Потенциальных смешанных токов основные уравнения для идеальных жидкостей

Рассмотрим струйное течение многокомпонентной смеси, состоящей из смеси идеальных жидкостей или газов в модели взаимопроникающих жидкостей Х.А.Рахматулина.

Уравнение количества движения и неразрывности смеси идеальных жидкостей запишется в виде [3].

d(n) V      p                     m, --

Pn      =- -gradp — PnFn + K E (VS — Vn) , dt        PniS p + divVn = E ISn ,   S * n (S, n = 1 m) , dt где K - коэффициент взаимодействия; I - количество фазового превращения. Здесь pn - приведённая плотность; pni - истинная плотность; Vn - скорость n-й фазы жидкой смеси, где :

d(n)V   —V -- -

—^ =-^ + (Vn ’ ^n dt

В дальнейшем предположим, что фазовые превращения отсутствуют, тогда I =0 и уравнения (2.) примет вид:

^P =- div ( p n V n ) d t

Суммируя уравнения (3) по n , получим уравнение неразрывности для смеси:

dp + div (V.p )= 0,                                    (4) m где p=E pn, n =1 pV = E pVn - средние величины плотности и скорости в n =1 области смеси c = — объемная концентрация n-й фазы смеси. Произведём p осреднение по массе, умножая на p n в уравнении (1), для этого суммируем эту систему уравнений по n :

m     ({n ) —                m    — E p n      = gr a dp + E p nFn .                (5) n - 1          dt                       n - 1

Введем в рассмотрение осредненную силу F по массе, вычисляемую из формулы pF = EpFn. Тогда можно написать:

n = 1

m

E p .

n = 1

d ⁽ n ) V           ,  .   ^

—~— = - gradp + p F .

Вычислим изменение

количества

движения смеси единичного объема

и

и

K = p V , так как

d^n^V) dt

= P n

d^V dt

+V dnp n   dt

.

Откуда:

—► d ( P V )

dt

m

= E V .

dp dt

m      ^{( n} ) у

+ E p.-^

n = 1         dt

Учитывая равенство (6)и уравнение неразрывности:

d'K     ^ m ^ d(n) p               —           m ^^

—=pF+E Vn   , n -gradp=pF-gradp-E VnpndivVn dt             n=1         dt

Введём в рассмотрение относительную среднюю скорость распространения n-ой компоненты в cмеси:

^    ^   ^

• V, = V - V_n откуда получим V . = V - V .

Умножая её на p и суммируя, находим[6,8]:

mmm

E p.v. =E p.v-E n =1                 n =1

m откуда

• —►        “*        7~* *

pV = pV-E p.v. , n =1

так что

m    _.

E p . v . = 0

n = 1

m      ⁽ m ) k

V d pn n =1      dt

m

+ E p _ndivV n = 0

n = 1

или

m            _*

d p + E p , div(V - V n ) = 0

dt     n = 1

Откуда получим:

^{d p}         m

+ p divV - у p di\V dt          Я ⁿ

—*

n

= 0

Учитывая равенство (4) получим:

EE p _ndivV n = 0

n = 1

Теперь получим выражение:

• (n)                                       m                  **

ZI, Vnd-p = -Z L PnVn = -Z Pn (V - Vn) div (V - Vn) = dt

• = - Z P n VdivV + Z P n VdvV n + Z P VndivV - £ P _n VdV n =

n = 1

Учитывая равенства (8) и (9)

• £ Vn d Р = -pVdivV - £pn V*ndivVn(10)

• n =1        dtn

Учитывая формулу для средней скорости и плотности среды и формулы (10) можно написать уравнение движения для смеси:

dV

Р~^~ = pF - gradp + div m  _*_*

Z P n^VnVn

. n = 1

где:

m  _*_*    m   _*_*

div(ZPnV Vn) = ZPnVndivVn n=1

Нетрудно вычислить величину m   _*_*

Z P n V n V ^:

n = 1

mmm

ZPnV =Zpn(Vn - VУ = P ZCsCnVs■ n =1                n=1                          2 s, n =1

Здесь V sn = V s - V n , c_S = —

P

Но, как известно:

m —*— *        -m  —*2         О -m     ₂

^div Z P n^Vn^V = grad Z P n^Vn = grad у Z c S c n ^VSn n = 1                            n = 1                         _ ² n , S = 1

так, что уравнение движение смеси примет вид:

V

— + grad — + 2 1® , V ] = — gradp + F — grad ( p D ) ,         (11)

dt        2            p           p д^  V2 P

— + — + —+ U + D

д t

² Р

= ^{c (} t )

Так как приведенная плотность связана с истинной плотностью по формуле

mm

Pn = P°i • fn и учитывая, что p = E pn , £ Ck = 1, n=1            n=1

Y f = 1 , получаем, что k = 1

ck

₌ P k • ^fk m , E f n P ni n = 1

Так что интеграл Лагранжа-Коши можем написать в виде

dm   V ²   P  _T   1 m

— + — + — + u + - E d t     2    P         2 s, n=1

P si P ni f s f n

m

E P f )²

n = 1

( V s - V ) 2 = c ( t )

При выводе интеграла Лагранжа-Коши, можно учитывать также переменность приведенных плотностей и концентрации, которые могут быть переменными, если течение смеси установившееся, тогда из равенства (12) получим интеграл Бернулли:

V ² + P + U + ¹ EE ^pfn- (V s - V n )² = const        (14)

^{2 P     2 s} -" E ( P f )²

n = 1

Если течение стационарное, то уравнение (11) запишется в виде:

grad

V ² P 77

— + —+ U

2 P

+ — gradD + 2 [ т , V ] = 0

P

Умножив скалярно это уравнение на векторы т и V, последовательно получим, что:

gr ad k	" V 2 _ 2	P         * ’ +—+ U + D P         _	2 V 7	= 0 ,
(	Г v 2	P        *	1-	>
grad		+ — + U + D	, ®		= 0
k	2	P	7

Таким образом, при стационарном течении и условие баротропии, для существования потенциала внешних сил вдоль линии тока и вихревой линии получаем интеграл Бернулли для смеси в целом:

— + - + U + D = С1, вдоль Lv,La.

Здесь

_D *    d ( p D )

^ P

, где L и L - линия тока и вихревая линия.

Пусть приведенные плотности и концентрация смеси постоянны - ри = const и fni = const, тогда из уравнения движения (1) и неразрывности (3) получаем:

*

P n ^d J ^{П +} P n grad^ ^{+ 2} р П [^а п • V n ^]= — ^P n gradp + P n F n + K VS ^- V n )   ⁽¹⁷⁾

^{dt              2}                     P ni

Последнее уравнение примет вид:

divV n = 0                             (18)

Рассмотрим плоское (k = 0) или осесимметричное течение (k = 1) для которого уравнение неразрывности при ри = const в виде идеальной смеси жидкостей

^ r k U n^ +^L V n^ ₀ д x        д r

Здесь х - ось симметрии; un vn - осевая и радиальная скорости n-ой фазы жидкой частицы.

Если рассмотрим потенциальное течение смеси, то существует потенциал скоростей, рп (x, r)     Vn = grad^n.

Откуда:                          u_n  ' J , v_n J^ n .

d x         d r

Введем функцию ^_n ( x , r ) следующим образом:

u

n

1    ^д^_п  ТЛ _ - 1   ^dV n

----— •-----. V —----— •----- f rk  dr       f rk  dx nn

Тогда (21) удовлетворяет уравнению неразрывности (18), а (20) – условию потенциальности течения.

Из уравнений (20) и (21) получаем, что функции р_п ( x , r ) и   ^ _и ( x , r )

взаимосвязаны формулой dJn  X Xn   dJn _    xn

ax    pn*   d r ’    dr      p*   dx ’ где: p * = rkfn(x, r).

Если ввести комплексную функцию W_n ( z , z ) = p_n ( x, r ) + i^_n ( x , r ) и комплексную переменную z = x + ir , то функция w (z, z ) будет p * - аналитической функцией в области течения G [1,2].