p, q^N0

x, где

• L^—) x, д_х =1/m !д^— / де^—L s, х,д_х при f = 0, 3_jk - символ Кронекера, а v^(p’^q) слагаемые асимптотического раз-lms

ложения (5) функции v .

В случае 1xz>1/2 краевое условие для оператора L не задается и выполнение соотношений (4)2 достигается введением в асимптотическое разложение слагаемых типа пограничного слоя. Асимптотика решения задачи (4 ) отыскивается в виде двухмасштабного ряда

Z S'"*"^2k*""Vk(X) + w,_t(у',5-'Уп).

• ', j,^{k N}0

К слагаемым гладкого типа vijk добавляются функции типа пограничного слоя wijk , записанные в переменных (y , t) — (y ,£ yn). Старшее слагаемое гладкого типа

уравнения

^{v v}000 находится из

, а старший член w  w000 пограничного слоя из задачи у (t + h(y))2a d w(y, z) = ° t e R+, dt            dt w y',0 = (p y’ .

Поскольку решение задачи (8) имеет лишь степенное (а не экспоненциальное) убывание при t для построения младших членов ряда (7) следует воспользоваться процедурой пере- распределения невязки, подробно описанной в книге [11].

При 1 полное асимптотическое разложение решения задачи (3) как и в случае 1/2 1 является двухмасштабным, однако для его построе- ния не требуется проведения процедуры перераспределения невязки. К слагаемым гладкого типа kv , определяемым из уравнений

k

L x, x vk x 0k f x       L m x, x vk m x , x , m1

добавляются функции типа пограничного слоя ij 1 w y , z , зависящие от переменных y ,z y ,y . Стар- ший член пограничного слоя ww, определяемый из задачи

0dw       0

ann  y h2 y       y,z g y dz2

w

У,z =0, z eD +, w y',0 = Ф y имеет не степенное, а экспоненциальное (порядка Oexp z, 0) убывание при z . Это свойство наследуют и младшие члены w пограничного слоя.