Представление общего решения многомерных неклассических систем уравнений высшего порядка

В данном сообщении конструируется многомерная неклассическая система уравнений высшего порядка и найдено представление общего её решения.

Рассмотрим в пространстве R ^{n +} 1 следующую систему уравнений первого порядка:

дs д и, ди,       д и„

— + —1 + —- + ••• + —- = д t дх, дх

_5ц, = о, дX]    д t(1)

-sun = о,

дxn    д t с характеристическим определителем

X ( §§~§ ) = § 0 "Ч ^ + I § |²) ,

I § |² = § + § 2 + - + § 2 -

Система (1) в каждой точке пространства R ^{n + 1} наряду с комплексными характеристиками имеет многократные вещественные характеристики, следовательно, данная система является неклассической (составной) системой уравнений с частными производными первого порядка.

Обозначим через D оператор, определяемый левой частью системы (1).

Непосредственным подсчетом можно заметить, что квадрат оператора D порождает уравнения Лапласа A s = 0 и следующую систему

д2 U            _   „     , , х ,

+ grad (divU ) = 0     U (t , х ) = ( u 1 , и ₂, - , и_п )

с характеристическим определителем _% ( § 0 , § 1 , § 2 , - , § _п ) = § 2< " "^ + | § |²) ,

с характеристическим определителем

z(§„§,-;§ , ) = § 4 ⁽ " ^{- l)}( § 2 + I § I²)² -

Последовательно, продолжая этот процесс, убедимся, что оператор D ^{2 m} порождает полигармонического уравнения A s = 0 и систему уравнений

д ² m U д t ² ”

+ Z *

д ²⁽ m ^- j ) д t^{2( m -} j )

grad ( divU ) 0, ^{m — 1    (4)}

с характеристическим опаределителем

Z ( §>§ .-, 6 ,,) = § 0 m ⁽ " ' ( § , + § T ) m - m — I -

Теперь находим представление общего решения системы (4). Применение операция div по х Е R ⁿ на систему (4) приводит к соотношению A m to = 0 , где to = div U , учитывая которого, получим следствие системы (4)

d ² m

^A ^mU = 0 .

S i ² m

Общее решение (5) представим в виде

U (t , х ) = U 0 ( t , х ) + V ( t , х ) ,     (6)

где     U ( t , X ) - решение полигармонического

уравнения A mU₀

д2mV, . n д t2 m       , divV0 = 0 -

Очевидно,

= 0 , а V (t , X ) - решение уравнения

удовлетворяющее соотношению

если вектор-функция    U ( t , х ) -

решение системы (4), то она будет удовлетворять и систему (5). Обратно, если бигармоническая вектор-функция U _o ( t , х ) удовлетворяет также соотношению

д ^{2 m} U₀ д t ^{2 m}

m

+ Z A j " ¹

д ^{2( m} "  j ) д t²⁽ⁿ " ^j j

grad (divU0) = 0,

а вектор-функция V ( t , х )   - соотношению

divV = 0, то выражение (6) будет решением системы (4), при этом     Uo (t, х) = grad^, а m-1

V0(t,х) = Z tk ^^ (х) , где  Q(t, х) - решение k=0

полигармонического уравнения A ^m Q = 0 , ^. ( х ) -

произвольные вектор-функции класса C 2^m ( R n ) , удовлетворяющие соотношениям div ^^ ( x ) = 0 к = 0, m - 1 .

Таким образом, все регулярные в некоторой области G е R n ^{+ 1} решения общей системы (4) представляются по следующей формуле:

n - 1

U(t, x) = gradQ + ^ tk TA (x) .

к = 0