Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции

Представлено приближенное аналитическое решение задачи о нестационарной свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме ньютоновской жидкости в квадратной области при мгновенном изменении температуры боковой стенки и отсутствии тепловых потоков на верхнем и нижнем основаниях. Уравнения естественной конвекции в приближении Обербека-Буссинеска линеаризованы за счет пренебрежения конвективными слагаемыми. Для сокращения числа гидротермических параметров система приводится к безразмерному виду введением масштабов для зависимых и независимых переменных. Переход от классических переменных к переменным «вихрь-функция тока» позволил свести систему к нестационарному уравнению теплопроводности и нестационарному неоднородному бигармоническому уравнению, причем первое не зависимо от второго. Решение в виде функции тока получено применением интегрального синус-преобразования Фурье с конечными пределами к бигармоническому уравнению сначала по переменной x, а затем по переменной y. Функция тока имеет вид двойного ряда Фурье по синусам с коэффициентами в интегральной форме. Коэффициенты ряда представляют собой интегралы от неизвестных функций. На основании гипотезы о специальном виде интегралов коэффициенты вычисляются из системы линейных уравнений, полученной из граничных условий на частные производные функции. Исследована зависимость структуры течения от числа Прандтля. Получены карты линий тока и изолиний компонентов скорости, описывающие развитие течения с момента возникновения до перехода в стационарное состояние. Приведены графики векторного поля скоростей в различное время, иллюстрирующие динамику течения. Достоверность гипотезы о специальном виде интегральных коэффициентов подтверждается адекватностью физическому смыслу и согласованностью полученных результатов с численным решением задачи.