Предельная ограниченность обобщенных скоростей механических систем с малыми инерционными характеристиками

Известно, что положение равновесия механической системы при наличии в ней гироскопических сил и сил полной диссипации, обладает свойством асимптотической устойчивости по вектору обобщенных скоростей [1; 2]. При добавлении консервативных и позиционных неконсервативных сил ситуация в общем случае меняется. Так, например, неконсервативные позиционные силы могут разрушить устойчивость, а при наличии постоянно действующих силовых возмущений положение равновесия вообще отсутствует. На практике довольно часто вместо асимптотической устойчивости достаточным является требование ограниченности решений. В данной статье предложены достаточные условия предельной ограниченности обобщенных скоростей системы с полным набором сил. В качестве способа контроля радиуса предельной области для обобщенных скоростей используется уменьшение инерционных характеристик системы.

Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений Лагранжа.

d

( д Т У

-

dT дqk )

1^ = Qk T,q,q),k =1 n d qk

где q = ( q i ,q ₂ ,..,q_n ) T - вектор обобщенных координат, q = ( q_x ,q₂ ,,q_n )

T

– вектор

обобщенных скоростей, T = — q ^TA ( q ) q

–

кинетическая энергия

системы,

A (q ^{aj (q)}n^

,j

–

симметричная положительно определенная

матрица,

–

вектор обобщенных сил, T е R

–

переменная

«времени».

Предположим, что коэффициенты кинетической энергии a_t ( q ) можно представить в виде

aij(q )=p2 aij(q),j,j =1 ,n, где p > 0 - малый параметр. Кроме того, пусть вектор сил Q представим в виде [3]

дП

Q = —— + R(q)+r( q,q)+D(q>q)+p(t), дq где n(q) - потенциальная энергия системы, R (q) - вектор позиционных неконсервативных сил, г(q,q) – вектор гироскопических сил, D(q,q) - вектор диссипативных сил, р(т) - постоянно действующие силовые возмущения. Тогда, переходя к новой переменной времени t по формуле dr = pdt, получаем систему

d ( дТ У dt Idq k )

—

дТ _ дП

dqk    дqk

+ Rk (q ) + Гк (q, hq ) + Dk (q, hq ) + pk (pi), k = 1 ,n,    (2)

где через q обозначен вектор

dq, T =1 qTA(q)q, A(q^{ajj(q)}ny   h = ->0 - dt        2                              i,j 1        p большой параметр.

Будем исследовать решение системы (2) на предельную ограниченность решений по вектору q при больших значениях параметра h и произвольных начальных условиях.

Ограниченность в пределе. В соответствии с [4] дадим определение понятия ограниченности в пределе для системы вида (2).

Определение 1. Решения системы (2) будем называть ограниченными в пределе по вектору q , если существуют числа B >  0 и Л >  0 , такие, что решения системы (2)

удовлетворяют неравенству || q ( t,t о ,q о ^,q 0 ) ^ B ^{1 п}р^и t >  t ₀ + Л , причем число B зависит

|| * 11 =   x^{2 +} ■■■ ⁺ x

только от параметра h , но не зависит от частного решения, тогда как А определяется для каждого конкретного решения, т. е. А = А ( h,t₀,q₀,q₀ ) •

Определение 2. Величину А = А(h,t0,q0,q0) будем называть временем переходного процесса. Если А не зависит от t0, то будем говорить, что решения системы (2) ограничены в пределе равномерно по t •

Покажем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть элементы матрицы A(q) = {a (q)}n   являются ограниченными j^'HJ=1

функциями, а собственные числа А этой матрицы удовлетворяют соотношению min inf n ^Л 1 ⁽ q ) >  0 • Кроме того, функции в правой части системы (2) удовлетворяют следующим условиям:

дП                       ,

С1. --- ( k = 1 ,n ) - ограниченные функции.

^д q k

n

С2. L ^к ⁽ q^,hq ) ^q k ^{- —} h ^r d ⁽ q ) \q\Г ⁺ , где d ( q ) - некоторая непрерывная функция, k = 1

d ( q ) >  d >  0 , Г >  1 - вещественное число •

n

С3. L Rk(q) qk - r(q J qll ’ гДеr(q) - некоторая непрерывная положительная k=1

ограниченная функция.

С4. ^ ( ^ t )| - ф , t e R , где ф >  0 - некоторая постоянная.

Тогда при h > 0 решения системы (2) ограничены в пределе по вектору q равномерно по t .

Доказательство. Идея доказательства состоит в использовании кинетической энергии

T ⁽ q^,q ) в качестве функции типа Ляпунова для оценки решений системы (2) по вектору q .

Обозначим A min = min inf А ( q ) , A _ma x = max sup A ( q ) . По условию теоремы, Ai „ >  0 , l q ^e E n                          ¹   q e Eⁿ

A _max <^ , поэтому T ⁽ q^,q ) является положительно определенной квадратичной формой переменных q_k и удовлетворяет оценке

A miJ q |² - T ( q,q ) - 4j q ||^!.                         (3)

Полная производная функции T ( q,q ) на решениях системы (2) имеет вид [5, стр. 58]

dT dt

nn  n

+

Sq. +S«лq)q. +SDk(q,hq*. k=1 д qk        k=1                k=1

n

+ S ^ k ( ^ t ) q k .

k = 1

Применяя условия С1 – С3 теоремы, получаем неравенство

dT < Mq + r(q)q||- /rd(q]\q\^+1 + ^\q\|, t

где M = sup qeEn

дП д q

. Выберем число c ₀, удовлетворяющее неравенству 0 <  c ₀<  d ₀. Тогда

будет справедливо неравенство

'T <-c0hr|qГ+1 t

при || q || >  R ( h ) , где

R(h)= h 'sup qe En V

' M+£+r(q) ^ г

^{d (} q ^)- c о   >

,

(в силу условия С4 теоремы супремум в правой части выражения (5) является конечным числом). Рассмотрим решение системы (2) с начальными данными ( t₀,q₀,(q ₀), || q ₀Ц >  R ( h ) .

Проинтегрируем неравенство (4) в пределах [t0;t], где t достаточно близко к t0, и,

применяя оценки (3), получим

t

лтлж j2+c о hr ji q(s) г+1 ds < 4jqoii2.

t ₀

Если предположить, что || q ( t )| >  R ( h ) при всех t >  t ₀, то получится противоречие, поскольку интеграл в левой части неравенства (6) будет неограниченно возрастать при t —— +ю , а в правой части находится постоянное число. Следовательно, при некотором t 1 >  t о будет ^qt 1 ) = ^{R ( h} ) , т. е. в пространстве векторов q траектория q = q ( t ) попадет на сферу || q || = R ( h ) . Теперь, если неравенство (4) проинтегрировать в пределах t ; t ] и учесть, что II q ( t , ) = r ( h ) , то будет справедлива оценка

t

Aminat)||2 + c0h" J|Iq(s)"+1 ds < kax(R(h))2 , t1

откуда следует справедливость при всех t >  t_x >  t ₀ неравенства

II q (t 1^

^ max

V A min

R (h).

Если || ^q o|| <  R ( h ) , то в пространстве векторов q траектория = q ( t ) либо останется при всех t >  t₀ внутри шара || q || <  R ( h ) , либо в какой-то момент ^ окажется на его границе. В обоих случаях неравенство (7) будет справедливым, поэтому величину B ( h ) , указанную в теореме, можно определить по формуле

в (h ) =

^A max

V A mi.

R (h).

Найдем оценку на время переходного процесса A ( q_Q,q_Q,h ) . Пусть начальные данные удовлетворяют условию || q ₀1| >  B . Найдем число v >  0 , такое, что поверхность уровня S ⁽ q M q :T ⁽ q^,q ) = v } при всех q е E n лежит внутри шара | q || <  B ( h ) . Из неравенств (3) следует, что в качестве такого числа V можно принять v = A_minB2 . Из неравенств (3) также следует, что поверхность S_v ( q ) при всех q е Е^п будет охватывать шар || q <  R ( h ) .

dT

Поскольку --- < 0 при q >  R ( h ) , то в пространстве векторов q траектория q = q ( t ) ,

dt попав на поверхность Sv (q), уже не выйдет за пределы шара ||q < B(h). Поэтому в качестве оценки времени окончательного попадания траектории q = q(t) в шар |q|| < B(h) можно принять время достижения этой траекторией поверхности Sv (q). Проинтегрируем неравенство (4) в пределах \t0;t0 + Л]

T(q(to +Л).,(to +Л))-T(qo,qo)<-coh° I q(s)°+1 ds.

t ₀

Учитывая, что T(q(t0 + Л),q(t0 + Л)) = v и ||q(s)| > R(h), получаем v - T (qo q )<-co h°R°+1Л, откуда

T (qo ,q 0 )- ^m,.B2

° + 1 .

c sup qеEn V

' M + о + r(q )

Л °

d(q)-co   >

Как следует из формулы (9), верхняя оценка на время переходного процесса не зависит от t , следовательно, ограниченность в пределе равномерна по t . Теорема доказана.

Как видно из формул (5) и (8) радиус предельного шара B ( h ) может быть сделан как угодно мал увеличением параметра h . Это означает, что уменьшение инерционных характеристик системы может сгладить действие любых ограниченных возмущающих сил (р(т ) , если все остальные силы удовлетворяют условиям теоремы. Однако, если в условии С2 указанная оценка на мощность диссипативных сил справедлива лишь при больших q

(при и >  R , где R >  0 - некоторая постоянная), то предельный шар уже нельзя будет сделать как угодно малым, т. к. B ( h ) будет ограниченно снизу числом R .

Следует также отметить, что полученная верхняя оценка (9) на Л неограниченно возрастает при h ^ 1^ . Поскольку переменные времени в системах (1) и (2) связаны по формуле Т = U t , то для системы (1) оценка (9) примет вид

Л<

T (q 0^ 0 )-^minB 2

c sup qеEn <

2 M + ^ + r(q)

а +1 '

А а

d ⁽ q ^)- c о   J