Поверхностные SH-волны в преднапряженных пьезоэлектриках с функционально-градиентным покрытием

Бесплатный доступ

Предложена модель сегнетоэлектрической структуры, состоящей из однородного пьезоактивного полупространства с неоднородным покрытием, представляющим собой либо слой, либо пакет однородных или функционально-градиентных пьезоактивных слоев. Предполагается, что полупространство, равно как и покрытие, являющиеся в естественном ненапряженном состоянии пьезоэлектриками гексагональной сингонии класса 6mm, находятся в условиях воздействия начальных механических напряжений. Исследования динамических свойств функционально-ориентированных предварительно напряженных структур проводятся в лагранжевой (материальной) прямоугольной системе координат, использованы линеаризованные определяющие соотношения и уравнения движения. Методами операционного исчисления краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае однородных составляющих структуры функция Грина строится в замкнутой форме аналитическим образом на основе решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае неоднородных (функционально-градиентных) составляющих система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами специальной заменой сводится к системе начальных задач Коши. В этом случае функция Грина строится численно на основе использования численных процедур Рунге-Кутты с модификацией Мерсона, которая позволяет эффективно контролировать погрешность вычислений. При построении функции Грина сегнетоэлектрической структуры с неоднородным покрытием использован матричный подход, позволяющий сочетать аналитические и численные методы построения отдельных ее составляющих. Изучено влияние вида и величины начальных напряжений на особенности распространения поверхностных волн в гетероструктурах. Установлены условия, при которых действие начальных механических напряжений приводит к увеличению скорости волны Гуляева-Блюштейна относительно скорости исходного материала, а также условия, при которых пьезоэлектрическая структура перестает быть слабо неоднородной.

Еще

Пьезоэлектрическая структура, неоднородное покрытие, функционально градиентный материал, гармонические колебания, сдвиговые горизонтально поляризованные (sh) волны, волна гуляева-блюштейна, поверхностные акустические волны (пав), начальные механические напряжения, однородное начально деформированное состояние (ндс)

Еще

Короткий адрес: https://sciup.org/146211633

IDR: 146211633   |   DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.01

Текст научной статьи Поверхностные SH-волны в преднапряженных пьезоэлектриках с функционально-градиентным покрытием

PNRPU MECHANICS BULLETIN

Проблема распространения поверхностных акустических волн является одной из актуальных проблем современной механики. С одной стороны, это связано с широким спектром приложений в акустике, геофизике, сейсмологии, дефектоскопии и др., с другой стороны, с бурным развитием технологий создания новых пьезоэлектрических материалов с уникальными, ранее не наблюдавшимися в природе свойствами. Возможность создания на их основе принципиально новых типов электронных приборов и устройств обусловило значительный рост работ, посвященных математическому моделированию процессов распространения волн в функционально-градиентных средах [1–6]. В [1] построена общая теория электродинамики сплошной среды, приведены основные типы термодинамического потенциала, предложены подходы к построению линеаризованных соотношений динамики преднапряженной электроупругой среды. В [2–4] приведены определяющие соотношения динамики сплошной пьезоактивной среды при наличии начальных механических или электростатических полей. В [5–7] дан вывод определяющих соотношений динамики упругой и пьезоактивной среды в произвольной, в общем случае криволинейной системе координат. Особенности распространения сдвиговых волн в слоистых преднапряженных средах рассмотрены в [8–12]. В [8–11] изучено влияние начальных напряжений на скорости распространения волн Лява и Гуляева-Блюштейна. В [12] изучены вопросы распространения волн в слабо неоднородных средах, неоднородность которых обусловлена наличием начальных напряжений или поляризации. Показано, что при специальных условиях в слабо неоднородном полупространстве могут возникать вторые моды поверхностных волн типа волн Гуляева-Блюштейна. В [13–16] исследуются процессы распространения волн в функционально-градиентных пьезоактивных средах, параметры неоднородности которых допускают построение аналитического решения в той или иной форме. В [13] исследованы особенности распространения волн Гуляева-Блюштейна в среде, все характеристики которой изменяются по одному и тому же закону. Рассмотрены случаи полиномиальной и экспоненциальной зависимостей. Исследовано влияние параметра неоднородности на скорость, дисперсию, коэффициенты затухания, глубину профилей, электромеханический коэффициент связи. В [14] исследованы особенности распространения волн Гуляева-Блюштейна в среде, характеристики которой изменяются по специальному, допускающему аналитическое решение закону. Изучено влияние параметра неоднородности на характеристики волнового поля. В [15] изучаются волны Лява в среде из поляризованной керамики с функционально-градиентным покрытием. Для построения аналитического решения используется асимптотический подход. Исследовано влияние параметра неоднородности на дисперсионные соотношения, в частности на фазовые скорости поверхностных волн, а также на электромеханический коэффициент связи. В [16] изучается влияние параметра неоднородности и начальных напряжений на характеристики волнового поля.

В настоящей работе предложена модель сегнетоэлектрической структуры, состоящей из однородного пьезоактивного полупространства с неоднородным покрытием, представляющим собой либо слой, либо пакет однородных или функционально-градиентных пьезоактивных слоев. Предполагается, что полупространство, равно как и покрытие, находятся в условиях воздействия начальных механических напряжений, свойства покрытия описываются произвольными функциями. Для этого случая система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами специальной заменой сводится к системе начальных задач Коши. Функция Грина строится численно на основе использования процедур Рунге-Кутты с модификацией Мерсона, которая позволяет эффективно контролировать погрешность вычислений. При построении функции Грина сегнетоэлектрической структуры с неоднородным покрытием использован матричный подход, позволяющий сочетать аналитические и численные методы построения отдельных ее составляющих. В рамках линеаризованной теории электроупругости в работе исследованы особенности распространения поверхностных волн в сегнетоэлектрических гетероструктурах с учетом различного характера механических воздействий на составляющие структуры. Изучено влияние величины наведенной деформации, вида и характера преднапряжений в составляющих структуры на особенности поведения и скорость распространения поверхностных акустических волн (ПАВ) для ряда наиболее востребованных сегнетоэлектриков. Установлены условия, при которых действие начальных механических напряжений приводит к увеличению скорости волны Гуляева-Блюштейна относительно скорости исходного материала, а также условия, при которых пьезоэлектрическая структура перестает быть слабо неоднородной.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача о распространении сдвиговых горизонтально поляризованных волн, движущихся в направлении x1 по поверхности составной преднапряженной пьезоактивной среды. Полагаем, что колебания среды вызваны действием удаленного ис- точника гармонических колебаний, среда представляет собой однородное преднапряжен-ное полупространство x2 < 0, | x11, | x3| < ^ с преднапряженным покрытием (рис. 1 а, б).

Рис. 1. Геометрия задачи Fig. 1. Geometry of the problem

Покрытие моделируется либо одним слоем 0 x 2 h = H (см. рис. 1, б), либо пакетом x 1 |, x 3 h k + 1< x 2 h k , k = 1,2,..., M - 1 как однородных, так и неоднородных слоев из функционально-градиентного материала. В качестве исходного материала структуры используется пьезоэлектрик класса 6 mm гексагональной сингонии, ось симметрии которого в естественном состоянии (ЕС) совпадает с осью x 3 , векторы поляризации составляющих покрытия и полупространства совпадают либо противоположны по направлению. Начально-деформированное состояние (НДС) каждой из составляющих структуры однородно и наводится за счет действия начальных механических напряжений, внешние начальные электрические воздействия отсутствуют [1–7, 17]:

R = r Л, G = Л Лт, Л = 5 zvvz r z r j , vz = const.                     (1)

Здесь R, r – радиус-векторы точки среды в начально-деформированном и естественном состоянии соответственно; vz = 1 + 5z, 5z - относительные удлинения волокон, направленных в естественной конфигурации вдоль осей, совпадающих с декартовыми координатами; 5^- - символ Кронекера. Неоднородность начального напряженного состояния составляющих структуры вызвана только неоднородностью физических свойств. Исследования проводятся в лагранжевой системе координат, совпадающей с прямоугольной декартовой системой, режим колебаний полагается установившимся, динамический процесс удовлетворяет условиям u1( n) = u 2( n) = 0, -^- = 0, uk (n) = uk (n) (x1, x2), u 30) = 0, k = 3,4, n = 0,1,2,..., M.         (2)

dx 3

При этом для слабо неоднородной пьезоэлектрической структуры (см. рис. 1, а , б ) в ЕС выполняются соотношения:

для однородных составляющих [6, 7]

p < - ) =p ( M ) , c 0( n ) = Cj 0 ( M ) , e_ 0< n ) = e 0 ( M ) , E »( n ) =E 0( M ) либо e [< . ) =_ e 05 M ) .             (3)

для неоднородных составляющих [12]

РМ 0 M ) / р ' " ( x 2 ) , C ij ) - ^‘"^ЧX 2 ) , e j ) - ^fn ) ( X 2 ) , s j ') -s jM f ( n ) ( X 2 ) .      (4)

Далее используем безразмерные параметры: линейные параметры отнесены к харак терной толщине к-го слоя

l ' - l ( h 0 k ) )

плотность - к плотности полупространства

' ( )        ( ) ( M )

рv ' - pv ' / Ро \ упругие параметры - к модулю сдвига подстилающего полупространства cjn) = cj) / c04M). При переходе к безразмерным параметрам пьезоэлектрических и диэлектрических констант используется множитель £- 1010 В/м, при этом ej(n)= ej^ / c44M), sjn)-sinW /c44M) (s'° — диэлектрическая проницаемость вакуума). Далее штрихи опускаем.

В качестве безразмерной частоты используется либо параметр к2 -to h / VSM), либо к2e -toh / VSeM) (где VSM) = -Jc44M) / p0M) - скорость сдвиговой волны полупространства и VM) = J( c44M) + e0M)2 / s^M)) / p0M) - скорость сдвиговой волны полупространства с уче том пьезоэлектрических свойств в ЕС [18]).

В рамках принятых предположений краевая задача о колебаниях преднапряженной электроупругой среды x 2 H описывается линеаризованными уравнениями [6-7, 12]:

V 0 0 ( n ) 0 ( n ) u ( n ) ,

V0 • A(n)= 0, для вакуума x2 > H

Аф ( 0 ) = 0

с граничными условиями на поверхности :

отсутствие механических воздействий:

n • 0("|x,=H = 0, электрически свободная поверхность:

n • A(1) I „ = n • A(0) I „ , ф(1) I „ = ф(0) I „ x 2 = H              x 2 = H ,         x 2 = H          x 2 = H металлизированная поверхность:

Ф")! x,= H = 0, на границе раздела сред (i = 1,2,..., M -1)

ue(i)l h = ue(i+1)U , n • 0 (i)l h = n • 0 (i+1)l, , n • A (i)l h = n • A(i+1)l, I x 2 - h                     I x 2 -hi                       I x 2 -hi'                           I x 2 -hi                        x2 - hi                            x2 - hi на бесконечности ue(M)| x2 . . 0, ue(0)| x2 . . 0.

Здесь V0 - оператор Гамильтона; ue(n) = {u3n\ u4n) = v(n)} - расширенный вектор переме щений; n - вектор внешней нормали к поверхности среды определены в системе коорди нат, связанной с естественным состоянием (ЕС); р0(n) - плотность материала а2     a2

n-составляющей в ЕС; А = —2 +--2" - оператор Лапласа. Верхний индекс «(n)» соответ- дx12 дx 2

ствует номеру среды, составляющей структуру ( n = 0 - вакуум, n = 1 - поверхностный слой, n = M - полупространство). Линеаризованные тензор напряжений 0 ' n ) и вектор индукции А 1 n ) с учетом (1) представляются в виде [12]

0(n) _ с(n)*(n) , е(n)*(An)     n(n) - ДnУ(n) _ е(n)*(D(n)

Vlk = clkspus,p + elkp V,p ,   Dl = elsp us,p blp V,p , где       c(n)* _ O(n)§   ,v(n)v(nуn)x    1n)* _ v(nуn)   £(n)* -£ v(n)v(n)v(nn))2g  + r(n)

где       clksp = Plp Oks + Vk Vs clksp ,  elsp  = Vs elsp , fclp Ь0Ч  V2 V3  (Vl )  Olp +elp .

Участвующие в (14) компоненты тензора Кирхгофа p pn ) , а также упругие константы c lnp зависят как от свойств материала, так и от вида начального напряженного состояния среды [1, 6, 7, 12]:

р ( n ) -1 с ( n )§ /У( n ) )2_й  2 nWn ) +15 5 c ( n )   f[v( n ) )2_й f[v( n ) )2

Plp 2 c qjlp O qj ( ( V q ) 1 )    e jlp W j 1 8 O mn O qj c mnqjlp ( ( V q ) 1 )( ( V m ) 1 ) ,

c ( n )x _ a x^   _ c ( n ) ,1 c ( n ) r ,( n ) _ c ( n ) ,1 о c ( n ) n ) )2_i^

c qjlp a r ( n ) a 5 *( n )     c qjlp ' 2 c mnqjlp^mn c qjlp + 4 m'c>im'qnpl ( ( ( V m ) 1 ) .

Здесь использована упрощенная запись термодинамического потенциала x [1, 6, 7]:

v ( n ) _ 1 Дn ) е( n ) ( n ) (nnУ[Л7(n ) e( n ) 1 r( nУл7(n )И7 ( n ) 1 (nn ) V( n ) ( n ) ( n )

X = C qjkq fl djqj^k l - e jkl W j 5kl “TP qj W q W j + -c mnqjkl ^ mn ^ q j 5kl , 2                        2             6

где S ^n ) - компоненты тензора деформаций Коши в случае однородной деформации (1) определены формулами

S(" '= V2»j((v,<" ))2-1), где Wjn) - компоненты материального вектора электрической индукции; cqnk и c'imnqjkl -упругие константы II и III порядка; Р^,) - константы диэлектрической восприимчивости, связанные с константами диэлектрической проницаемости соотношениями

£( n )=£5 +В( n )

ь kp ь 0 о kp +e kp

Для удобства дальнейшего изложения введем обозначения

6 lksp = c lksp , 6 lk 4 p = v k e pk , 6 1 4 sp = v s el sp , 6 1 44 p = lp , k , l , s , p = 1,2, 3.           (16)

Подставляя выражения компонент тензора напряжений и вектора индукции (13) с учетом (2), свойств (3), (4), обозначений (16) в (5)-(12) для преднапряженных однородных составляющих структуры, получаем (индексами после запятой отмечены производные по соответствующим координатам)

О( n ) J n ) +0( n ) J n ) +0( n ) J n ) +0( n ) J n ) -o( n ) d u 3

v 1331u3,11 + v2332u3,22 + v1341 u4,11 + v2342u4,22   p0 2 л , d t

0(n) Jn) + 0(n) Jn) + 0(n) Jn) + 0(n) Jn) - 0 u 1431 u 3,11 + ^2432 u 3,22 + v1441 u 4,11 + v2442 u 4,22 V’ для преднапряженных функционально градиентных составляющих

3 2 (

0( n ) M( n ) +0( n ) // n ) +0( n ) ,/ n ) +0( n ) // n ) +0( n ) ( nn )+0( n ) M( n ) -D( n ) d u 3

v 1331 u 3,11 + v2332 u 3,22 + v1341 u 4,11 + v2342 u 4,22 + v2332,2 u 3,2 + v2342,2 u 4,2    p 0 ^ t 2

0( n ) J n ) +0( n ) J n ) +0( n ) J n ) +0( n ) J n ) +0( n )  J n )+0( n )  J n ) -0

v 1431 u 3,11 + v2432 u 3,22 + v1441 u 4,11 + v2442 u 4,22 + v2432,2 u 3,2 + v2442,2 u 4,2 v, для вакуума

U(0) + u(0) =0 u 4,11 + u 4,22 0, граничные условия

0(i)|            ' ()": //": ■ ()": z/") II =0

w23 x 2 = H   I   2332 u 3,2 + v2342 u 4,2 || x 2 = H   v,

>(*)|            ' o") //l|: I о") у/") '         =r>(0)l = Ге(0)

u?| x 2 = H = u 4 0|| x , . H , (21)

2 | x 2 = H   | u2432 u 3,2 + u2442 u 4,2 J| x 2 = H   ^2 | x 2 = H   | v2442 u 4,2 J| x 2 = H ^

U 4"| x 2 . H = 0,                                             (22)

u e ( m >L = u e ( m +1)l „ , ®23 ( m ’L-, I x 2 - h m                |x 2 - h m      23 |x 2 = h m

-®J m +1)| „ , D ? ( m )| „

23 |x 2 h m 2 | x 2 h m

= D ( m + 1 ) I

D 2       |x 2 = hm ’

ue l 'I x 2 ^-. ^ 0, ф |0) | , 2 ^. Ф 0.

В рамках настоящей работы исследуем две краевых задачи о распространении поверхностных горизонтально поляризованных волн в преднапряженных пьезоэлектриках с покрытием [1, 6–12]:

задача I – со свободной поверхностью, описывается уравнениями движения (17)–(19) с граничными условиями (20), (21), (23), (24);

задача II – с металлизированной поверхностью, описывается уравнениями движения (17)–(19) с граничными условиями (20), (22)–(23).

  • 2.    Решение краевых задач. Дисперсионное уравнение для преднапряженного пьезоактивного полупространства с преднапряженным покрытием

При решении краевых задач I и II используем преобразование Фурье по координате x 1 , a - параметр преобразования. Движение пьезоэлектрической структуры в трансформантах Фурье имеет вид:

для преднапряженных однородных составляющих

0(n) и(n)"_fa20(n) _D(n)K2>j7у(n)+0(n) u(n)"_a20(n) u(n)=0 v2332U 3     (a u1331 p K 2 )U 3 +V2342U 4 a U1341U 4

p( n ) tj( n )" — r/2A( n ) T7(n ) -u A( n ) T7(n )" — r/2A( n ) T7(n ) — A-

  • u2432U 3 a V1431U 3 + V2442U 4 a V1441U 4

для преднапряженных функционально градиентных составляющих

0( n ) u(n )"-fa2e( n ) -o( n ) k21 t/( n ) + e( n ) u(n )"-a2e( n )t/( n ) + e( n ) fu^n )' + 9( n ) (uk n )‘=o

  • u2332U 3     (a v1331 p  K2)U 3 + V2342U 4 a V1341U 4 + v2332 U 3 + v2342 U 4


n( n ) tt( n )" _ ^2n( n ) tt( n ) _|_ a( n ) tt( n )" _ г,2a( n ) tt( n ) _i_ A( n ) (T7^n )f-i-A( n ) (T7^n )f — A-

  • u2432 U 3 a U1431 U 3 + V2442 U 4 a V1441 U 4 + v2432 U 3 + V2442 U 4 0;

    для вакуума


    U 40 ) '' - a 2 U 40 ) = 0,



    с граничными условиями

    0 F ( 1 ) I

    23 |x 2 = H


    = 0 ( 1 ) (1)' + 0(1 ) ^y( 1 ) ' I _ 0 v2332 U 3   + V2342 U 4     |x 2 = H   0,



    D 2 F (%

    U Ц x 2


    x 2 =.


    =  0 ( 1 )   [/(1 ) ' + 0(1 )   u^' I       = D F ( 0 ) I       =  6(0 ) D(0 ) '   I

    I     u2432 U 3 + U2442 U 4     |x 2 = H   ^2     |x 2 = H     U2442 U 4    |

    = и ( 0 ) I

    U 4 | x 2 = H ,


    x 2 = H ,



    u ( 1 ) I       = 0

    U 4 | x 2 = H   0,

    u e ( m )i        = и e ( m + 1)i        , 0 F : m )i        =@ F : m + 1)i , d f ( m )i        = d f ( m + 1)i

    I x 2 = h m                 |x 2 = h m 23     |x 2 = h m        23        |x 2 = h m , 2       |x 2 = h m        2         |x 2 = h m

    U e ' " )l x 2 .-. 1 0 . U 401 | x 2 ,. 1 0



    ,




Решение задач (25)–(27) с граничными условиями (28)–(32) в трансформантах Фурье для однородных составляющих покрытия ищем в виде ( p = 3,4, n = 1,2,..., M - 1 ) [6, 7, 12]

U(p ) ( a , x 2 ) = V fk ) [ c kn ) ch ^k ) x 2 + c k + 2 sh ^k ) x 2 ] , k = 1

для неоднородных составляющих

U(p )(a, x2 ) = V ckn)Л)(a, x2 ), k=1

для полупространства и вакуума

Up" )(a, x2) V f". CkM k=1

' e °" ) x 2, U 40 ) ( a , x 2) = r e -a x 2

.

Участвующие в представлениях (33), (35) o kn ) удовлетворяют характеристическому уравнению det M ( c n ) ( o ( n ) ) = 0.

m ( > ( 0 n ) ) =

12nL ( о( п' )г - ( a 2 e | П 3, -P ( n | K 2 ) 6 2 n 42 1 °. n ) -a 2 e |34,

0( n )       n )\2 _„20( n )

6 2432 ( ° ) a 6 1431

0( n ) Mn )\2 _„2 0( n )

6 2442 ( ° ) a 6 1441

.

Коэффициенты f ^n ) определяются из решения однородной системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов M ( c n ) ( o j n ) ) . y p ) ( a , x 2 ) в (34) - линейно независимые решения задачи Коши с начальными условиями y ) ( a ,0 ) = 5 kp для уравнения

Y ( n ) ' = M ( n ) ( a , x 2 ) Y ( n ) , Y ( n ) =

Σ n

n

, XE

F ( n ) ^ 23

Г) F ( n )

n

, u

U ( n )

U 4 n ) ,

0                0           а 2 o ( 31 ( n ) К 2 а 2 o ( 3

О                О               а 20( n )         а20( n )

v               v              а V1431        а V144

-< ( g 0 Г1   о^ ( g 0 у1        0         0

О& ( g 0 ) - 1      o n ( g 0 )'           0             0

„ -о( n ) а( n ) -(й( n ) V g 0 u2442v2332 ( v2432 ) .

Следует отметить, что при построении функции Грина для электроупругой среды с неоднородным покрытием могут быть использованы различные и весьма эффективные подходы [19–23]. В настоящей работе использован предложенный в [24] подход, сочетающий аналитические решения (33), (35) для однородных с численными методами для неоднородных составляющих структуры, в частности, при решении систем (37), (38) применен модифицированный метод Рунге-Кутты.

Неизвестные Ckn) (33)-(35) определяются из удовлетворения граничным условиям (28), (29), (31), (32) для задачи I или (28), (30)–(32) для задачи II. Следуя [24] представим дисперсионное уравнение задач в виде det A = 0, (39)

' B ( 1 ) ( К) G" ) ( hiy . A ( 1 ) ( h 2 M ) B ( M ) ( h M ) .

Размеры матрицы A и матриц ее составляющих определены геометрией задачи и условиями на поверхности.

Задача I : матрицы A и A ( 1 ) ( h 2 M ) - квадратные, размер определяется геометрией задачи и равен соответственно 4 ( M - 1 ) + 3 и 4 ( M - 1 ) . B ( 1 ) ( h i ) , B ( M ) ( h M ) и G ( 1 ) ( h i ) -матрицы размера 3 x 4, 4 x 3 и 3 x 3, вид которых полностью определяется свойствами верхнего слоя, подстилающего полупространства и диэлектрической проницаемостью вакуума соответственно и не зависит от свойств и количества возможных промежуточных слоев.

" 0

0

0 >

M

l 11

G ( 1 ) ( h i ) =

0

0

( 0 ) а

, B ( M ) ( h ) =

M 21

M

0

0

- 1

f 31

k

>

M

k f 41

M

M

M f 32

M f 42

0 )

для преднапряженного однородного поверхностного слоя

1* 1*

' и " о

1* 1* l 12 s 21

1* 1 l 11 c 11

1* 1 l 12 c 21

B ( 1 ) ( h 1 ) =

1* 1*

1 21 " 11 Y

1* 1*

1 22 "  21 Y

1* 1

1 21 c 11 Y

1* _1

1 22 c 21 Y

k Л\ c 1 1 Y

f42 c 21 Y

110

f 41 " 11 Y

1 „10.. f 42 "  21 Y J

для преднапряженного функционально градиентного поверхностного слоя

0„(1)      „(1)      „(1)      „(1) ^ y11     y12     y13     y14 B|1|( hi) = (1)              (1)              (1)              (1) y2 1)y y22)y у2л y24)y (43) (1)              (1)              (1)              (1) y41)y  у42)y  у4л  у4л J использованы обозначения

s ; 0 = sh 0 a p h k , sh 0 a p ) h k = a 1;1 - 1 sh a ;) h « , n *        n ) o' n )h     ;"          o' n )h              h n       ( n )

s pk   a p sh a p h k ,  c pk   ch a p h k ,   1 = e , f pk = f pk ,   P , k = 1,2,

n ( n ) n *         n *        ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) n *        ( n ) ( n ) ( n ) ( n )

1 pk   a k l p k ,    4 k    U 2332 f 3 k + U 2342 f 4 k ,    2kk    ^ 2432 f 3 k + U 2442 f 4 k .                (44)

В случае M = 2 - двухслойное полупространство (см. рис. 1, б) вид матрицы A ( 1 ) ( hM ) определен свойствами слоя, при этом для преднапряженного однородного слоя

' 0 0 1* 11 1* l12 A(1)( hM ) = 0 f311 0 f312 1* 21 0 1* 22 0 ,                                 (45) l Л f412 0 0 J для преднапряженного функционально градиентного слоя A'1 (hM ) = E совпадает с диа гональной единичной матрицей размера 4 х 4.

В случае M 2 - полупространство со слоистым покрытием матрицы A': ( h 2 M и A принимают вид

0B1(h2) P2(h2)      0 0      B2 (h3) P3 (h3) A1-( h 2.....M )=     0.        0.     B’( h4 ) 0       0       0 l  0       0       0 0 B1 (h)     0        0        0 0       !          0 0       :          0 P4(h4)    :          0 0      :   BM-2 (hM -1)  P 0       :          0i 0            0 0     ^ 0 0 , (46) M-1 (hM -1) ? M-1 (hM) J G1 (h1)) B1(h2) P2(h2) 0         0 0      B2 (h3) P3 (h3)      0 A = 0        0     B3 (h4) P4 (h4) ... 0       0       0       0 V 0        0        0        0 Участвующие в (46) матрицы Bn (hk) и 0            0 0            0 0           0 ... BM-2 (h„-,) PM-1 (h„-1) 0        BM-1 (h„) Pn (hk ) = -Bn ( hk ) определ 0 0 0 . (47) 0 BM (hM L ены свойствами слоев с общей границей hk, имеют размер 4 х 4, верхний индекс отвечает номеру слоя, аргумент – границе раздела (см. рис. 1, а). Для преднапряженного однородного слоя матрица B n (hk) с учетом обозначений (44) определена формулой
Bn (hk ) = n*n* l11 51 k n*n* l21 s1k nn f31c1k n*n* l12 s2k n*n* l22 s2k nn f32c2k n*n 11 c1k n*n l21 c1k nn0 f31s1k n*n 12c2k n*n l22c2k nn0 f32s2k ,                         (48) nn nn nn0 nn0 If41 c1 k f42c2k i V f41s1k J 42 5 2 k J для преднапряженного функционально градиентного слоя в n(h )=| КЛ h) L, p=1.                              (49)

Задача II : матрица A имеет размер 4 ( M - 1 ) + 2 , в зависимости от геометрии задачи может быть представлена выражениями (40) и (47). Размер и вид матрицы A ( 1 ) ( h 2 M ) совпадает с соответствующей матрицей задачи I , определяется формулами (45) и (46). Матрицы B ( 1 ) ( h 1 ) , B ( M ) ( hM ) и G ( 1 ) ( h 1 ) , участвующие в (40), имеют размер 2 х 4 , 4 х 2 и 2 х 2 . Вид матриц определяется из представлений (41)-(43), путем вычеркивания в выражении G ( 1 ) ( h 1 ) 2-й строки и 3-го столбца - матрица становится нулевой, в представлении B ( M ) ( hM ) 3-го столбца и в представлениях B ( 1 ) ( h 1 ) (42), (43) 2-й строки. Размер и вид матриц B n ( h k ) и P n ( h k ) полностью совпадает с соответствующими матрицами задачи I (48), (49).

  • 3.    Определение НДС

В рамках сделанных предположений начально деформированное состояние в каждой из составляющих структуры однородно (1) и может различаться по характеру и величине начальных деформаций. Неоднородность начального напряженного состояния составляющих вызвана только неоднородностью их физических свойств. Характер начального

P ( n ) напряженного состояния определяется тензором Кирхгофа, компоненты которого lp

  • (15) с учетом свойств материала и предположений об однородности НДС, наведенного за счет механических воздействий в отсутствие внешних начальных электростатических полей определены формулами [6, 7, 12]

р ( n ) _ Д n ) с( n ) . Д n ) с( n ) . Дn ) ф n ) _ 4 n W( n ) + /7( n )

P 11 c 11 3 11 + c 12 3 22 + c 13 3 33 e 31 W 3 + H 1 ,

p ( n ) _ J n ) e( n ) , J n ) e( n ) , J n ) e( n ) _ 4 n W( n ) , tH n )

  • 1 22 c 12 U11   + c 11 ^22 + c 13 ^33 e 31 3 + 212 ,

p ( n ) _ J n ) c( n ) , J n ) c( n ) , J n ) c( n ) _ 4 n )ил( n ) . tr( n )                              /

  • 133 c 13 °11 + c 13 °22 + c 33 °33 e 33 3 +1 23 ,                         (5O)

Д ( n ) _ o( n )rp( n ) z/( n ) - O( n ( n )

1111 , 2112 ,

д ( n ) _p(n )c( n ) .J n )c( n )      n )e( n ) ,o( n W( n )

Здесь коэффициенты H ^ n ) позволяют учитывать влияние модулей упругости III порядка (сумма по немым индексам):

Hi = c 5(:Tqmq q u ( v q 2 - 1)( v m 2 - 1)

В силу предположения об отсутствии начальных внешних электрических воздействий di = 0 и в зависимости от способа задания НДС неизвестными могут быть либо С(n) с(n) е(n) L[/(n) W(n) W(n) иуппымап P(n) V(n) Cn) W(n) W(n) W(n) ЛППРТТРТТаАММР S11 ,S22 ,S33 ,W1 ,W2 ,W3 , либо, например, P11 ,S22 ,S33 ,W1 ,W2 ,W3 , определяемые из решения системы (50). В работе исследовано влияние одноосных НДС: 1 xi ^ Pn) = P, P^ = Pi^ = 0, k, j, i = 1,2,3;

двухосных НДС: 2 xi ^ p in ) = 0, Р ( " ^ = P kk\jj ^ti = P , k , j, i = 1,2,3

и гидростатического НДС: 3 x ^ P^x n ) = P 22 ) = P 3 ( 3 n ) = P .

Исследования проводились для структур из монокристаллических ZnO [25], CdSe [26] и поликристаллических сегнетоэлектриков, таких как пьезокерамики Soft – PZT DL-61HD, Hard PZT DL-40 [27]. Физические параметры сред приведены в таблице,

8(0) = 8,85^10 12 Ф/м, KS2 = (VF ) -(VF) (VF) - коэффициент электромеханической связи. Относительные скорости волны Гуляева-Блюштейна (ВГБ) для полупространства со свободной и металлизированной поверхностью рассчитаны без учета модулей упругости III порядка.

Физические свойства материалов в ЕС Physical properties of materials in natural state (NS)

ZnO

CdSe

PZT DL61

PZT DL40

ρ [кг/м3]

5680

5504

8200

7700

с 11 [н/м2]

2,09718·1011

7,4057·1010

14,6000·1010

17,8000·1010

с 12 [н/м2]

1,2114·1011

4,5155·1010

9,6000·1010

10,1000·1010

с 13 [н/м2]

1,0513·1011

3,9302·1010

10,0000·1010

9,2000·1010

с 33 [н/м2]

2,10941·1011

8,3551·1010

13,0000·1010

12,4000·1010

с 44 [н/м2]

4,2449·1010

1,3167·1010

3,9000·1010

2,3000·1010

е 15 [Кл/м2]

–0,59

–0,138

33,10

6,20

е 31 [Кл/м2]

–0,61

–0,159

–15,80

–0,10

е 33 [Кл/м2]

1,14

0,347

25,30

9,00

ε 11 (0)

8,3

9,33

2810,0

290,0

ε 33 (0)

8,8

10,2

2520,0

210,0

V P [м/с]

6097

3668

4219,58

4808

V S [м/с]

2743

1547

2180,85

1728,3

V Se [м/с]

2892

1560

3182,58

2220,8

V GfB / V Se

0,9999417

0,9999986

0,999999982

0,999999082

V GmB / V Se

0,994944441

0,99985181

0,847723696

0,918947544

KS 2

0,01

0,0003

0,28

0,1555

  • 4.    Численные результаты

Для детального изучения влияния величины наведенной деформации, вида и характера преднапряжений в составляющих структуры на особенности поведения и скорость распространения поверхностных акустических волн (ПАВ) рассмотрим простейший случай преднапряженного пьезоэлектрического полупространства с преднапряженным однослойным покрытием (M = 2, рис. 1, б). В качестве материала структуры (покрытия и основания) используем гексагональные моно- и поликристаллические сегнетопьезоэлектри- ки (таблица) с различным коэффициентом электромеханической связи, без учета модулей упругости III порядка. Полагаем, что ось симметрии материала в ЕС совпадает с осью x3 , векторы поляризации составляющих покрытия и полупространства совпадают, либо противоположны по направлению (3).

На рис. 2–8 показано влияние характера и величины начальных механических воздействий на относительные фазовые скорости поверхностных волн ( V ^ 1 / V e 2 ) , где V F = к 2 / ^ , ^ - решение дисперсионного уравнения (39) с матрицей (40), (47) в зависимости от геометрии задачи в обозначениях (41)–(46), (48)–(49)). Цифрами 0, 1, 2, …, 10 на рисунках отмечено сочетание наведенных деформаций v , ( 1 ) / v ( 2 - 1/1, 0,97/1, 1,03/1,

Рис. 2. Влияние величины, характера и типа начальных воздействий на относительные скорости ВГБ для структуры ZnO/ZnO

Fig. 2. Influence of value, nature and type of the initial impacts on relative rates of Bleustein–Gulyaev wave for ZnO / ZnO structure

0,95/0,97, 0,97/0,97, 1/0,97, 1,03/0,97, 0,97/1,03, 1/1,03, 1,03/1,03, 1,06/1,03 соответственно, при этом нижние индексы « f » и « m » обозначают свободную и металлизированную поверхность, верхний индекс « е » случай е ^) = - e 2 .

На рис. 2–4 показано влияние величины и характера начальных напряжений, действующих на составляющие структуры в рамках одного типа НДС, на относительные фазовые скорости ПАВ. Цифрами на рисунках отмечено сочетание деформаций, наведенных действием начальных напряжений в структурах из монокристаллических сегнетоэлектриков ZnO/ZnO (см. рис. 2), CdSe/CdSe (см. рис. 3) и поликристаллических сегнетопьезоке-рамик PZT DL-61/PSZ DL-61, PZT DL-40/PZT DL40 (см. рис.4).

Поляризация в слое и полупространстве совпадает, е ( 5 ) = e 2 ) , сплошными линиями на рисунках обозначены скорости ПАВ задачи I – со свободной поверхностью, штриховыми линиями – задачи II с металлизированной поверхностью. На рис. 2 в , 3 в и 4 а , б показано сравнение влияния одноосных 1 х 1 (сплошные линии) и 1 х 3 (пунктирные линии) начальных напряжений на ПАВ в рассматриваемых структурах с металлизированной поверхностью.

Рис. 3. Влияние величины, характера и типа начальных воздействий на относительные скорости ВГБ для структуры CdSe/CdSe Fig. 3. Influence of value, nature and type of the initial impacts on relative rates of Bleustein–Gulyaev wave for CdSe/CdSe structure

Из сравнения рис. 2 и 3 видно, что при малом значении КЭМС (KS2 ) различие в зависимости фазовых скоростей ПАВ от частоты для задач со свободной и металлизированной поверхностью незначительно (см. рис. 3, а, в). Влияние начальных напряжений, наводящих одноосные НДС в составляющих структуры, минимально в случае 1х2. При 1х1 и 1х3 – влияние соизмеримо и зависит от свойств материала и величины наведенных деформаций. Следует отметить, что воздействие начальных механических напряжений может существенно менять свойства структуры. Так, при определенном соотношении наведенных деформаций (кривые 1, 3, 8 рис. 2, а и 2, 5 рис. 2, г, д) сегнетоэлектрическая структура остается слабо неоднородной: по поверхности распространяется волна Гуляе-ва-Блюштейна (ВГБ), скорость которой в зависимости от характера воздействий может быть больше или меньше значения скорости в ЕС, диапазон изменения незначительный. Соотношение наведенных деформаций 0,97/1,03 при НДС 1х1 (кривые 7 на рис. 2 а, в и рис. 3 а, в) приводит к увеличению диапазона изменения скорости, появляются вторые, а при определенных типах НДС и более высокие моды. Структура перестает быть слабо неоднородной, по поверхности распространяются сдвиговые горизонтально поляризованные волны Лява. Соотношение деформаций 1,03/1, 1/0,97, 1,03/0,97, 1,06/1,03 в рамках

Рис. 4. Влияние НДС на относительные скорости ВГБ для структур PZT DL-61/PZT DL-61 и PZT DL-40/PZT DL-40 Fig. 4. Influence of IDS on relative rates of Bleustein–Gulyaev for PZT DL-61/PZT DL-61 and PZT DL-40/PZT DL-40 structures

НДС 1 х 1 приводит к увеличению скорости ВГБ до значения VSа( 2 , волна существует в ограниченном частотном диапазоне, который определяется величиной КЭМС, соотношением деформаций и характером начальных воздействий (см. рис. 2, б , е , рис. 3, б ).

На рис. 4, а е показано влияние величины, характера и типа наведенных НДС на фазовые скорости ПАВ в структурах из сегнетопьезокерамик PZT DL-61 (см. рис. 4, а , в , д ) и PZT DL-40 (см. рис. 4, б , г , е ) с большим значением КЭМС (таблица). Сравнение одноосных НДС 1 х 1 и 1 х 3 дано на рис. 4, а , б для первых мод ПАВ. В случае структуры из PZT DL-40 в рассматриваемом частотном диапазоне, начиная с к 2 e = 6,7, появляются вторые моды ПАВ для всех приведенных соотношений деформаций как при НДС 1 х 1, так и при НДС 1 х 3. В случае PZT DL-61 вторые моды в рассматриваемом диапазоне появляются только при НДС 1 х 3.

Из сравнения рис. 2, 3 и 4 видно, что действие начальных напряжений, наводящих в структуре одноосные НДС 1 х 1 или 1 х 3 соизмеримы по влиянию на скорости ПАВ. Для многих пьезоэлектриков преобладающее влияние имеет НДС 1 х 1, однако для ряда сегне-топьезокерамик с высоким значением пьезоэлектрических и диэлектрических модулей в ЕС влияние НДС 1 х 3 может значительно превзойти влияние НДС 1 х 1. Для пьезокерамик с большим значением КЭМС в случае задачи с металлизированной поверхностью характерно существование поверхностной волны во всем частотном диапазоне даже при соотношении наведенных деформаций, приводящих к увеличению фазовой скорости относительно значения скорости ВГБ соответствующего полупространства (рис. 4, д , е ).

Рис. 5. Влияние величины, характера и типа НДС на относительные скорости ВГБ для структуры ZnO/ZnO

Fig. 5. Influence of value, nature and type of IDS on relative rates of Bleustein–Gulyaev for ZnO/ZnO structure

На рис. 5, а г показано влияние направления поляризации составляющих структуры ZnO/ZnO (см. рис. 5, а ), величины, характера наведенных деформаций и типа начальных напряжений (см. рис. 5, б г ) на изменение скорости ВГБ для задач со свободной и металлизированной поверхностью. Предполагается, что наведенные в составляющих структуры деформации равны. На рис. 5, а приведено характерное поведение скорости ВГБ в ЕС ( 1 )         ( 2 )            ( 1 )             ( 2 )

при e y = e i57 и е у =- ^ £5 . В случае НДС 1 х 1 при соотношении наведенных деформаций v 1 ( 1 ) / v 1 ( 2 ) = 1,03/1,03 (кривые 9 рис. 5, б ) значение относительных скоростей V GB 0 3 f IV S0^ и V L03 m I V°-2 ) достигает значений 1,0356454 и 1,30791675 соответственно.

GB Se

Из рисунков видно, что изменение направления вектора поляризации при всех прочих равных параметрах приводит к изменению характера частотой зависимости скорости ПАВ, среда перестает быть однородной, наблюдается дисперсия свойств (см. рис. 5, а , б ). В рамках действия различных типов НДС в структуре ZnOIZnO при условии e ( 5 ) = - e ( 2 ) наибольшее значение скорости V GB и V B достигают при НДС 1 х 1 (кривые 9 , рис. 5, б , в ) и НДС 2х2 (см. рис. 5, г ).

На рис. 6, а г и 7, а г показано влияние на относительные фазовые скорости ПАВ величины и характера начальных напряжений, действующих на составляющие структуры ZnO/ZnO в рамках 1 х 1 (см. рис. 6) и 2 х 1 (см. рис. 7). Рис. а , б иллюстрируют влияние направления вектора поляризации в случае преднапряженного покрытия (рис. а ) и в случае

Рис. 6. Влияние на относительные фазовые скорости ПАВ соотношения величины и характера наведенных деформаций в структуре ZnO/ZnO в рамках НДС: 1х1 Fig. 6. Influence on relative phase rates of SAW of relation between value and nature of the induced deformations in structure ZnO/ZnO within IDS: 1х1

преднапряженной структуры (рис. б ). Рис. в , г отражают влияние величины и характера преднапряжений на частотную зависимость фазовых скоростей ПАВ в случае e ( 5 ) = - е ^) .

Цифрами на рисунках отмечено соотношение деформаций, наведенных действием начальных напряжений.

Из сравнения рис. 2, б , е с рис. 6 и 7 видно, что эффекты, вызванные действием различного рода начальных механических напряжений, в пьезоэлектрической структуре существенно зависят от направленности векторов поляризации ее составляющих: в случае е ( 5 ) = - е ( 2 ) относительно е ( 5 ) = е ^) меняется характер частотной зависимости скорости ПАВ, усиливается влияние преднапряжений.

Рис. 7. Влияние на относительные фазовые скорости ПАВ соотношения величины и характера наведенных деформаций в структуре ZnO/ZnO в рамках НДС: 2 х 1 Fig. 7. Influence on relative phase rates of SAW of relation between value and nature of the induced deformations in structure ZnO/ZnO within IDS: 2 х 1

На рис. 8, а , б приведено влияние на фазовые скорости ПАВ начальных напряжений, наводящих в покрытии и основании НДС различных типов. Для удобства сравнения в качестве НДС основания использовано НДС 2 х 2, в качестве НДС покрытия одноосные НДС – 1 х 1, 1 х 2, 1 х 3 (см. рис. 8, а ). На рис. 8, б дано сравнение одноосного 1 х 1 и двухосного 2 х 1 НДС покрытия. Соотношение наведенных деформаций на рис. 8, а , б отвечает случаю 1.03/0.97, векторы поляризации покрытия и основания противоположны по направлению.

Из рис. 8, а , б видно, что при рассматриваемом соотношении деформаций независимо от НДС покрытия в рассматриваемом частотном диапазоне существуют вторые моды ПАВ, минимальное изменение скорости достигается при НДС 1 х 1/2 х 2 (см. рис. 8, а ), максимальное – при НДС 2 х 1/2 х 2 (см. рис. 8, б ). Сравнение рис. 6, а , б с рис. 3 в , г показывает

Рис. 8. Влияние типов НДС покрытия и основания на фазовые скорости ПАВ Fig. 8. Influence of IDS types and foundations on SAW phase rates возможность увеличения скорости ПАВ за счет различий в начальных механических воздействиях на составляющие пьезоэлектрической структуры.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№15-08-06074, 16-01-00647, 14-08-01213).

Список литературы Поверхностные SH-волны в преднапряженных пьезоэлектриках с функционально-градиентным покрытием

  • Maugin G.A. Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids. -Amsterdam, Elsevier Science Publishers, 1991. -621 p.
  • Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media//Phys. Rev. -1964 -Vol. 133. -No. 6A -P. A1604-A1610.
  • Tiersten H.F. Electroelastic equations for electrode thin plates subject to large driving voltages//J. Appl. Phys. -1993. -Vol. 74. -No. 5 -P. 3389-3393.
  • Chai J.F., Wu T.T. Propagation of surface waves in a prestressed piezoelectric material//J. Acoust. Soc. Amer. -1996. -Vol. 100. -No. 4. -Pt. 1 -P. 2112-2122.
  • Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных полуограниченных тел. -М.: Физматлит, 2008. -240 с.
  • Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Евдокимова О.В. Определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоактивной среды в отсутствие внешних электрических полей//Вестн. Южного научного центра РАН. -2006. -Т. 2, № 1. -С. 16-23.
  • Евдокимова О.В., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Уравнения динамики преднапряженной пьезоактивной среды при наличии внешнего электростатического поля//Вестн. Южного научного центра РАН. -2007. -Т. 3, № 4. -С. 19-25.
  • Liu H., Wang Z.K., Wang T.J. Effect of initial stress on the propagation behavior of Love waves in a layered piezoelectric structure//Int. J.Eng Sci. -2001. -Vol. 38. -P. 37-51.
  • Jin F., Wang Z., Wang T. The Bleustein-Gulyaev (B-G) wave in a piezoelectric layered half-space//Int. J.Eng Sci. -2001. -Vol. 39. -P. 1271-1285.
  • Liu H., Kuang Z.B., Cai Z.M. Propagation of Bleustein-Gulyaev waves in a prestressed layered piezoelectric structure//Ultrasonics. -2003. -Vol. 41. -P. 397-405.
  • Love waves propagation in a piezoelectric layered structure with initial stresses/Z. Qian, F. Jin, Z. Wang, Xi’an China, K. Kishimoto//Acta Mechanica. -2004. -Vol. 171. -P. 41-57.
  • Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Некоторые особенности динамики слабо неоднородных пьезоактивных структур//Вестн. Южного научного центра РАН. -2010. -Т. 6, № 2. -С. 3-10.
  • Collet B., Destrade M., Maugin G.A. Bleustein-Gulyaev waves in some functionally graded materials//European Journal of Mechanics A/Solids. -2006. -Vol. 25. -Р. 695-706.
  • Bleustein-Gulyaev waves in a functionally graded piezoelectric material layered structure/C. Xiaoshan, J. Feng, W. ZiKun, L. TianJia//Science in China Series G: Physics, Mechanics & Astronomy. -2009. -Vol. 52. -No. 4. -Р. 613-625.
  • Transverse surface waves on a piezoelectric material carrying a functionally graded layer of finite thickness/Z. Qian, F. Jin, Z. Wang, K. Kishimoto//International Journal of Engineering Science. -2007. -Vol. 45 -P. 455-466.
  • Effect of initial stress on Love waves in a piezoelectric structure carrying a functionally graded material layer/Z.-H. Qian, F. Jin, T. Lu, K. Kishimoto, S. Hirose//Ultrasonics. -2010. -Vol. 50 -P. 84-90.
  • Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. -М.: Наука, 1980. -512 с.
  • Surface Acoustic Waves in Inhomogeneous Media/S.V. Biryukov, Y.V. Gulyaev, V.V. Krylov, V.P. Plessky. -New York, Springer-Verlag, 1995. -287 p.
  • Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Богомолов А.С. К проблеме моделирования неоднородных материалов с заданными свойствами//Эколог. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. -2006. -№ 2. -С. 26-32.
  • Численно-аналитическое построение матриц Грина трехмерных теорий упругости и электроупругости/Л.А. Игумнов, С.Ю. Литвинчук, В.П. Пазин, А.Н. Петров//Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. -2010. -№ 3-1. -С. 134-140.
  • Igumnov L.A., Markov I.P., Rataushko Y.Y. Modeling the dynamics of 3-d elastic anisotropic solids using boundary element method//Advanced Materials Research. -2014. -Vol. 1040. -P. 633-637.
  • Balogun S., Achenbach J.D. Surface waves on a half-space with depth dependent properties//J. Acoust. Soc. Am. -2012. -Vol. 132. -No. 3. -P. 1336-1345.
  • Balogun S., Achenbach J.D. Surface waves generated by a line load on a half-space with depth-dependent properties//Wave Motion. -2013. -Vol. 50 -P. 1063-1072.
  • Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К проблеме анализа динамических свойств слоистого полупространства//Акустический журнал. -2014. -Т. 60, № 5. -С. 492-504.
  • Akusticheskie kristally: Spravochnik. . Eds. Shaskolskaya M.P. -Moscow: Nauka Publishers, 1982. -632 p.
  • Sharma J.N., Pal M., Chand D. Propagation characteristics of Rayleigh waves in transversely isotropic piezothermoelastic materials//Journal of Sound and Vibration. -2005. -Vol. 284. -P. 227-248.
  • Material Specification Sheet. Available at: www.delpiezo.com/products.
Еще
Статья научная