Построение высокоточных многосеточных конечных элементов малой размерности с применением локальных аппроксимаций и образующих конечных элементов

В современной авиационной и ракетно-космической технике широко применяются упругие конструкции, пластины, балки, оболочки, имеющие неоднородную (волокнистую) структуру. При анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих конструкций (тел) активно используется метод конечных элементов (МКЭ) [1–7]. Базовые дискретные модели (БМ) тел, которые учитывают их неоднородную, микронеоднородную структуру в рамках микроподхода [8] с помощью конечных элементов (КЭ) 1-го порядка, имеют очень высокую размерность.

Для понижения размерностей дискретных моделей очень результативно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [9–11]. Особенно эффективно ММКЭ используется при решении задач теории упругости [12–16] для композитных тел (КТ). ММКЭ реализуется на основе функционала Лагранжа (т. е. в перемещениях) [17] с применением многосеточных конечных элементов (МнКЭ) [18–21]. Поскольку при построении n-сеточного КЭ используется не одна, a n вложенных сеток (n > 2), то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т. е. МКЭ – частный случай ММКЭ. Отсюда следует, что если в расчетах тел по МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ. Неоднородные, микронеодно-родные структуры КТ учитываются в рамках микроподхода с помощью МнКЭ. Существующие подходы и численные методы решения задач упругости для КТ имеют сложные формулировки и труднореализуемы [22–30]. Для тел с неоднородной регулярной структурой с различными коэффициентами наполнения, которые с позиций макроподхода рассматриваются как изотропные однородные тела, НДС определяется с помощью фиктивных модулей упругости. Процедуры нахождения фиктивных модулей упругости показаны в работе [31] для двумерных композитов, в [32] – для трехмерных. Основные достоинства ММКЭ состоят в том, что он порождает для КТ дискретные модели малой размерности и реализуется на базе процедур МКЭ.

При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (кратко – стандартного МнКЭ) используются мелкая сетка и крупные, вложенные в мелкую. Мелкая (базовая) сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает неоднородную, микронеодно-родную структуру стандартного МнКЭ, крупные сетки применяются для понижения его размерности. Для стандартных МнКЭ характерно следующее. Всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при повышении его порядка точности, так как в этом случае на крупных сетках используются аппроксимаци перемещений высокого порядка. Для уменьшения погрешности приближенных решений используются (стандартные) высокоточные МнКЭ, т. е. МнКЭ высокого порядка точности, которые имеют большую размерность. Однако применение высокоточных МнКЭ затруднительно, так как они порождают дискретные модели тел высокой размерности.

Основной недостаток МКЭ и ММКЭ состоит в том, что при построении по МКЭ, ММКЭ решений с малой погрешностью для КТ с помощью известных односеточных КЭ, МнКЭ необходимо применять дискретные модели тел высокой размерности. Для решения данной проблемы здесь предлагается использовать высокоточные МнКЭ малой размерности, которые позволяют для крупных дискретных моделей КТ определять напряжения с малой погрешностью.

В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко – малоразмерных МнКЭ), которые применяются при расчете НДС по ММКЭ упругих однородных и КТ. МЛА применяется для КТ, которые удовлетворяют следующим основным положениям.

Положение 1. КТ состоят из разномодульных изотропных однородных тел, связи между которыми идеальны, т. е. на общих границах разномодульных изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений являются непрерывными.

Положение 2. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных изотропных однородных тел отвечают соотношениям Коши и закону Гука трехмерной задачи линейной теории упругости [16].

Следует отметить, что МЛА, по сути, порождает новые подходы построения МнКЭ. Рассмотрены два подхода, т. е. два типа малоразмерных МнКЭ. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа проектируются на базе стандартных с применением локальных аппроксимаций перемещений, которые определяются на подобластях стандартных МнКЭ, 2-го типа – с применением образующих КЭ. Краткая суть построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоит в следующем. Согласно МЛА в центральной части области V ₀ стандартного МнКЭ применяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка (построенные на крупных сетках), в окрестности границы области V ₀ – малого порядка, что позволяет проектировать высокоточный МнКЭ V_p малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа, размерность которого равна размерности стандартного. Следует отметить следующее. При увеличении порядка точности МнКЭ V_p размерность его не меняется, т. е. не увеличивается, и поэтому он называется высокоточным МнКЭ малой размерности. Подробно изложена процедура построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Как известно, расчет на статическую прочность упругих конструкций сводится к нахождению для них максимальных эквивалентных напряжений, определение которых с малой погрешностью для КТ является в настоящее время актуальной проблемой.

Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25–50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с применением стандартных МнКЭ, которые имеют такие же формы, характерные размеры, размерности, неоднородную структуру и образуют такие же дискретные модели, как малоразмерные МнКЭ. Приведенный пример расчета КТ по ММКЭ с применением малоразмерных МнКЭ 1-го типа показывает их высокую эффективность.

Основные достоинства малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоят в следующем. Во-первых, малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения с меньшей погрешностью, чем стандартные, и образуют дискретные модели КТ малой размерности. Во-вторых, применение в расчетах по ММКЭ малоразмерных МнКЭ 1-го типа позволяет для крупных дискретных моделей КТ определять максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Отсюда следует, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа более эффективны, чем стандартные (на базе которых построены малоразмерные).

Кратко показана процедура построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа на базе стандартных высокоточных МнКЭ с применением образующих КЭ. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа имеют такой же порядок точности, как стандартные, но размерность их меньше размерности стандартных. Поэтому малоразмерные МнКЭ 2-го типа порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.

1. Процедура построения стандартных многосеточных конечных элементов

Основные положения построения стандартных МнКЭ на основе функционала Лагранжа, не теряя общности суждений, покажем на примере лагранжевого двухсеточного конечного элемента (2сКЭ) V d²² размерами 8 h х 8 h х 8 h (рис. 1), h - задано. Здесь и далее МнКЭ на рисунках показаны в локальной декартовой системе координат Oxyz . Рассматриваемый 2сКЭ V_d ⁽²⁾ армирован непрерывными волокнами сечением h х h , которые параллельны оси Oy , расстояние между которыми равно h . На рис. 2 показано сечение 2сКЭ в плоскости Oxz , сечения волокон закрашены. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающие трехмерной задачи линейной теории упругости [12–16], т. е. во всей области 2сКЭ V_d ⁽²⁾ реализуется трехмерное НДС [16]. Область 2сКЭ V_d ⁽²⁾ представляем БМ R_d , состоящей из однородных односеточных КЭ (1сКЭ) V_j^h первого порядка формы куба со стороной h [6; 7], j = 1,..., M ; M - общее число 1сКЭ V j , для рис. 1 имеем M = 512 . На рис. 1 показана БМ R_d 2сКЭ V_d ⁽²⁾ , которая учитывает неоднородную структуру 2сКЭ V_d ⁽²⁾ и порождает мелкую (базовую) узловую равномерную сетку h_d размерности 9 х 9 х 9 с шагом h .

Рис. 1. Сетки 2сКЭ V_d ⁽²⁾

Fig. 1. Grids 2gFE V_d ⁽²⁾

На мелкой сетке hd определяем крупную равномерную сетку Hd2 размерности 5 х 5 х 5 с шагом 2h . На рис. 1 узлы крупной сетки Hd(2) отмечены точками – 125 узлов. Полную потен- циальную энергию Пd базового разбиения Rd 2сКЭ Vd(2) (т. е. функционал Лагранжа [17]) представим в матричной форме [6; 7]:

M

П d = ∑ ( ¹ q ^T j [ K^h j ] q j - q ^T j P j ) ,                                   (1)

j = 1 2

где [ K^h_j ] – матрица жесткости; P _j , q _j – векторы узловых сил и неизвестных 1сКЭ V_j^h ;

T – транспонирование; М – общее число 1сКЭ V_j^h .

С помощью полиномов Лагранжа [6] на сетке H_d ⁽²⁾ определяем аппроксимирующие функции u ₂, v ₂, w ₂ для перемещений u , v , w 2сКЭ V_d ⁽²⁾ , которые запишем в форме

555       555        555

u 2 = ∑∑∑ N ijk u ijk , v 2 = ∑∑∑ N ijk v ijk , w 2 = ∑∑∑ N ijk w ijk ,          (2)

i = 1 j = 1 k = 1                           i = 1 j = 1 k = 1                            i = 1 j = 1 k = 1

где u_ijk , v_ijk , w_ijk – искомые значения функций u ₂, v ₂, w ₂ в узле i , j , k сетки H_d ⁽²⁾ ; i , j , k – координаты целочисленной системы координат ijk , которая введена для узлов крупной сетки H_d ⁽²⁾ (рис. 1); N_ijk = N_ijk ( x , y , z ) – базисная функция узла i , j , k сетки H_d ⁽²⁾ , i , j , k = 1,...,5, где

N ijk = L i ( x ) L j ( y ) L k ( z ),                                         (3)

где L_i ( x ) = ∏   ^{x - x α} ; L_j ( y ) = ∏ ^{y - y α} ; L_k ( z ) =   ∏   ^{z - z α} , x_i , y_j , z_k – координаты

α=1,α≠i xi - xα             α=1,α≠jyj -yα            α=1,α≠k zk -zα узла i, j, k сетки Hd(2) в системе координат Oxyz .

Обозначим: N _β = N_ijk , u _β = u_ijk , v _β = v_ijk , w _β = w_ijk , где i , j , k = 1,...,5, т. е. β = 1,...,125 . Тогда выражения (2) принимают вид

125                 125125

u2=∑Nβuβ, v2=∑Nβvβ, w2=∑Nβwβ.(4)

β=1                β=1

Обозначим: qd = {u1,...,u125, v1,...,v125, w1,..., w125}T – вектор узловых перемещений крупной сетки Hd(2) , т. е. вектор неизвестных 2сКЭ Vd(2) . Используя (4), компоненты вектора q j узловых неизвестных 1сКЭ Vjh выражаем через компоненты вектора qd , в результате получим qj=[Adj] qd,(5)

где [ A^d_j ] – прямоугольная матрица; j = 1,..., M .

Подставляя (5) в выражение (1), из условия ∂ П_d / ∂ q _d = 0 получаем матричное соотношение вида [ K_d ] q _d = F _d , где

MM

[ K d ] = ∑ [ A^d j ] ^T [ K^h j ][ A^d j ], F d = ∑ [ A^d j ] ^T P j ,                          (6)

j = 1                                     j = 1

где [ K_d ], F _d – матрица жесткости (размерности 375 × 375 ) и вектор узловых сил (размерности 375) стандартного 2сКЭ V_d ⁽²⁾ .

Особенность стандартных МнКЭ заключается в том, что всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области.

Стандартный 2сКЭ формы куба, имеющий равномерную крупную сетку размерности ( n + 1) x ( n + 1) x ( n + 1), называется 2сКЭ n -го порядка. Поскольку равномерная крупная сетка H d² 2сКЭ V j²^ имеет размерность 5 x 5 x 5 , то 2сКЭ V j²^ называется 2сКЭ 4-го порядка. Отметим, что размерность лагранжевого 2сКЭ n -го порядка формы куба при использовании крупной равномерной сетки равна 3( n + 1) ³ , т. е. с увеличением порядка n размерность 2сКЭ резко возрастает.

Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки H_d ⁽²⁾ 2сКЭ V_d ⁽²⁾ , с помощью формулы (5) проецируется на мелкую сетку h_d базового разбиения R_d 2сКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом 1сКЭ V_j^h разбиения R_d , следовательно, можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры 2сКЭ V_d ⁽²⁾ .

Замечание 2. В силу (5) размерность вектора q _d (размерность 2сКЭ V_d ⁽²⁾ ) не зависит от числа М , т. е. от размерности разбиения R_d . Следовательно, для учета в 2сКЭ V_d ⁽²⁾ сложной неоднородной (микронеоднородной) структуры, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения R_d , состоящие из 1сКЭ V_j^h . В этом случае в 1сКЭ V_j^h сколь угодно точно описывается трехмерное напряженное состояние (без упрощающих гипотез).

Замечание 3. Отметим случай, когда 2сКЭ V_d ⁽²⁾ имеет сложную форму и его крупная сетка имеет внешние узлы, которые совпадают с узлами крупных сеток соседних с ним 2сКЭ. В этом случае при построении 2сКЭ V_d ⁽²⁾ во всех узлах его мелкой сетки искомые перемещения u , v , w выражаются через узловые перемещения крупной сетки H_d ⁽²⁾ 2сКЭ V_d ⁽²⁾ , кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами (со стыковочными узлами) крупных сеток соседних 2сКЭ и сетки H_d ⁽²⁾ , что обеспечивает стыковку 2сКЭ V_d ⁽²⁾ с соседними с ним 2сКЭ.

Рис. 3. Крупная сетка H_d ⁽³⁾

Fig. 3. Large grid H_d ⁽³⁾

При построении (трехсеточного) 3сКЭ используем конечное число 2сКЭ, их крупные сетки образуют мелкую сетку 3сКЭ, на которой определяем крупную сетку для 3сКЭ. Процедура построения 3сКЭ изложена в работах [9; 19]. Рассмотрим частный случай, когда построение 3сКЭ V_d ⁽³⁾ проводится на базе одного 2сКЭ V_d ⁽²⁾ . Крупную сетку H d ⁽²⁾ 2сКЭ V d ⁽²⁾ считаем мелкой сеткой 3сКЭ. На сетке H_d ⁽²⁾ для 3сКЭ V_d ⁽³⁾ определяем крупную сетку H_d ⁽³⁾ . На рис. 3 узлы равномерной сетки H_d ⁽³⁾ с шагом 4 h отмечены точками – 27 узлов.

Затем по выше описанной процедуре определяем матрицу жест- кости и вектор узловых сил стандартного 3сКЭ Vd(3) . Построение стандартного 3сКЭ (МнКЭ) на базе одного стандартного 2сКЭ целесообразно применять в случае, когда стандартный 2сКЭ имеет большие геометрические характерные размеры.

ными и m внутренними областями. Граничные (внутренние) области имеют общую границу (не имеют общей границы) с областью V ₀ (общие границы областей не вырождаются в точку). На граничных (внутренних) областях определяем n ( m ) крупных сеток, которые вложены в мелкую сетку H и порождают аппроксимации перемещений малого (высокого) порядка. На границе области V ₀ число узлов крупных сеток мало. На граничных и внутренних областях, используя их мелкие и крупные сетки, строим n граничных и m внутренних 2сКЭ, которые образуют высокоточный р -сеточный КЭ (р сКЭ), где р = 1 + n + m . Отметим, что при построении р сКЭ используются одна мелкая сетка H и n + m (в общем случае различных) крупных сеток. Выражая в p сКЭ перемещения внутренних узлов крупных сеток (с помощью метода конденсации [6]) через перемещения граничных узлов, получаем высокоточный p сКЭ малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа. Следует отметить, что математические операции метода конденсации являются математическими тождественными преобразованиями, т. е. они не влияют на погрешность решения.

Для простоты изложения, рассмотрим стандартный МнКЭ, мелкая базовая сетка H которого имеет большую размерность. На мелкой сетке H определяем крупную сетку на всей области МнКЭ, которая также имеет высокую размерность. Тогда в центральной части области МнКЭ на крупной сетке определяем аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области – малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и порядок точности малоразмерного МнКЭ. Основные положения процедуры построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа показаны в примере 1.

Пример 1. Рассмотрим модельную задачу определения НДС по ММКЭ для тела V ₀ ¹ с неоднородной (волокнистой) структурой размерами 16 h х 64 h х 16 h , которое лежит в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz (рис. 4), где h – задано. В расчетах тела V ₀ ¹ используем его БМ R₀ и дискретные модели R₁ и R₂ , состоящие соответственно из стандартных и малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Тело V 0 армировано непрерывными волокнами сечением h х h , параллельными оси Оу , расстояние между волокнами равно h при у = 0: u , v , w = 0, т. е. при у = 0 тело жестко закреплено. Для модельной задачи имеем следующие исходные данные:

h = 0,5; E c = 1, E v = 10, v _с = v v = 0,3,

где E_c , E v ( v _c , v _v ) - модули Юнга (коэффициенты Пуассона) соответственно связующего материала и волокна; в точках тела V ₀ ¹ с координатами x_i , y_j , z , где z = 16 h , x i = 8 h ( i - 1), i = 1,2,3, y, = 8 hj , j = 1,...,8, действует нагрузка F_z = 0,35 (рис. 4). Сечение тела V ₀ ¹ в плоскости Oxz показано на рис. 5, сечения волокон закрашены.

Рис. 4. Размеры КТ V ₀ ¹

Fig. 4. Sizes CB V ₀ ¹

БМ R0 КТ V01 состоит из односеточных конечных элементов (1сКЭ) Vjh 1-го порядка формы куба со стороной h (в которых реализуется трехмерное НДС [16]). БМ R0 учитывает в рамках микроподхода неоднородную структуру КТ V01 и порождает равномерную (базовую) сетку с шагом h размерности 17 х 65 х 17.

Дискретную модель R₁ КТ V ₀ ¹ образуют четыре одинаковых стандартных 2сКЭ V_q ⁽²⁾ 4-го порядка формы куба, построенных на области V q размерами 16 h х 16 h х 16 h (рис. 6). На рис. 5, 6

показаны сечение 2сКЭ Vq(2) и его крупная равномерная сетка с шагом 4h , узлы крупной сетки отмечены точками - 125 узлов. Матрицу жесткости (размерности 375 х 375) и вектор узловых сил (размерности 375) 2сКЭ Vq(2) определяем по процедуре п. 1.

Рис. 5. Сечение КТ V ₀¹ (МнКЭ V_p ¹ ) Fig. 5. Section CB V 0 ¹ (MgFE V_p ¹)

Дискретная модель R₂ КТ V ₀ ¹ состоит из 4-х одинаковых малоразмерных МнКЭ V_p ¹ (1-го типа) размерами 16 h х 16 h х 16 h , сечения которых показаны на рис. 5. Согласно МЛА, построение МнКЭ V_p ¹ 1-го типа (рис. 6) на базе стандартного 2сКЭ V_q ⁽²⁾ , т. е. на области V_q размерами 16 h х 16 h х 16 h , сводится к следующему. В центральной части области V_q выделяем внутреннюю область V ₁ размерами 12 h х 12 h х 12 h (рис. 7), которая состоит из восьми одинаковых внутренних 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ 3-го порядка размерами

6 h х 6 h х 6 h (рис. 8).

Рис. 6. Область V , 2сКЭ V ⁽²⁾ , МнКЭ V ¹ qq p

Рис. 7. Внутренняя область V ₁

Fig. 7. Inner region V ₁

Fig. 6. Region V_q , 2gFE V_q ⁽²⁾ , MgFE V_p ¹

Крупная и мелкая сетки и сечение 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ показаны на рис. 8, 9, сечения волокон (параллельных оси Oy ) размерами h х h закрашены, узлы крупной сетки отмечены точками, 64 узла. Матрицу жесткости (размерности 192 х 192) и вектор узловых сил (размерности 192) 2сКЭ V 1( ²⁾ находим по процедуре п. 1. Внутреннюю область V ₁ окружают восемь одинаковых по форме и характерным размерам 8 h х 8 h х 8 h граничных тонкостенных областей V 2 сложной формы, толщиной 2 h (рис. 10). На области V ₂ строим граничный 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾ , используя крупную (равномерную) сетку H 22) размерами 8 h х 8 h х 8 h с шагом 4 h , т. е. малой размерности 3 х 3 х 3 (рис. 11), узлы крупной сетки H ₂ ⁽²⁾ отмечены точками – 27 узлов. На рис. 10 представлена мелкая равномерная сетка 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾ с шагом h . Отметим, что 8 узлов крупной сетки H ₂ ⁽²⁾ лежат вне области V ₂ , но совпадают с узлами крупной сетки 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ .

При построении 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾ во всех узлах его мелкой сетки искомые перемещения u , v , w выражаем через узловые перемещения крупной сетки H ₂ ⁽²⁾ , кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами сетки H ₂ ⁽²⁾ (27 узлов) и с граничными узлами крупной сетки 2сКЭ

V ₁ ⁽²⁾ (37 узлов), которые обеспечивают стыковку 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ и V ₂ ⁽²⁾ . На рис. 10 эти стыковочные узлы 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ отмечены точками (см. замечание 3 п. 1). Итак, 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾ имеет 64 узла, в которых определяются перемещения, т. е. 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾ имеет матрицу жесткости размерности 192 × 192 и вектор узловых сил размерности 192. В области V_q восемь одинаковых внутренних 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾ и восемь граничных 2сКЭ типа V ₂ ⁽²⁾ образуют высокоточный МнКЭ R ¹ _p .

Рис. 8. Сетки внутреннего 2сКЭ V ₁ ⁽²⁾

Fig. 8. Grids of the inner 2gFE V ₁ ⁽²⁾

Fig. 9. Section 2gFE V ₁ ⁽²⁾

Рис. 10. Граничная область V ₂ (2сКЭ V ₂⁽²⁾ )

Fig. 10. Boundary region V ₂ (2gFE V ₂⁽²⁾ )

Рис. 11. Сетка H ₂⁽²⁾ 2сКЭ V ₂ ⁽²⁾

Fig. 11. Grid H ₂⁽²⁾ of the 2gFE V ₂ ⁽²⁾

Выражая в МнКЭ R ¹ _p перемещения внутренних узлов (с помощью метода конденсации [6]) через перемещения граничных узлов МнКЭ R ¹ _p , получаем малоразмерный МнКЭ V_p ¹ 1-го типа. Отметим, что МнКЭ V_p ¹ 1-го типа имеет такую же размерность, как стандартный МнКЭ V_q ⁽²⁾ (рис. 6), в котором с помощью метода конденсации исключены перемещения внутренних узлов.

Результаты расчетов КТ V ₀ ¹ по ММКЭ с применением дискретных моделей R₀ , R₁ и R₂ даны в таблице, где σ n – максимальное эквивалентное напряжение модели R n (напряжение σ n определяется по 4-й теории прочности [33]), N no и b no – размерность и ширина ленты системы уравнений ММКЭ модели R _n , n = 0,1, 2 . Считаем, что БМ R₀ КТ V ₀ ¹ порождает точное решение, т. е. напряжение σ 0 отвечает точному решению. Тогда относительная погрешность δ n (%) для напряжения σ n , отвечающего модели R n , где n = 1,2 , определяется по формуле

δ n (%) = 100% × | σ 0 -σ n |/ σ 0 . (8)

Анализ результатов таблице показывает, что погрешность напряжения о ₂, которое отвечает модели R 2 , состоящей из малоразмерных МнКЭ V p 1-го типа, в k₁ = 8^ %)/ 8 ₂(%) = 25,122 раз меньше погрешности напряжения о ₁, отвечающего модели R₁, состоящей из стандартных 2сКЭ V_q ⁽²⁾ . Для приближенных решений используются скорректированные условия прочности, которые учитывают погрешность напряжений и представлены в следующей теореме.

Результаты расчетов моделей R₀ , R₁ , R₂

n	R n	о n	8 n (%)	o n	bno
0	R 0	4,999	–	55488	924
1	R 1	4,374	12,511	1200	375
2	R 2	5,0246	0,498	1200	375

Теорема. Пусть для коэффициента запаса n0 упругого тела V0 заданы условия прочности n1 < n0 < n2,                                                (9)

где n ₁, n 2 - заданы, n ₁ >  1, n 0 = о _T / о ₀, о T - предельное напряжение тела V ₀, о ₀ - максимальное эквивалентное напряжение тела V ₀ , которое отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела V ₀ .

Пусть коэффициент запаса nb тела V0 , отвечающий приближенному решению задачи теории упругости, удовлетворяет скорректированным условиям прочности вида nn

—¹— <  n_b < ——.

1 -б а b 1 + 5_а

Тогда коэффициент запаса n ₀ тела V ₀ , отвечающий точному решению задачи теории упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (9), где n b = о _T / о b , о b - максимальное эквивалентное напряжение тела V ₀ , отвечающее приближенному решению задачи теории упругости, построенному для тела V , и найденное с такой погрешностью 8 b , что

^А 1 «А 2 , где A i = n 2 /(1 + 8_а ) - n i / (1 -8_а ), А 2 = n 2 - n i .

Дискретная модель R 2 (и модель R 1 ) требует в k₂ = ( N 0 х b 0 ) / ( N O х b ) = 113,94 раз меньше объема памяти ЭВМ, т. е. почти в 114 раз меньше, чем БМ R₀ КТ V ₀ ¹ (см. таблицу). Анализ результатов расчетов показывает, что предлагаемые малоразмерные МнКЭ V_p ¹ (1-го типа) более эффективны, чем стандартные 2сКЭ V_q ⁽²⁾ , которые имеют такие же форму, характерные размеры, размерность и такую же неоднородную структуру, как малоразмерные.

Важно отметить следующее. Согласно замечанию 2 (см. п. 1), при построении МнКЭ можно использовать сколь угодно мелкую базовую сетку. Тогда крупные сетки малоразмерного МнКЭ (1-го типа) могут иметь сколь угодно высокую размерность и, следовательно, порождать на внутренних областях МнКЭ локальные аппроксимации перемещений сколь угодно высокого порядка и число внутренних областей в МнКЭ возрастает. При этом порядок локальных аппроксимаций перемещений на граничных областях и их число не меняется. Это приводит к увеличению порядка точности малоразмерных МнКЭ при постоянстве их размерности. Однако порядок точности малоразмерных МнКЭ не может быть сколь угодно большим, так как реализация метода конденсации, связанная с матрицами высокого порядка, в этом случае требует большого объема памяти ЭВМ, который ограничен.

3.    Построение малоразмерных МнКЭ с применением образующих КЭ

Основные положения процедуры построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа с применением образующих КЭ показаны в следующем примере.

Пример 2. Основные положения построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа с применением образующих КЭ покажем на примере высокоточного лагранжевого 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ размерами 9 h х 10 h х 9 h (рис. 12), где h - задано, который расположен в декартовой системе координат Oxyz . Рассматриваемый 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ армирован непрерывными волокнами сечением h х h , которые параллельны оси Oy . На рис. 13 показано сечение 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , сечения волокон закрашены, расстояние между волокнами равно h . Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающие трехмерной задачи линейной теории упругости [16], т. е. в области 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ реализуется трехмерное НДС.

Рис. 12. Сетки 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾

Fig. 12. Grids of the 2gFE V ₃ ⁽²⁾

Рис. 13. Сечение 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾

Fig. 13. Section of the 2gFE V ₃ ⁽²⁾

Область 2сКЭ V3(2) представляем БМ Rd3 , состоящей из однородных 1сКЭ Vjh первого по рядка формы куба со стороной h [6; 7], в которых реализуется трехмерное НДС [16]. На рис. 12

показано базовое разбиение R_d ³ 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , которое учитывает неоднородную структуру 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ и порождает мелкую (базовую) узловую равномерную сетку h_d ³ размерности 10 × 11 × 10 с шагом h . На мелкой сетке h_d ³ определяем крупную равномерную сетку H_d ³ размерности 4 × 6 × 4 с шагом 3 h по осям Ox , Oz и с шагом 2 h по оси Oy . На рис. 12 узлы крупной сетки H_d ³ отмечены точками – 96 узлов. В данном случае с помощью полиномов Лагранжа [6] на крупной сетке H_d ³ аппроксимирующие функции u ₂, v ₂, w ₂ для перемещений u , v , w 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ представим в форме

464       464       464

u 2 = ∑∑∑ N ijk u ijk , v 2 = ∑∑∑ N ijk v ijk , w 2 = ∑∑∑ N ijk w ijk ,           (12)

• i = 1 j = 1 k = 1                           i = 1 j = 1 k = 1                            i = 1 j = 1 k = 1

где u_ijk , v_ijk , w_ijk – искомые значения функций u ₂, v ₂, w ₂ в узле i , j , k крупной сетки H_d ³ ; i , j , k – координаты целочисленной системы координат ijk , которая введена для узлов крупной сетки H_d ³ (рис. 12); N_ijk – базисная функция узла i , j , k сетки H_d ³ , i , k = 1,..., 4 , j = 1,...,6, где

N ijk = L i ( x ) L j ( y ) L k ( z ),                                        (13)

где L i ( x ) = ∏ ^{4    x - x α} , L j ( y ) = ∏ ^{6    y - y α} , L k ( z ) =   ∏ ^{4    z - z α} ; x i , y j , z k – координаты

α=1,α≠ixi-xα            α=1,α≠jyj -yα            α=1,α≠k zk -zα узла i, j, k крупной сетки Hd3 в системе координат Oxyz .

Введем обозначения: N _β = N_ijk , u _β = u_ijk , v _β = v_ijk , w _β = w_ijk , где i , k = 1,...,4 , j = 1,..., 6, т. е.

имеем β= 1,...,96. Тогда выражения (12) принимают вид

96 96 96

• u ₂ = ∑ N _β u _β , v ₂ = ∑ N _β v _β , w ₂ = ∑ N _β w _β . (14) β= 1 β= 1 β= 1

Используя (12)–(14), по процедуре п. 1 для 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ определяем матрицу жесткости (размерности 288 × 288 ) и вектор узловых сил (размерности 288), т. е. размерность 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ равна 288 . Для понижения размерности 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ применяем метод конденсации [6]. Выражаем перемещения внутренних узлов крупной сетки H_d ³ через перемещения узлов сетки H_d ³ , которые лежат на границе 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ . В результате получаем 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , который имеет 240 узловых неизвестных. Итак, размерность 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ равна 240. Отметим, что 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ является высокоточным, так как он имеет 3-й порядок аппроксимации перемещений по осям Ox , Oz и 5-й порядок – по оси Oy .

Кратко рассмотрим процедуру построения малоразмерного 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ 2-го типа на основе высокоточного стандартного лагранжевого 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ (рис. 12), т. е. высокого порядка точности, с применением образующего КЭ V_L размерами 9 h × 9 h . На рис. 14 показаны мелкая сетка, отвечающая 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , и сетка КЭ V_L , узлы которой отмечены точками – 12 узлов.

Согласно методу образующих КЭ [21], область 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ получается путем параллельного перемещения образующего КЭ V_L квадратной формы вдоль оси Oy на заданное расстояние d = 10 h (рис. 15). Сетка образующего КЭ V_L образует крупную сетку H_d ⁴ 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ . Отметим, что неоднородные структуры 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ и V ₄ ⁽²⁾ одинаковы. Поэтому БМ R_d ⁴ 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ , как и

БМ 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , состоит из однородных 1сКЭ V_j^h 1-го порядка формы куба со стороной h , где j = 1,..., M , где M - общее число 1сКЭ V j , M = 810. БМ R d учитывает неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ и порождает мелкую сетку h_d ⁴ .

Рис. 15. Сетки 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾

Fig. 15. Grids of the 2gFE V ₄ ⁽²⁾

9h ______J

Рис. 14. Сетки образующего КЭ V_L

Fig. 14. Grids of the generating FE V_L

Согласно методу образующих КЭ, общее число узлов N_d крупной сетки H_d ⁴ 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ , которая вложена в мелкую сетку h d , определяется по формуле N d = n xz n y , где n_xz - число узлов образующего КЭ V L , для которого n xz = 12, n y - число узлов крупной сетки H_d, лежащих на оси Oy (на оси j ), 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ имеет 6 узлов на оси Oy , т. е. n y = 6 , тогда N d = 12 х 6 = 72 . Узлы крупной сетки H_d ⁴ равномерно расположены по оси Oy с шагом 2 h . На рис. 15 узлы сетки H_d ⁴ отмечены точками – 72 узла. Для 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ введены две локальные системы координат: декартовая Oxyz и для узлов крупной сетки H d - целочисленная ijk , где i , j , k = 1,...,6 (рис. 14, 15). В области 1сКЭ V_j^h НДС описывается уравнениями трехмерной задачи линейной теории упругости [16]. Следовательно, в области 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ реализуется трехмерное НДС.

Поскольку сетка образующего КЭ V_L имеет 12 узлов (построенная на мелкой сетке 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , т. е. на мелкой сетке образующего КЭ V_L ), которые на рис. 14 отмечены точками, то для описания перемещений в образующем КЭ V_L используем полином P ( x , z ) 3-го порядка, который в локальной декартовой системе координат Oxz (рис. 14) имеет вид [6]:

P ( x , z ) = a 1 + a ₂ x + a 3 z + a ₄ xz + a 5 x ² + a ₆ z ² + a 7 x ² z + a ₈ xz ² +

+a 9 xz3 + a10 x3 z + a11 x3 + a12 z 3,(15)

где a i - постоянные, i = 1,...,12.

Базисную функцию N_ijk для узла i , j , k крупной сетки H_d ⁴ согласно методу образующих КЭ [20; 21] определяем в виде

Nijk(x, У,z) = Nik(x,z) Lj-(У), где Nik – базисная функция узла i,k образующего КЭ VL , отвечающая полиному P(x, z) вида (15), i, k = 1,...,6, Lj (y) - полином Лагранжа 5-го порядка:

Lj( У) = fl ^-^p^,(17)

p=1,p.jy, -Ур где yp - координата р-го узла сетки H4, лежащего на оси J, j / / J; p, j = 1,...,6, J = 1,6 (рис. 15).

Используя (15) – (17), на крупной сетке H_d ⁴ аппроксимирующие функции u ₂, v ₂, w ₂ для перемещений u , v , w 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ формально представим

666       666        666

u 2 = 222 N jk U jk , v 2 = 222 N jk V jk , w = 222 N jk W jk ,        (18)

i = 1 j = 1 k = 1                        i = 1 j = 1 k = 1                         i = 1 j = 1 k = 1

где u_ijk , v_ijk , w_ijk – искомые значения функций u ₂, v ₂, w ₂ в узле i , j , k крупной сетки H_d ⁴ ; i , j , k – координаты целочисленной системы координат ijk , которая введена для узлов крупной сетки H 4 (рис. 15); N ijk - базисная функция узла i , j , k сетки H d , i , k , j = 1,...,6.

Обозначим N _e = N_ijk , u _p = u_ijk , v _p = v_ijk , w _p = w j _jk , где u_ijk , v_ijk , w_ijk - искомые перемещения в узле i , j , k сетки H⁴_d; i , k = 1,6; i = 3,4, k = 2,5; i = 2,5, k = 3,4; j = 1,...,6, рис. 14, 15, т. е. в = 1,...,72 . Тогда функции перемещений (18) для сетки H^A_d принимают вид

72                   7272

u2 =2 Nвuв , v2 =2 Nвvp , w2 =2 Nв w, в=1                 в=1

где N в , и в , V p , W p — базисная функция и перемещения в -го узла сетки H 4 , в = 1,72.

Используя (15)–(19), по процедуре п. 1 для 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ определяем матрицу жесткости (размерности 216 х 216) и вектор узловых сил (размерности 216). Для понижения размерности 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ применяем метод конденсации [6], т. е. выражаем перемещения внутренних узлов крупной сетки H_d ⁴ через перемещения узлов сетки H_d ⁴ , которые лежат на границе 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ . В результате получаем 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ (2-го типа), имеющий 120 узловых неизвестных. Итак, размерность 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ равна 120 . В силу (15)–(17) 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ имеет 3-й порядок аппроксимации перемещений по осям Ox , Oz и 5-й порядок – по оси Oy , т. е. является высокоточным. Отметим, что 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ имеет такой же порядок аппроксимаций перемещений по осям Ox , Oy , Oz , такие же размеры 9 h х 10 h х 9 h и неоднородную структуру, как стандартный 2сКЭ V₃ (2) , но размерность 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ , равная 120, в 2 раза меньше размерности 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ , размерность которого равна 240. Итак, малоразмерные 2сКЭ V ₄ ⁽²⁾ 2-го типа порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные 2сКЭ V ₃ ⁽²⁾ . Следует отметить следующее. Если крупная и мелкая сетки стандартного высокоточного лагранжевого МнКЭ имеют большую размерность, то при построении аппроксимирующих функций перемещений для образующего КЭ целесообразно использовать локальные аппроксимации перемещений, построенные на его мелкой сетке. Особенности малоразмерных МнКЭ 1-го и 2-го типов состоят в следующем. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа имеют более высокий порядок точности, чем стандартные, что позволяет проектировать дискретные модели КТ малой размерности, которые порождают напряжения с малой погрешностью. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа имеют такой же порядок точности, как стандартные высокоточные МнКЭ, но образуют дискретные модели меньшей размерности, чем стандартные.

Заключение

В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности, кратко – малоразмерных МнКЭ, которые проектируются на базе известных (стандартных) МнКЭ. Рассмотрены малоразмерные МнКЭ двух типов. Построение малоразмерные МнКЭ 1-го типа проводится с применением локальных аппроксимаций перемещений, определяемых на подобластях МнКЭ, 2-го типа – с применением образующих конечных элементов. Расчеты композитных тел (КТ) показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25–50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с помощью стандартных МнКЭ, которые имеют такие же размерности, формы, размеры и неоднородные структуры, как малоразмерные. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа для крупных дискретных моделей КТ порождают максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа образуют дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.