Представление формальных моделей в интеллектуальных системах поддержки принятия решений

Актуальность. Известно, что классические формальные системы пригодны для построения когнитивных моделей (теорий) ограниченных предметных областей. Хотя принципиальные ограничения на количество нелогических аксиом в них отсутствуют, практическая реализация интеллектуальных систем, основанных на теориях большой размерности, сопряжена с трудностями реализации логического вывода [1-3]. Кроме того, разработка непротиворечивой теории реальности в целом или некоторой её практически интересной части представляет собой трудно выполнимую задачу.

Методологические предпосылки . Практически приемлемый путь к созданию больших баз знаний, которые могли бы обеспечивать деятельность сложных систем, заключается в разработке и отладке отдельных частных теорий для фрагментов реальности и в последующем объединении таких локальных теорий в единую глобальную теорию. Для удобства работы с глобальной теорией должна быть предусмотрена её структуризация, т.е. чёткое распределение знаний по предметным областям и решаемым интеллектуальной системой задачам. Система понятий, используемая для построения частных теорий, должна быть единой и должна допускать при представлении знаний обращение к понятиям различной степени общности, обозначающим классы реальных объектов и отношений между ними.

Требуемая для построения глобальных теорий реальности формальная система может быть создана на основе возникшей, благодаря исследованиям по алгебраической топологии, теории категорий и топосов [4-7]. Достоинством категорий является то, что их объектами могут служить не только  множества или пространства, но и другие математические абстракции, например, универсальные алгебры и их частные случаи [1, 2]. При этом морфизмами могут являться не только поточечные отображения µ: X →Y множеств или пространств, но и другие типы отображений            , устанавливающих однозначное соответствие между образом морфизма

imµ = Y         coim µ = X и оригиналом             .

Предлагаемый подход. Используя результаты теории категорий, построим формальную систему, позволяющую объединять локальные теории отдельных объектов в глобальную теорию реальности. Для этого построим категорию К, объектами которой являются понятия, рассматриваемые с точки зрения их содержания, т.е. как совокупности свойств или отдельные свойства. Будем считать, что морфизмы категории

µ : X → Y

выражают относительное присутствие объекта X в объекте Y .

Если некоторое понятие представлено объектом U и понятие или свойство Ui является существенным для определения присутствия или отсутствия объекта U, то категория включает морфизм ^V i ^: Ui ^ . Набор таких морфизмов для всех существенных свойств объекта U или для всех его составляющих образует покрытие объекта U . Если объект Ui , в свою очередь, имеет существенное свойство V , то будем считать, что композиция морфизмов ^V i ^V , где ^{V :} ^ ^ ^Ui , также принадлежит покрытию объекта U .

Распространим этот принцип на композиции морфизмов произвольной

ViV j V j -V j кратности, имеющие вид 1 2 J n . При этих условиях морфизмы в объект U образуют решето Ф(U) над U. Определим ограничение этого решета на объект Ui, связанный с U морфизмом ^i, как композицию

V j V j ... V j морфизмов 71 72 n, которую будем считать принадлежащей покрывающему решету объекта Ui. Проделав указанные операции для всех объектов категории К, получим семейство решет С(U) , задающих топологию Гротендика на объектах категории. Такое определение решета равносильно представлению объектов категории U функторами hU , т.е.

множествами морфизмов

HomK (Ui,U),

i e I

Предположим, что каждый объект Ui категории представляет тождественно присутствующую формулу логики присутствия, аналогичную тавтологии в пропозициональном исчислении. Выделим в нём подобъекты, соответствующие внутренности формулы, выражающей присутствие объекта через присутствие его свойств или составляющих IUi , замыканию этой формулы CUi , внутренности дополнения I ~ Ui и замыканию C ~ Ui .

В связи с тем, что частные примеры понятия, представленного объектом Ui, могут иметь различные значения присутствия, морфизм V : Uz'^ U можно представить в виде четырёх взаимоисключающих по присутствию морфизмов

IUi ^ ^U = Pr _Ф<: Ui ^ ^U ;

V i ^: i

I ~ Ui ^ U = Ab ^V i . Ui ^ U ^;

( CUi A C ~ Ui) ^ U = Un V i : Ui ^ U;

( IUi n I ~ Ui ) ^ U = Cn v i : Ui ^ U ,

которые можно рассматривать как значения присутствия морфизма

Vi

.

Эти морфизмы образуют множество

Hom (Ui , U )

Каждый из

морфизмов (1) имеет свой образ в объекте U. Совокупность этих образов для всех

V i ( i e I )

составляет предбазу топологии объекта U . Из условий решета

V ^: V ^                 Ф^

следует, что если имеется морфизм          i , то и композиция вида i также принадлежит покрытию объекта U. Это значит, что топология объекта V также отображается в объект U и для композиций морфизмов произвольной кратности.

Рассмотрим алгебру морфизмов

{ x ,  и,  n,

№U, n,

^~

^~

, ^ ^}

,

⇒ - операции алгебры присутствия, а множество ^ℵ

включает семейство морфизмов

{ Hom ( UiU )/ i e I }

, а также семейство исходящих морфизмов из объекта U

{ Hom (U , W0 kk e K }

.

Эта алгебра изоморфна алгебре подобъектов объекта U, в число которых входят и IU, I~U, CU, С~U.

Определив операцию присоединения следствий аналогично логике присутствия и описав аксиоматически отношение логического следования между формулами, составленными из символов морфизмов вида (1), получим формализованную теорию объекта U. Эта теория позволяет выразить логические связи по присутствию между входящими в объект и исходящими морфизмами.

Пусть переменные x , y , z обозначают морфизмы категории K и могут принимать одно из значений присутствия: Рr – «присутствует», Ab - «отсутствует», Un - «не определено», Сn - «противоречиво» и Q , где Q обозначает, что операции по определению значения присутствия переменной еще не выполнялись. Можно считать, что Q выражает полную априорную неопределённость в отличие от Un , соответствующего апостериорной неопределённости, т.е. отсутствию информации, установленному в результате анализа имеющихся данных.

Допустим, что аксиомы теории объекта имеют вид ^{x ⇒ у} , где х , у - некоторые формулы. В зависимости от заданного в теории значения присутствия этой аксиомы ей соответствуют

(U nx ^ Pry)

или

(Prx ^ U ny)

.

Согласно правилу вывода modus ponens в первом случае имеет место выводимость а во втором -

Unx,(Unx^Pry) p Pry

Prx,(Prx^Uny) |_Uny

Содержание одного шага логического вывода можно представить в

, Aoyy, Апyy виде изменения значения присутствия y: QP UQ , где первый нижний индекс обозначает значение присутствия до применения правила вывода, второй - после этой операции. При таких обозначениях выражения (2), (3)

можно представить в виде

A uu x ^{П A} Qp ^y

A pp x П A Qu^y

В общем случае аксиома может быть представлена как конъюнкция

A(^ ) %л П A(^ )n х? П ... П A(^ \ xn а1в1 1 a2e2 2        «nen n

, где αi , βi обозначают исходное и результирующее значения присутствия переменных

xi

∆

( Я ) α i β i

xi

а λ - порядок дифференциала присутствия

Порядок λ определяется следующими правилами:

• а)    если теория описывает одно состояние реальности, не содержащее изменений присутствия морфизмов, то λ = 1 (статика);

• б)    если теория описывает изменение теории, содержащей дифференциалы присутствия порядка λ , то порядок дифференциалов данной теории равен n + ¹.

Определим, правила умножения дифференциалов присутствия:

A Oe* ^Xi ° aY^ x j = M1.

Aa xi ° A eY^ xi =

M2.

А^У xi ° A ⁽ 5 ) xi =

M3. ^{αβ    γδ}

∅

при ^{i ≠ j} ;

( ^ ^Xi αγ ^xi

;

∅ β≠γ

при

.

Набор аксиом вида (4) составляет множество образующих полугруппы

А , а правила умножения M1...М3 - систему определяющих соотношений. В остальном правила умножения определяются правилом вывода modus ponens . Роль единицы в данной полугруппе играет правило вывода с аксиомной схемой x ⇒ x . Таким образом, формализованная теория объекта может быть представлена в виде полугруппы, описываемой множеством образующих и системой определяющих соотношений.

Заключение. Отмеченные выше обстоятельства свидетельствуют о перспективности категорного подхода к представлению знаний в интеллектуальных системах, ориентированных на сложные предметные области.