Построение высокоточных многосеточных конечных элементов малой размерности с применением локальных аппроксимаций и образующих конечных элементов

Композитные конструкции (тела) широко применяются в авиационной и ракетно-космической технике. Для анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих композитных тел (КТ) эффективно применяется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ), который реализуется на основе функционала Лагранжа (в перемещениях). При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (МнКЭ), кратко - стандартного МнКЭ, используются мелкая (базовая) сетка, которая может быть сколь угодно мелкой, и крупные сетки, вложенные в мелкую. Мелкая сетка порождена базовым разбиением МнКЭ, которое учитывает в рамках микроподхода его неоднородную, микронеоднородную структуру. Крупные сетки используются для понижения размерности МнКЭ. Для стандартного МнКЭ характерно следующее. Всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при повышении его порядка точности, так как в этом случае на крупных сетках определяются аппроксимации перемещений высокого порядка. Для уменьшения погрешности решений применяются высокоточные МнКЭ, т. е. высокого порядка точности, которые имеют большую размерность. Однако, применение высокоточных МнКЭ затруднительно, так как они образуют дискретные модели тел высокой размерности. В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко - малоразмерных МнКЭ), которые используются для расчета НДС по ММКЭ упругих однородных и КТ. Рассмотрены два типа малоразмерных МнКЭ. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа проектируются на базе стандартных с применением локальных аппроксимаций перемещений, которые определяются на подобластях стандартных МнКЭ, 2-го типа - с применением образующих конечных элементов (КЭ). Краткая суть построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоит в следующем. Согласно МЛА на области V 0 стандартного МнКЭ определяем более мелкую сетку Н, чем его базовая. Область V 0 представляем граничными и внутренними областями. Граничные (внутренние) области имеют общую границу (не имеют общей границы) с областью V 0 , общие границы с областью V 0 не вырождаются в точку. На граничных (внутренних) областях определяем крупные сетки, которые вложены в мелкую сетку Н и порождают локальные аппроксимации перемещений малого (высокого) порядка. На области V 0 , используя локальные аппроксимации перемещений граничных и внутренних областей, строим МнКЭ. Затем с помощью метода конденсации выражаем перемещения внутренних узлов МнКЭ через перемещения узлов, лежащих на его границе, т. е. на границе области V 0 . В результате получаем высокоточный МнКЭ Vp малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа, размерность которого равна размерности стандартного. Важно отметить, что при увеличении порядка точности МнКЭ Vp размерность его не меняется, т. е. не увеличивается, и поэтому он называется высокоточным МнКЭ малой размерности. Подробно изложена процедура построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Как известно, расчет на статическую прочность упругих конструкций сводится к определению для них максимальных эквивалентных напряжений, определение которых с малой погрешностью для КТ в настоящее время является актуальной проблемой. Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25-50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с помощью стандартных, на базе которых построены малоразмерные, т. е. малоразмерные МнКЭ 1-го типа более эффективны, чем стандартные. Применение в расчетах по ММКЭ малоразмерных МнКЭ 1-го типа позволяет для крупных дискретных моделей КТ определять максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Показано построение малоразмерных МнКЭ 2-го типа, которые проектируются на базе стандартных высокоточных МнКЭ с применением образующих КЭ. Малоразмерный МнКЭ 2-го типа имеет такой же порядок точности, как стандартный, но размерность его меньше размерности стандартного. Достоинство малоразмерных МнКЭ 2-го типа состоит в том, что они порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.