Преобразования операции свертки в сумму и асимптотическое поведение коэффициентов устойчивых полиномов
Автор: Цирлин Анатолий Михайлович, Заева Mаргарита Aнатольевна
Журнал: Программные системы: теория и приложения @programmnye-sistemy
Рубрика: Методы оптимизации и теория управления
Статья в выпуске: 4 (43) т.10, 2019 года.
Бесплатный доступ
Известны интегральные преобразования, для которых свертка в области оригиналов (функций скалярного действительного переменного) преобразуется в сумму изображений (функций скалярного действительного переменного). Эти преобразования задаются с точностью до линейного оператора.Рассмотрены свойства одного из подобных преобразований, для которого экспонента преобразуется в экспоненту: eго связь с преобразованием Лапласа, преобразования некоторых конкретных функций и операций дифференцирования, интегрирования, сдвига, изменения масштаба времени, умножения на экспоненту и другие.Переход от плотности распределения случайной величины к ее кумулянтам называют кумулянтным преобразованием, по аналогии все преобразования, переводящие свертку оригиналов в сумму отображений названы кумулянтными. Показано, что формулы Ньютона, реализующие связь сумм одинаковых степеней корней полинома с его коэффициентами, являются кумулянтным преобразованием, так же как переход от функции действительного переменного к фазе или логарифму модуля ее преобразования по Фурье.Обсуждаются возможности использования таких преобразований. Получены условия, при выполнении которых последовательность коэффициентов устойчивого полинома, являющаяся сверткой устойчивых полиномов первой и второй степени, с ростом числа этих полиномов асимптотически нормальна.
Свертка оригиналов, интегральное преобразование, сумма отображений, кумулянты, устойчивые полиномы
Короткий адрес: https://sciup.org/143169805
IDR: 143169805 | УДК: 517.929.4+517.444 | DOI: 10.25209/2079-3316-2019-10-4-141-161
Conversions of the convolution operation to the sum and the asymptotic behavior of the stable polynomials coefficients
Consider the integral transformations which convert convolution in the domain of originals (functions of scalar real variable) into the sum of images (functions of scalar real variable). All these transformations are given up to a linear operator.We discuss the properties of one of these transformations, which converts any exponent the exponent: its relationship with the Laplace transform, transform of some particular functions and operations differentiation, integration, shift, time scaling, multiplication by the exponent, etc.Transformations of this type we call cumulative by analogy with the transition from the density distribution of a random variable to its cumulants. We show that Newton's formulas that realize the relation of sums of the same powers of the roots of a polynomial with its coefficients are cumulative transformation. Also, any transition of real variable function to its phase (same as the logarithm of the module of its Fourier transform) is.We discuss the possible applications and obtain the conditions under which the sequence of coefficients of a stable polynomial with increasing its degree is asymptotically normal.
Список литературы Преобразования операции свертки в сумму и асимптотическое поведение коэффициентов устойчивых полиномов
- И. И. Хиршман, Д. В. Уиддер. Преобразования типа свертки, ИЛ, М., 1958, 316 с.
- В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление, Физматлит, М., 1961.
- М. Ф. Гарднер, Дж. Л. Бернс. Переходные процессы в линейных системах, Изд-е 3-е, Физматгиз, М., 1961, 460 с.
- Х. Карслоу, Ф. Егер. Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, М., 1948, 292 с.
- Я. Микусинский. Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956, 366 с.
- Г. Дёч. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования, Серия «Физико-математическая библиотека инженера», Наука, М., 1971, 288 с.
- Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре, Учебники для вузов. Специальная литература, Лань, М., 2004,
- ISBN: 9785811404476
- P. D. Feigin. “Conditional exponential families and a representation theorem for asymptotic inference”, The Annals of Statistics, 9:3 (1981), pp. 597-603.
- DOI: 10.1214/aos/1176345463
- А. М. Цирлин. «Кумулянтное преобразование функций», Труды Московского института химического машиностроения, т. XXV, ред. Е. Г. Дудников, 1963, с. 18-25.
- А. М. Цирлин. «Кумулянтное преобразование и возможности его использования для исследования динамических систем», Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1963, №3.
- K. Tharmalingam. “The impulse response of number of identical circuits in cascade”, Proceedings of the IEE - Part C: Monographs, 108:14 (1961), pp. 335-338.
- DOI: 10.1049/pi-c.1961.0045
- Я. З. Цыпкин. Основы теории автоматических систем, Наука, М., 1977, 560 с.
- В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика, Основы наук, 12-е изд., перераб., Высшее образование, М., 2008, , 480 с.
- ISBN: 978-5-9692-0192-7
- F. B. Hildenbrand. Introduction of numerical analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1956.
- В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин, Наука, М., 1972, 416 с.
- В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Книга по Требованию, М., 2012, , 766 с.
- ISBN: 978-5-458-26120-3
