Пределы в расчетах

Известно, что математика никогда не бывает одна, она всегда к чему-то прикладывается! Это говорит о том, что ни одна другая наука не может существовать без математики. Знание математики необходимо практически во всех профессиях. Конечно, прежде всего в тех, что связаны с естественными науками и экономикой. Законы математики используют при проведении исследований в медицине, биологии, физике, астрономии, инженерном деле и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Многие экономисты, социологи и крупные врачи считают, что дальнейший прогресс их дисциплин тесно связан с более широким использованием математических методов, чем это было до настоящего времени. Еще греческие ученые говорили, что математика есть ключ ко всем наукам.

Прикладной характер математики можно рассмотреть на примере пределов. Очень часто пределы используют в познании Вселенной, например, в вычислении свойств определенной звезды определенной галактики. Также пределы используют например, как опорную точку при доказательстве теорем квантовой физики или число пи определялось как предел площадей вписанных и/или описанных многоугольников. Понятие предела является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты.

Рассмотрим применение пределов в экономических расчетах, а именно в вычислении сложных процентов. В долгосрочных кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга и применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым шагом во времени. Сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Присоединение начисленных процентов к сумме - часто называют капитализацией процентов.

Рассмотрим формулу сложных процентов:

S = P(1 + i)n, (1)

где P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Например, в кредитном договоре на сумму 1000000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Необходимо рассчитать наращенную сумму.

Используя формулу (1), получим:

S = 1000000 (1 + 0,2)4 = 2 073 600 руб.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S

-

P называются дисконтом. Величину P,

найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. В данном случаи имеем:

Р - ^S ;

(i+i)ⁿ ’

S lim n^m ^Р lim n^^ ^+^_n^{0, (2)}

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений или непрерывных процентов определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более верно, чем на основе дискретных. Приведем формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

S=P (1 + i/m)mn,(3)

Где m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Следовательно, в пределе при m ^

да имеем:

S= 1im_n ^ _OTP (1 + ^)   = Р 11m m^^ ((1 + i/m)^m)n , (4)

Поскольку 11т_п ^ _ю (1 + ^)  = е¹ , то S=P e^l .     (5)

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через 5, тогда S = Pe5n.

Сила роста δ представляет собой номинальную ставку процентов при m → ∞. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.