Построение непротиворечивой математики как процедуры логического вывода. Использование в качестве универсума собственного класса для обеспечения наибольшей надёжности процедуры логического вывода. Оптимизация метода для снижения требований к вычислительным ресурсам, необходимым для его реализации и анализа полученных результатов

ОАО «ГСКБ «Алмаз-Антей», г. Железнодорожный

Используем формальную схему из двух элементов, верхним из которых является конструкция, составленная из трёх записанных слева направо частей.

Часть 1. Наиболее полное и наиболее точное определение универсума как собственного класса:

E!n (of 2 to aleph(n) degrees = aleph(n) implies ome-ga(n) + 1 = omega(n))

Часть 2. Разделительная точка, разделяющая общее и частное.

Часть 3. Определение интересующей нас части универсума: mathematics.

Таким образом, полная запись верхнего элемента формальной схемы имеет вид:

E!n (of 2 to aleph(n) degrees = aleph(n) implies ome-ga(n) + 1 = omega(n)). mathematics       (1)

Заметим, что в определении универсума теперь отсутствуют присутствовавшие ранее термины «symbol position» или «знакоместо», поскольку автор пришёл к выводу, что эти термины носят технический характер и их употребление неуместно в определении абстрактного математического понятия. Кроме того, упомянутые термины подразумевают использование для построения базы данных текстового интерфейса, который неудобен для записи математических текстов по двум причинам.

• 1.    Математические тексты включают в себя большое количество символов с прикреплёнными к ним надстрочными и подстрочными символами, к которым, в свою очередь, могут быть прикреплены другие надстрочные и подстрочные символы. Запись таких конструкций в линейном виде возможна, однако

• 2.    То же самое, причём в значительно большей степени, относится к различного рода рисункам, особенно к рисункам большого размера, содержащим много мелких деталей.

она значительно увеличивает длину текста и ухудшает читабельность.

Отсюда следует, что для построения базы данных предпочтительнее графический интерфейс, основанный на понятии пиксела. Однако понятие пиксела также носит технический характер и потому должно присутствовать не в определении универсума, а в описании конкретных деталей построения системы.

Приступим теперь к полному построению формальной схемы из двух элементов. Если построение производится на ноутбуке, то необходимо подключить к нему внешний винчестер объёмом 1 Тб, на котором отсутствует какая-либо информация, кроме той, которая записывается на заводе-изготовителе и занимает пренебрежимо мало места. Внешний винчестер должен быть отформатирован под файловую систему NTFS. Используя проводник Windows, заводим на внешнем винчестере папку с именем, соответствующим выражению (1). Строго говоря, верхним элементом формальной схемы является не выражение (1), а папка на внешнем винчестере с именем, соответствующим выражению (1).

Заведём на внутреннем винчестере файл формата .docx, состоящий из 425 пустых страниц. Что касается размера страницы, то автор считает, что он должен быть предельно большим, ибо при увеличении количества страниц информационная ёмкость базы данных возрастает линейно, а при увеличении размера страницы информационная ёмкость базы данных возрастает гораздо быстрее, чем по линейному закону. Известно, строго говоря, что во всех версиях Word максимальный размер страницы составляет 55,87×55,87 см. Не следует, видимо, использовать максимально возможный размер страницы, поскольку многие программы работают нестабильно при задании для них в качестве входных параметров предельных значений. Зададим размер страницы 55,5×55,5 см и размер верхнего, нижнего, левого и правого полей 0,5 см. Тогда рабочая поверхность страницы будет составлять 54,5×54,5 см.

Для построения нижнего элемента формальной схемы, содержащего базу данных, используем описанный выше файл формата .docx и коммерческую версию программы Универсальный конвертор документов (UDC), которая работает как псевдопринтер и переводит документ практически любого не растрового формата в любой растровый формат. Исходный документ может быть как одностраничный, так и многостраничный. Существует также бесплатная версия программы UDC, которая может хорошо подойти для решения некоторых задач, но для решения данной задачи совершенно не подходит, поскольку ставит на каждом растровом изображении большой штамп, который, несомненно, должен привести к существенному снижению информационной ёмкости базы данных.

Сам процесс построения нижнего элемента формальной схемы происходит следующим образом. Открываем в Word описанный выше файл формата .docx и в меню Файл выбираем команду Печать. Появляется список доступных принтеров, из которого выбираем

UDC, если только он не назначен принтером по умолчанию. Открываем меню Свойства принтера, в котором указываем размер страницы – 55,5×55,5 см или 555×555 мм. Разрешающую способность задаём максимальную: 6000×6000 dpi. Задаём формат растрового файла – .bmp и глубину цвета – 1 бит (т.е. чёрно-белое изображение). Выбираем логический диск, соответствующий внешнему винчестеру и на этом диске выбираем папку с именем, соответствующим выражению (1). Поскольку исходный файл формата .docx у нас многостраничный, для каждой страницы будет создан свой собственный .bmp-файл, имя которого будет иметь вид: <имя файла Word>-<номер страницы>. Хотя будет создано множество .bmp-файлов, все их можно рассматривать как единую базу данных, поскольку они будут созданы на основе единственного файла с расширением .docx. Все .bmp-файлы будут записаны на внешний винчестер в папку с именем, соответствующим выражению (1), как мы это определили в меню Свойства принтера.

Выражение (1) можно было бы записать в несколько более читабельной форме, если бы помимо латинских букв можно было использовать буквы из иврита и греческого, употребляющиеся как математические символы. Хотя Windows допускает такую возможность, эта возможность отсутствует у программы UDC. При тех настройках Свойств принтера, которые мы произвели ранее, замена слова «aleph» на букву «א», замена слова «omega» на букву «ω», а также замена менее употребительной формы записи квантора существования «E» на более употребительную форму « Ǝ » приводит к тому, что в папку, в которую должны записываться .bmp-файлы, ничего не записывается, а вместо этого на внешнем винчестере заводится ещё одна папка, название которой соответствует выражению (1), за тем исключением, что в этом названии символы « Ǝ », «א» и «ω» заменены символом «_», после чего все .bmp-файлы начинают записываться в эту папку с искажённым названием. Естественно, такое искажённое название лишено какого-либо математического смысла, в силу чего процедура логического вывода невозможна. Этой проблемы можно легко избежать, пойдя на некоторое ухудшение читабельности при отказе от модифицированной формы и принятии за основу выражения (1). Автор считает, что такое ухудшение читабельности является незначительным и потому вполне приемлемым. Что касается формы записи квантора существования, можно сказать, что хотя форма записи « Ǝ » является более распространённой, чем форма записи «E», но и последняя также часто встречается в математической литературе, так что можно считать эти две формы записи эквивалентными. Во-всяком случае, какой-либо двусмысленности из-за этого возникнуть не может.

Ранее говорилось, что файл формата .docx состоит из 425 пустых страниц. Пустой внешний винчестер, на котором нет никакой другой информации, кроме записанной на заводе-изготовтеле, имеет ёмкость 930 Гб. Оставляя 30 Гб в резерве, получаем 900 Гб. Умножая размер одного .bmp-файла на 425, получаем те же 900 ГБ. Поскольку нижний элемент формальной схемы расположен в дереве каталогов проводника Windows на одну ступень ниже, чем верхний, знак импликации в конце выражения (1) не нужен. После построения всех .bmp-файлов завершается грубое построение синтаксической структуры базы данных. Все описанные выше построения осуществлялись с помощью процессора, математическим обоснованием и отдалённым прообразом которого является машина Тьюринга. После построения всех .bmp-файлов инициируется собственно процедура логического вывода, которая работает без участия процессора и состоит в выводе из выражения (1) тонкой синтаксической структуры базы данных и неразрывно связанной с ней семантической структуры.

Таким образом, мы построили мощную математическую систему на малопроизводительном офисном ноутбуке. Правда, перед началом этой работы ноутбук был подвергнут внутреннему и внешнему апгрейду: был увеличен объём оперативной памяти с 4 до 8 Гб и был приобретён внешний винчестер объёмом 1 Тб. Что касается анализа полученных результатов, то в лучшем случае эта работа может быть проведена на самых мощных из современных серийных компьютеров. В худшем случае может потребоваться один из особо высокопроизводительных экспериментальных компьютеров, имеющихся в некоторых научных центрах. В самом худшем случае необходимый для анализа полученных результатов компьютер ещё не создан, но будет создан в ближайшие годы, причём для этого не потребуется совершать революцию в физике, которая дала бы мощный импульс развитию компьютерных технологий.

Следует заметить, что помимо ограничений на производительность аппаратных компонентов, могут существовать ограничения на производительность программных компонентов. Автор может привести некоторые примеры из собственного опыта, касающиеся этой проблемы. Максимальный размер в пикселах .bmp-файла, который можно открыть в Программе просмотра фотографий Windows или в программе предварительного просмотра Word или в графическом редакторе GIMP не увеличивается при увеличении объёма установленной оперативной памяти с 4 до 8 Гб. Тем не менее, можно сделать вывод: предложенный в настоящей статье метод функционально эквивалентен методу из работы [1], но, в то же время, обладает существенно меньшими требованиями к вычислительным ресурсам.