Построение периодических решений c помощью метода простых итераций

В данной статье посвяшена распостраннению на системи интегро – дифференциальных уравнений типа Вольтерра с бесконично далеким последействием методы малого параметра Ляпунова-Пуанкаре и метод мажорирущих уровнений Ляпунова, рассмотренным Ю.К.Рябовым при построении и анализ периодических решений квазилинейных систем, обикновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему

x = Ax + £

t

- s ) x ( s ) ds + F ( x , t )

-от

(. dx Л x = —

V dt )

где x – n – мерный вектор;

A – постоянная ( n × n ) – матрица, обладающая резонансными собственными значениями (равными нулю или целой кратности - — ) );

F ( x , t ) – вектор функция, аналитическая по x , 2 π – периодическая и всюду дифференцируемая по t ; ε – положительный параметр; R ( t–s ) – ядро релаксации. Линейная однородная система, соответствующая (1), т.е.

dx

= Ax

dt обладает при принятых допущениях о собственных значениях матрицы A – семейством 2π – периодических решений, т.е.

x ( t, c ) = V ( t ) c,

где V ( t ) – ( n × m ) – матрица; c – произвольный постоянный вектор.

При ε = 0 получим так называемое порождающееся семейство 2π – периодических решений  x0(t, c) = V(t)c.                             (4)

Здесь c - произвольный вектор. Полагаем в (1) x = x ₀( t , c ) + y      (5)

и получим для у систему dy

= Ay + £ dt

t

J R ( t - s ) y ( s ) ds + f ( y , c , t )

-от

t

Где     f ( У , c , t ) = J R ( t - s ) x о ( s , c ) ds + F ( x 0 ( t , c ) + У , t )•    (7)

-да

Будем искать функцию y(t, s) и постоянную c(s) методом итераций, считая, что последовательные приближения yi, у2, ... и c0, ci, c2, ... удовлетворяют системам dyi dt

Ay 1 ⁺ £

t

J R ( t - s ) У 1 ( s ) ds + f (0, c о , t )

-да

dyk dt

АУк + £

t

J ^{R (} t ^- s ) y k ⁽ s ) ds + ^{f (} y k - i , c k - i , t )

-да

k >  2

При этом будем искать все у_к = y k ( t , s ) как 2 п -периодической функции, ортогональные по всем 2 π –периодическим решениям однородной системы (2). Рассматриваем сначала систему (8) для первого приближения У 1 = У 1 ( t , s ) и стараемся удовлетворить, если возможно, условию существования 2 п - периодического решения этой системы, т.е. условию, аналогичному (15) формула:

® о ( с о ) = & ( t ) f (0, c 0 , t ) dt = 0, 0

~ где H(t) - матрица, сопряженная по отношению к матрице Н (t) = V (t);

~

V ( t ) - матрица периодических решений системы, сопряженной к (2).

Это уравнение относительно постоянного вектора с 0 (уравнение для порождающих амплитуд). Если оно имеет вещественное решение с 0 = с 0* (в случае, когда решение (4) выбирается вещественным), то саму функцию у 1 ( t , s ) находим как частное 2 п - периодическое решение системы (8), ортогональное семейству (3). После этого рассматриваем систему для второго приближения у ₂ = у ₂( t , s ). Условие существования периодического решения этой системы

2 п

Ф , ( с , , е ) - J H ( t)ff ( y , ( t , e ) c , , t ) dt = 0

является уравнением для определения постоянного вектора c i , зависящего от параметра s . Если оно имеет вещественное решение c 1 = c ₁ * ( s ), обращающееся в c ₀ * при s = 0, то y ₂( t , s ) определяем опять как частное 2 п - периодическое решение системы (8) при k = 2), ортогональное к семейству (3) и т.д.

Определение. Для системы (1) имеет место критический случай k-го порядка, если система (9) для k-го приближения является первой, для которой условие существования периодического решения, представляющее уравнение относительно постоянного вектора ck—1, или не имеет вещественного решения или имеет решение c k-1, являющееся простым при условии учета соответствующих членов низшего порядка относительно s в выражении для

2 п

Ф к - 1 ⁽ с к - 1 , ^е ) = J H ⁽ t) ^{f (} у_к - 1 ⁽ t , ^е ) ^c k -р t ) ^dt о

Естественно, что проверка этих условий осуществляется последовательно: сначала при k = 1, затем при k = 2 и т.д. Тогда непосредственно и выбираются члены низшего порядка, которые следует учитывать при установлении, является ли решение уравнения для вектора ck—1 простым.

При k = 1 имеем для c0 уравнение (10), совпадающее с уравнением порождающих амплитуд (13). Если оно имеет вещественное простое решение, то мы приходим к условию основного варианта, разработанного выше. Пусть уравнение (10) имеет решение c = c0* не являющееся простым, т.е. пусть det Bo = det —0——    = 0.

0          dr

V ^{d c} 0    7 с = с *

Тогда обратная матрица В0-1, не существует. Это означает, что для системы (9) k > 2 мы не можем гарантировать выбор постоянных векторов ck—1( 8), обращающихся в c 0* при s = 0 и обеспечивающих существование 2п - периодических решений ук(t, s), k > 2 обращающихся в нуль вместе с 8. Действительно, рассмотрим систему (6), представив функцию f(y, c, t, s) в виде

f(y, c, t) = fj(t, c) + p(t, c)y + Q(y, c, t), где

f ( t , c ) = | л ( t - s ) x ⁰( t , s ) ds + F ( x ⁰( t , c ), t );

-да

_P ( t , C ) = 5 ^ 0^ ;

d x

Q(y , c , t ) = F(x ⁰( t , c ) + y , t , c ) - f ^ (t , c ) - p ( t , c ) y.

Определив решение c = c ₀ * уравнения

Ф » ( с 0 ) " j H ( t ) f (0, c ₀, t , 0) dt = \H ( t ) f ,( t , c 0 ) dt = 0.

0                                    0

найдем из системы (8) первое приближение y 1( t, s) и перейдем к системе для второго приближения, т.е. к системе dy

= Ay 2 ^{+ s} dt

t j R (t- s ) y 2 (s ) ds + f 0(t, c ) + p (t, c ) yi + Q (yi , cp t )

-да

Уравнение (11), представляющее условие существования периодического решения этой системы, запишется в виде

2 п

^Ф 1 ^{( с} 1 , £ ) = j ^{H (} t ^{) [ f} )⁽ t , ^c i ) ⁺ Р ⁽ t , ^c i ) y i ⁺ Q ⁽ y i , ^c i , t ) ] dt = 0.                (17)

При s = 0 (тогда и y 1 = 0) это уравнение выраждающееся уравнение (15)

Ф 0( с 1) = 0 и имеет решение c = c 0*. Однако ввиду условия (12) имеем det (Фсо,^ "I     = о.

dr

V     ^d c 1     A = 0, c = с *

и мы не можем гарантировать при произвольных функциях р, yi, Q порядка s и выше существование решения с 1  = с 1(£) полного уравнения, обращающегося в c 0* при s = 0.

Возникает вопрос об условиях, гарантирующих существование всех векторов c k ( s ), k > 1 обращающихся в c ₀ * при s = 0 и обеспечивающих существование 2 п - периодических приближений y k ( t , s ), k > 2.

Естественной является ситуация, когда в правой части уравнения (17), если отбросить функцию f0(t, c 1), низший порядок членов относительно s равен единице. Такие члены можно получить, если вектор 2п f p (t, С1)У1(t, e)dt не равен тождественно нулю (так как // y 1(t, s) // □ s). о

Тогда в левой части уравнения (17) при отбрасывании f₀ ( t , c 1 ) младшие члены относительно s имеют первый порядок, так как функция Q(y ₁( t , s ), с 1 , t ) имеет 2-ой порядок относительно y 1 .

Обозначим

2п f H(t)p(t, C1)У1dt = £ N1CC1) + 0(e)(18)

о

2n f H(t)Q(y,(t, e), c„ t)dt = £2 N2(c,) + 0(e2),(19)

где N1( c 1) и N2( c 1) не зависят от s. Уравнение (17) перепишется тогда в виде Ф1(с1, e) = Fo(c1) + eN1(c1) + e2N2(c1) + N3(e) = 0, где N3( s) имеет порядок не ниже s2.

Определение. Простым решением c = c0*(s) уравнения (17) с учетом членов низшего (или первого) порядка относительно s называется такое, которое отличается по норме от решения c0* уравнения Ф0(c0) = 0 на величину порядка е2, 0 < 2 < 1 и для которого функциональный определитель det

*

^{д Ф} 1 ^{( с} 1 ^{( £ )}, £ )

k      dc1      7

,

будучи отличным от нуля, имеет тот же порядок е² .

Справедлива следующая теорема, показывающая смысл такого понятия простого решения.

Теорема. Пусть функции F ₀( c ), N 1 ( c ) дважды дифференцируемы по c и пусть вместе с уравнением

Ф 1 ( с р £ ) = F _o( с ) + s N i (c ) = 0                                         (22)

рассматривается другое уравнение

Ф ( С , £ ) = Ф 1 (С , £ ) + £² Ф 2 ( С , £ ) = 0,                                       (22 1 )

левая часть которого отличается от Ф 1 (с 1 , £ ) членами порядка е ² и выше, причем Ф ₂( с , е ) дифференцируемая функция с . По е все функции непрерывны.

Тогда каждому простому решению c 1* ( е ) уравнения (22) соответствует единственное решение c = c ( е ) уравнения (22 1 ), обращающееся в c 1* ( е ) при Ф ₂ = 0 и отличающееся от решения c 1* ( е ) уравнения (22) членами порядка выше е² . Главные части решения c 1* ( е ) и c ( е ) порядка е² совпадают.