Позиционно динамически устойчивое равновесие в многошаговой модели рынка ценных бумаг

ПОЗИЦИОННО ДИНАМИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ В МНОГОШАГОВОЙ МОДЕЛИ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ

Рассмотрен вопрос реализуемости равновесных траекторий в одной математической модели рынка ценных бумаг. Введено понятие позиционной динамическойустойчивости как механизма реализуемости. Приведен признак позиционной динамической устойчивости ситуации Е-равновесия в этой модели рынка ценных бумаг.

Рассмотрим рынок с к видами ценных бумаг и n участниками, функционирующий на конечном интервале [0, Т], разбитом дискретными точками 0, _, T. Предположим, что на рассматриваемом интервале времени количество видов ценных бумаг неизменно, т. е. портфели инвесторов (участников рынка) имеют постоянную размерность к.

В любой момент времени t под состоянием рынка ценных бумаг будем понимать последовательность портфелей   х1 = {х],..., х'} всех инвесторов, где х\ = {xj,..., x‘k} - портфель i-го инвестора, здесь xj -k доля ценных бумаг видау: ^х] = 1, xj > 0,у = 1, „., к.

j =i

Вектор х1 будем называть также фазовым состоянием рынка ценных бумаг в момент времени t. Изменение состояния рынка происходит в дискретные моменты времени t и описывается уравнениями xj = X— 1 ф j , t= 1,..., T,i=1,...,n,j=1,...,k, (1) где фj - управление в момент времени t, t = 1, ., Т. В начальный момент времени (t = 0) портфели инвесторов считаются заданными:

^х 0 = bj >  ⁰ ,I=1,...,n,j=1,...,k.       (2)

Если uj >  0 , то бумагу видау инвестор покупает, а если uj <  0 , то часть бумаги видау' инвестор продает. Ограничения на управление инвестора i следующие:

- х^ Т¹ <Ф j ^ 1 - xj ¹ ,t=1,...,T,y=1,...,k.     (3)

Фазовые ограничения описываются системой нера венств fxj =i, 1=i,..., т, j

. £mN >m‘, 1 = 1,...,T, j=1

Iix1 < a jpjaj, 0 < aj < 1, 1 = 1,..., T, j = 1,..., k, x1 > 0, 1 = 1,..., T, j = 1,..., k, а цель i-го инвестора - минимизируемой им функцией риска

Tkk

ZZZ cjixjxl ^ mm.          (5)

1 =1 j =1 i =1

Система (1).(5) есть динамическая модель задачи инвестора i на интервале времени [0, Т]. Здесь ml - ожидаемое значение доходности по бумаге видау в момент времени t; mi1 > 0 - фиксированный уровень доходности, который как минимум рассчитывает получить инвестор i в каждый момент времениу; aj - количество бумаги видау на рынке; р1 - рыночная цена бумаги видау в момент времени t; коэффициент a j задает верхнюю границу инвестирования в момент времени t; cjl - коэффициент корреляции между изменениями курсов ценных бумаг видау и Х; I/ - стоимость портфеля инвестора i в момент времени t. Динамическую модель (1).(5) инвестора i обозначим символом Q,0,T](x,0).

Допустимым управлением инвестора i в модели Q , ^0, T ]( х О ) будем называть любую последовательность Ф i ( • ) = { ф , , ■■■, Ф T } , где ф * = ( ф ' 1, ■■■, ф \_к ) , в которой компоненты ф ‘у удовлетворяют условию (3). Множество всех допустимых управлений инвестора i обозначим Ui .

Заметим, что ф * = ф * ( x* ^{- 1} ) , т.е. в момент времени t управление выбирается в зависимости от текущего состояния портфеля данного инвестора, а также в любой момент времени выполняется условие ф * ₁ + ■ ■■ + ф *_k = 0 , t = 1, .., Т. Это является следствием требования (4) для всех портфелей, определенных уравнением (1).

Каждому допустимому управлению ф i ( • ) = Ui соответствует, в силу системы (1), (2), последовательность x, ( • ) = { x, ⁰ , x,, ■ ■■, xT } допустимых портфелей, которые будем называть допустимой траекторией инвестора i в модели Q i °’ T ] ( xi ⁰ ) .

Допустимое управление ф i ( • ) е Ui будем называть оптимальным управлением инвестора i в модели Q i °’ T ¹ ( x, ⁰ ) , если вдоль соответствующей ему траектории x ( • ) = { x, ", xi ¹,-, x T } ,где xi ⁰ = x, ⁰ , достигается минимальное значение функционала качества (5). В этом случае траекторию xi ( • ) будем называть оптимальной траекторией инвестора i.

Оптимальное управление ф , ( • ) = { ф 1 ( x °), ф 2( x, *), ■ ■■, ф T ( xf ^{- 1} )} содержательно есть последовательность по времени оптимальных решений инвестора i по поводу купли и продажи ценных бумаг, которые принимаются последовательно в состояниях x °, x ¹ ,..., x ^{T - 1} .Соответственно оптимальная траектория xi ( • ) = { x °, x, ¹, ■ ■■, xf } есть последовательность по времени оптимальных портфелей, каждый последующий из которых ( x* ) порожден оптимальным портфелем ( x * ^{- 1} ) на предыдущем шаге и оптимальным управлением и* в состоянии x* ^{- 1} , т. е. x* = x* ^{- 1} +ф * .

Совокупность

Q ^{[0, T} ]( x °) = ( N ,{ Q [⁰’ ^t ]( x, °)} , е „ ),           (6)

где N = {1, ■■■, n} , будем называть динамической моделью рынка ценных бумаг.

Допустимой (оптимальной) траекторией рынка Q ^[0 ’ ^T ]( x ⁰ )     будем называть совокупность

x ( • ) = { x 1 ( • ), ■■■, x„ ( • )} ( x ( • ) = { x ( • ), ■■■, x„ ( • )} ) допустимых (оптимальных) траекторий всех инвесторов. Допустимую траекторию х ( • ) будем называть реализуемой, если ее компоненты удовлетворяют условию n

£ j = a,p- ,t=1,...,T,j=1,...,k.     (7)

i =1

Невыполнение условия (7) означает либо то, что часть бумаги вида./ осталась не реализованной (<), либо то, что бумага вида./ куплена всеми инвесторами на сумму, превышающую общую стоимость бумаг этого вида, присутствующих на всем рынке (>). Естественно, что оба эти случая неприемлемы для реального рынка.

Перейдем к формализации рыночных элементов для модели Q ^{[0, T} ]( x ⁰ ) .

Определим понятия спроса и предложения инвестора i в момент времени t в состоянии x* . Пусть x i ( • ) = { x, ⁰, x, ¹, ■■■, xf } - оптимальная траектория инвестора i. Вектор

С, - ( x‘ ¹ ) = ( - min { x* - x‘₁ ¹ , 0 } , ■■■, - min { x‘_k - xtk ¹, 0 } ) назовем предложением инвестора i в состоянии x* на отрезке [t 1, t], а вектор

c* ₊ ( x* ^{- 1} ) = ( max { x' - xt - ¹ ,0 } , ■■■, max { x* - xt - ¹ ,0 } )

- спросом инвестора i в состоянии x* на отрезке [t - 1, t]. Здесь x‘ - сечение оптимальной траектории x ( • ) в момент времени i. Сечение x‘ также будем называть оптимальным портфелем инвестора i в момент времени t.

Будем говорить, что на рынке Q ^[0 ’ T ¹ ( x ⁰ ) существует е -равновесие, если для любого е >  0 выполнено неравенство

Tn       Tn

££ I‘c‘- ( x, ^{- 1} ) - ££ I-c-+ ( x‘ ^{- 1} )

* =1 , =1                            * =1 , =1

(в этом неравенстве абсолютная величина вычисляется покоординатно). В данном случае оптимальную траекторию x ( • ) будем называть е -равновесной траекторией на рынке Q ^[0 - ^{T ]} ( x ⁰ ) .

Определение равновесия отражает ситуацию, когда суммарный спрос на всем отрезке [0, Т] равен суммар ному предложению на этом же отрезке, вследствие чего в каждый отдельно взятый фиксированный момент времени t структура портфеля инвестора не обязательно будет оптимальной.

Модель рынка (1).(5) с математической точки зрения представляет собой весьма непростую задачу оптимального управления из-за наличия фазовых ограничений (4). Оказывается, что если инвестиционные средства больше максимально возможной стоимости портфеля инвестора, установленной законодательно, за вычетом максимально возможного вложения в одну из бумаг, то модель (1).(5) сводится к более простой задаче оптимально управления без фазовых ограничений.

Для формализации этого условия воспользуемся ве-k личиной £аjpjaj, которая означает максимально воз-j=1

можную стоимость портфеля инвестора (с учетом существующего законодательства) за вычетом максимально возможного вложения в одну из бумаг

Введем следующие обозначения:

c ^t j

Л

I ^t

.,k,t=1,...,T,

k ch = £(mj-m)c* ,Z=1,...,T.

j =1

где c* - коэффициент максимально возможной покупки бумаг вида./, распределенный на единицу стоимости пор тфеля; ch - коэффициент сравнения бумаги вида h со всеми остальными видами бумаг, распределенный на единицу стоимости портфеля. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть в задаче выполнены два условия:

- m* >  2 mh - m* , 1, h = 1,..., k, (h ^ 1);       (9)

- I ' ^ Z ^a jp*^aj ,1-1,...,k.        (10)

j е J \ l

Тогда в системе (4) существуют неотрицательные базисные решения x = (, x ₁ , ■■■, xv ) двух видов:

k

¹) x ti = 1 - У c

, xj = 0 ,j=l

., k (/ * 1), i = 1,..., и,

t=1,...,T;

j =1 ( j * l )

k

2) xh = 1 -У cj j=1

^^^^^^

c h ^- m i ⁺ m

m' q - m h

ht

-,

* i

t

x. = C- iq iq

ch - mt + mh m'q - mh   ’

q * h, xj = 0 ,j=1,...,k(/*h,j*q),i=1,...,n,t=1,...,T. Обозначим vv di = Уу ixq ^Iq = 1 , Ytq > 0 , q =1          q =1             q

kk

4=^1, -"J ^V, ^t = ¹ -"J ^T 5 ° i ⁽ xi ) = У У cjlxijxil j =1 l =1

и составим следующую задачу оптимального управления:

xi = x* 1 + ф i, xi е Rk, t=1,...,T,(11)

xi = b ,(12)

- di <ф i < 1 - dt, ф i е Rk ,t=1,...,T,(13)

T

У O ⁱ ( xt ) ^ min .              ⁽¹⁴⁾

t =1

С помощью леммы 1 доказано следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть в задаче (1)...(5) выполнены условия (9) и (10), тогда исходная задача (1).. .(5) сводится к задаче оптимального управления (11).. .(14) без фазовых ограничений.

Предположим, что последовательность x ( • ) = { x ¹ , i = 0,1,..., T } есть равновесная траектория рынка Q ^{[0, T} ]( x ⁰ ) . Тогда для каждой реализуемой траектории х0 (см. условие (7)) выполнено условие равновесия (8). Запишем его покоординатно:

Tn              Tn

У У(- min {xj - xi. -0}) Ii -У У (max {xj- xj"1, 0}) I' i=1 i=1                                                        i=1 i=1

j=1,...,k,

или

Tn

У У(тах {

n

xi - xj ¹, 0 } + min { xi - xi ¹, 0 } ) Ii

<е ,

<£ ,

7=1,...,k.

С помощью такого преобразования равенство (8) можно переписать как

траектории, подобный принципу Р. Беллмана из математической теории оптимальных процессов. Этот механизм мы называем принципом позиционной динамической устойчивости [1]. Приведем его определение.

Обозначим через Г¹ = {( i , x ): i = 0,1,..., T , x е Rkn } пространство всех позиций на рынке Q ^{[0, T ]} ( x ⁰ ) в момент t. Теперь определим семейство текущих рынков следующим образом:

{ Q ^{[ i} ■ ^{T ]} ( x ):( i , x ) еГ ⁱ } .

При t = 0и x = x ⁰ это семейство порождает исходную модель Q ^{[0, T ]} ( x ⁰ ) .

Обозначим символом W ^[1 ’ ^{T ]} ( x¹ ) множество всех равновесных траекторий в текущем рынке Q ^[1 ’ ^{T ]} ( x ) .

Определение. Множество равновесных траекторий W ^[0 ’ ^{T ]} ( x ⁰ ) рынка Q ^{[0, T ]} ( x ⁰ ) называется позиционно динамически устойчивым, если выполнены следующие условия:

• -    на всех текущих рынках Q ^[1 ’ ^{T ]} ( x ) существуют равновесные траектории;

• -    на любом текущем рынке Q ^{[ i} ’ ^{T ]} ( x ) существует такая равновесная траектория x ( • )][ _i , _T ] ( x ( i ) = x ),что

x ( •)| [т, T ] е W ^{[ т} - ^{T ]} ( x ^T) ,t=1,...,T.         (15)

Таким образом, позиционная динамическая устойчивость говорит о том, что в какой позиции (х, t) ни оказался бы рынок в процессе реализации какой-либо равновесной траектории, в ней всегда существует дальнейшая траектория движения, являющаяся равновесной.

Будем говорить, что траектория xi ( • ) = { xi ⁰ , xi,..., xT } равномерно непрерывна, если для любого е >0 существует 8 >0 такое, что кактолько ^р¹ - Р¹ <8 , t =1,..., T, то выполняется неравенство || x' - xi < е , t =1, ..., T. Здесь р* = ( pf ,..., p*_k ) и Р ¹ = ( pj ,..., pk ) - векторы цен, а x' и xi - соответствующие этим ценам состояния в модели Q [.°’ ^{T ]}( xi ⁰) .

Доказана следующая теорема.

Теорема. Если в любой позиции ( i , x ) для любого i= 1, ..., и в текущем рынке Q ^{[ i} ’ ^{T ]} ( x ) существует равномерно непрерывная оптимальная траектория x ( • )][ _i , _T ] = { x‘ , x’ ^{+ 1} ,..., xT } ( x = x ), то множество е -рав-новесных траекторий рынка Q ^{[0, T ]} ( x ⁰ ) позиционно динамически устойчиво.

Tn

У У Ii ( X- - xi ^{- 1} ) i =1 i =1

< £

.

Равновесность траектории x ( • ) на всем отрезке [0, T] не является гарантией равновесности любого ее куска x ( • )][ _i , T ] на оставшемся отрезке времени [ т , T], t = 1,..., T- 1. Следовательно, равновесная траектория, как сценарий развития рынка ценных бумаг не является содержательной во времени. Это означает, что при движении рынка по равновесной траектории x ( • ) может существовать такой момент т = 1,..., T-1, что

Tn

УУ Ii ( x- - x- ^{- 1} ) >е . i =т i =1

Последнее означает нереализуемость равновесной траектории x ( • ) целиком на отрезке [0, T].

Для преодоления этой проблемы был разработан дополнительный механизм реализуемости равновесной

Таким образом, автором исследована одна динамическая модель рынка ценных бумаг с точки зрения состоятельности ее равновесных траекторий во времени и пространстве. Для этого применен новый подход, основанный на принципе позиционной динамической устойчивости, и получено условие состоятельности, которое может быть использовано при исследовании конкретных задач.