Преемственность в развитии научных знаний: практическое применение кватернионов при решении инженерно-технических задач

тических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением твердого тела, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.

Успех в решении задач динамики и управления пространственным движением твердого тела во многом зависит от выбранной модели его движения. Угловое движение технического объекта, рассматриваемого как твердое тело, может быть описано двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями, записанными в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), Кейли-Клейна).

В работах В.Н. Котлякова, В.Н. Бране-ца, И.П. Шмыглевского, Ю.Н. Челнокова, Д.В. Лебедева, Н.Л. Стрелковой и др. [2 – 8] показано, что использование в качестве кинематических параметров таких невырождающихся параметров как параметры Эйлера повышает эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением твердого тела. При этом удобным математическим аппаратом оказывается аппарат кватернионов Гамильтона [9].

Аппарат кватернионов – четырехмерных гиперкомплексных чисел со специальными правилами умножения – даёт возможность в достаточно простой и удобной форме задавать повороты в трёхмерном пространстве, что и обуславливает их применение для описания вращательного движения твердого тела.

Кватернионный способ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими способами описания вращательного движения твердого тела. С помощью кватернионов эффективно решаются задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические уравнения движения твердого тела в кватернионах не вырождаются, как это имеет место при использовании углов Эйлера, и не содержат тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти).

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819 – 1820 годам [10].

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы: а + bi + cj + dk, где i² = j² = к² = — 1 , Гамильтон назвал эти числа "кватернионами". Позднее Фробениус строго доказал (1877 г.) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля [11]. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд) [12, 13].

Историческая справка свидетельствует, что математическое творчество Гамильтона, как и его творчество в других областях, началось очень рано. С 1824 по 1825 г.г. он занимается вопросами оптики и аналитической механики. С 1833 г. Гамильтон всё больше и больше углубляется в изучение сущности алгебраического алгоритма. Первое изложение его мыслей по этому вопросу находится в статье «Теория сопряженных функций или алгебраических пар;

с предварительным и элементарным опытом об алгебре, как науке о чистом времени» (18331835 г.г.) [14].

Как видно из названия, "понятие о числе мыслится как нечто, для чего существенным является время, а не пространство, ибо сначала исследуется только идея последовательности". Мысль эта идет от Канта [14], но Гамильтон развивает её дальше. Количественное, пространственное, по представлению Гамильтона, наступает только после введения операции вычитания, благодаря чему делается возможным и измерение. Далее он переходит к рассмотрению комплексных чисел x+i·y ; они рассматриваются как пары чисел ( x,y ), над которыми установлены определенные условные правила действий. Приводятся также общие аксиоматические соображения относительно правил обыкновенного счёта, аналогичные тем, которые были позже установлены Грассманом [14].

Начиная с этой статьи, Гамильтон всё больше занимается проблемой отыскания такой системы комплексных чисел, которая допускала бы полезную геометрическую интерпретацию в пространстве, подобную той, которую имеют комплексные числа x+i·y в плоскости. Поиски в данном направлении и привели Гамильтона к нахождению кватернионов , т.е. к системе особенных четырехчленных комплексных чисел, разработке и распространению которой он себя с этой поры и посвятил.

Теорию этих чисел он изложил в двух трудах: «Лекции о кватернионах» (1853 г.) и «Элементы теории кватернионов» (1866 г., посмертное издание) [15].

Очень скоро кватернионы стали той областью интересов, которая сосредоточила на себе максимальное внимание. Они являлись отдельным предметом, по которому сдавался специальный экзамен, и без которого немыслимо было окончание колледжа. Для самого Гамильтона кватернионы сделались краеугольным камнем его математического кредо, и он насильственно связывал с кватернионами все свои геометрические и прочие работы; такая вера в универсальное назначение теории кватернионов росла по мере того, как вырастала к концу его жизни односторонность его интересов.

Его сочинения носят печать гениальности, и можно сказать, что он далеко опередил своих современников.

Первая из его замечательных работ, озаглавленная сначала «Caustics», была представлена в 1823 году доктору Бринклею, его предшественнику по кафедре, потом, после больших дополнений и разъяснений, напечатана в 1828 году в «Transactions of the Royal Irish Academy» под заглавием «Theory of Systems of Rays». Содержательный мемуар «On a general method in Dynamics», помещенный в «Philosophical Transactions» в 1834 -1835 годах, заключает в себе самые важные открытия по

Преемственность в развитии научных знаний: практическое применение кватернионов

механике и теории интегрирования систем дифференциальных уравнений, развитые потом Якоби. В этой работе Гамильтон привел систему дифференциальных уравнений (второго порядка) движущейся материальной системы к удвоенному числу дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде, и открыл новый метод получения решения этих уравнений, заключающийся в том, что нужно найти полный интеграл некоторого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка и тогда искомые решения составятся по некоторым общим формулам без каких бы то ни было интегрирований.

Гамильтону же принадлежит введение в механику особого наглядного приёма изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо прямо -или криволинейное движение.

В 1840-е годы английская школа математиков упорно пыталась найти расширение поля комплексных чисел с несколькими мнимыми единицами. Только много позже было доказано, что такое расширение не может быть полем - оно либо некоммутативно, либо не ассоциативно, либо содержит делители нуля. Первым добился успеха Гамильтон – открыл кватернионы, некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами. Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию и приложениям.

В ходе исследований Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он ввел векторное произведение, предложил оператор набла. На основе работ Гамильтона Гиббс и Хэвисайд завершили систему векторного анализа.

Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона - новая формулировка механики и кватернионы - сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики, причем эта роль была не случайна. Во всяком случае, механику Гамильтон сознательно сформулировал в виде классического (коротковолнового) предела волновой теории (аналогично тому, как в его время геометрическая оптика была осознана как коротковолновый предел волновой оптики).

Кватернионы имеют ряд практических преимуществ по сравнению с другими способами описания вращательного движения твердого тела. С помощью кватернионов эффективно решаются задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические уравнения движения твёрдого тела в кватернионах не вырождаются, как в углах Эйлера, и не содержат тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти).

при решении инженерно-технических задач С применением теории кватернионов решаются задачи определения ориентации и управления угловым движением твёрдого тела, которые играют важную роль в создании систем управления подвижными объектами. Так, например, управление угловым положением необходимо для обеспечения нормальной работы различного рода оборудования фотоаппаратов и телевизионных установок, оси визирования которых, должны направляться на наблюдаемые объекты; для работы солнечных батарей, плоскости приемных элементов которых должны быть перпендикулярны направлению солнечных лучей, и антенн направленного излучения и приема радиотехнических устройств.

Решению задач определения ориентации и управления угловым движением твёрдого тела или космического аппарата, рассматриваемого как твёрдое тело, посвящено большое количество работ, как в российских, так и в зарубежных изданиях. Но сложность решаемых здесь задач, связанная, в основном, с отсутствием общих аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения и высокими требованиями, предъявляемыми к точности и эффективности алгоритмов численного решения, продолжает оставлять эту проблему актуальной [16].

Для описания поворота тела вокруг оси независимо от совершенного им вращения по другим осям автором статьи [17] был разработан алгоритм с использованием аппарата кватернионов – четырехмерных гиперкомплексных чисел со специальными правилами умножения.

Как было сказано выше, кватернион представляет собой гиперкомплексное число вида:

q = a + bi + cj + dk,        (1)

где: a, b, c, d – некоторые действительные числа, i , j , k – некоторые вектора, модуль которых равен V—1. Согласно выражению (1) кватернион можно разделить на две части: скалярную и векторную. Векторная, или чисто мнимая часть определяет вектор, относительно которого происходит вращение, а скалярная характеризует угол поворота.

Если ( w, x, y, z ) – координаты вращения, согласно прежнему описанию, тогда кватернион q можно определить как

q = w + xi + yj + zk = w +

(х, у, z) = cos ( ^ ) + и sin ф ,           (2)

где u – единичный вектор. Таким образом, произведение qvq % вращает вектор v на угол а вокруг оси u . Вращение происходит по часовой стрелке, если рассматривать вращение по направлению вектора u .

Вращение на кватернионы можно объединить, перемножив их. Таким образом, вращения на кватернионы p и q равно

pqv(pq)$% = pqvq$%p$%,      (5)

что то же самое, что и вращение на q , а затем на p .

Пусть u – это единичный вектор (ось вращения). Кватернион задан выражением q = cos ( ^ ) + и sin ( ^ ).    (6)

Тогда

• # ) = q#q^-1 =

  -usin(D).

.cosGD + ^n©,)# ^(cos®

вращает вектор v на угол α вокруг оси u .

Получившийся результат является формулой вращения на угол α вокруг оси u .

Применяя данную формулу для описания вращения тела относительно всех координатных осей, был получен общий алгоритм вращения тела в пространстве:

q ^ vq *" ¹ =

^(cos (?) ^{+ j sin} (?)) # ^(cos (?) - '■ ^{sin (2}T^{)) ;}

q_y#q_y ¹ =

^os^+ysm^^cos^-/sin.y2;(9)

qz#qz-1 =

^os^ + ksm^# (сЦ^)-Asin.z2;(10)

• #) = qxqyqz#qz"1qy"1qx"1,(11)

где выражения (8 – 10) определяют вращение заданного вектора относительно осей X, Y, Z опорной системы координат соответственно. Выражение (11) определяет поворот вектора # одновременно относительно трех осей опорной системы координат.

В результате преобразований были получены координаты смещенных узлов рефлектора в системе координат параболоида.

Метод кватернионов также позволяет решать и другие подобные прикладные задачи, которые широко используются в навигации, геодезии, небесной механике, компьютерной графике, робототехнике, молекулярной динамике.