Прикладная теория поперечных колебаний слоистой конструкции с полимерными матрицами и включениями из расположенных вдоль слоя пористых пьезокерамических стержней

Original Theoretical Research

Applied Theory of Transverse Vibrations of Layered Structure with Polymer Matrices and Inclusions of Porous Piezoceramic Rods Arranged along the Layer

Arkadiy N. Soloviev^1,2 0 и , Maria S. Germanchuk ^1,3 , Pavel A. Oganesyan⁴

• ¹    Crimean Engineering and Pedagogical University named after Fevzi Yakubov, Simferopol, Republic of Crimea

• ²    Research and Production Center for Engineering Technologies, Crimean Engineering and Pedagogical University named after Fevzi Yakubov, Simferopol, Republic of Crimea

• ³    V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Republic of Crimea

• ⁴    Southern Federal University, Rostov-on-Don

Abstract

Introduction. The development of ultrasonic technology requires the creation of piezoelectric transducers with improved operational and metrological characteristics. One of the most promising directions is the use of composite materials. As shown in the literature, porous piezoceramics possess a unique property: their piezoelectric modulus d 33 is practically independent of porosity, whereas the elastic moduli noticeably decrease as porosity increases. This opens up possibilities for the design of high-performance devices, particularly composites with a polymer matrix and porous piezoelectric ceramic rods with axial polarization. However, despite the sufficient study of their static properties, theoretical analysis of the dynamic behavior of such structures, including their simplified two-dimensional models, under bending vibrations and longitudinal polarization, is virtually absent in the scientific literature. In this regard, the objective of the work is to develop a simplified mathematical model for the analysis of bending vibrations of a layered plate of the specified composite and to identify the effect of porosity on its dynamic characteristics.

Materials and Methods. The structure is made of a piezoelectric composite consisting of several layers. Each layer is 1–3 piezoelectric composite, formed by a polymer matrix and porous longitudinally polarized piezoceramic rods. The mathematical formulation of the boundary value problems is performed within the framework of the linear theory of electroelasticity. Based on Kirchhoff-Love hypotheses and assumptions regarding the electric potential distribution, an applied method for calculating steady-state bending vibrations of a layered plate is proposed. The adequacy of the approach is verified through its comparison with the results of finite element modeling implemented in the ACELAN package.

Results . The key outcome of the study was the development and successful testing of an applied theory that reduced the three-dimensional boundary-value problem of electroelasticity for layered piezoelectric elements to a simpler twodimensional formulation. This significantly reduced calculation time compared to traditional finite element methods while maintaining the required accuracy. To verify the proposed model, numerical testing was performed by comparing it with calculations in the ACELAN software package. The comparative analysis showed almost complete agreement between the results in the low-frequency range, including the precise determination of the first bending mode frequency. The obtained correspondence confirmed the high adequacy and reliability of the developed method, demonstrating its applicability as an efficient tool for the analysis and optimal design of piezoelectric devices.

Discussion. One of the key challenges in the design of layered piezoelectric transducers is the high resource intensity of three-dimensional modeling without transitioning to efficient characteristics, which significantly limits optimization possibilities. The proposed approach, based on reducing the three-dimensional problem to a two-dimensional one, represents a significant step forward in addressing this issue . Its main advantage is the reduction in computational costs and the possibility of using simpler software tools compared to “heavy” CAE packages in numerical analysis. This opens the way to multiple runs, including those employing evolutionary algorithms, in the process of searching for the optimal geometry and structure of the piezoelectric element. Validation of the model based on comparison with calculations in the ACELAN finite element package has shown a high degree of correspondence in the low-frequency region, which confirms its adequacy for practical application. At the same time, the identified limitations related to the frequency range and differences in the elastic properties of the layers outline the boundaries of applicability and set directions for subsequent research.

Conclusion . As a result of the conducted research, an efficient calculation method has been developed and tested. It reduces the three-dimensional boundary value problem of electroelasticity for layered piezoelectric elements to a twodimensional formulation. The main outcome is a significant acceleration of numerical modeling while maintaining accuracy. It is shown that the proposed theory provides high correctness of results in the low-frequency range, up to the first flexural mode, which has been confirmed by comparison with reference data from finite element analysis in ACELAN. This demonstrates the practical significance of the method as an efficient tool for the iterative search for the optimal design of converters. Prospects are opening up for its application in engineering practice when designing new types of piezoceramic devices, as well as for the further development of applied theory — in the direction of expanding the frequency range and adapting to more complex multilayer structures.

Acknowledgements. The authors would like to thank the editorial board and reviewers for their attentive attitude towards the article.

Funding Information. The research is done with the financial support from RFFI (grant no. 22–11–00302 П) at the Southern Federal University.

Введение . С целью повышения эффективности пьезоэлектрических преобразователей ведутся исследования, направленные на поиск оптимальной конфигурации устройства — его размеров, формы, схемы гальванопокрытия, способов нагружения и применяемых материалов. Несмотря на значительный объем выполненных работ, задачи определения результативных конструкций пьезоэлектрических генераторов и отбора пьезоматериалов с улучшенными характеристиками для накопителей энергии остаются актуальными. Одним из наиболее перспек- й тивных путей повышения характеристик таких преобразователей является использование пьезокомпозитных ма- 1 териалов. Наиболее известны и глубоко изучены волокнистые пьезокомпозиты, или системы 1–3-связности по терминологии Ньюнхема [1] , в которых стержневые пьезокерамические элементы вмонтированы в упругую ди- 2 электрическую матрицу. Среди многочисленных работ, посвящённых композитам 1–3-связности, следует отметить [2] , где рассмотрены приложения для гидрофонов; в [3] эффективные свойства вычислены решением краевых задач методом конечных элементов для элементарной ячейки с периодическими граничными условиями;

в [4] соответствующие коэффициенты представлены в замкнутой форме; в [5] выведены формулы на основе асимптотического усреднения, причём сопоставление с экспериментом демонстрирует хорошее согласие. Теория гомогенизации для проектирования оптимальных пьезокомпозитов применена в [6] . В исследовании [7] также получены аналитические выражения для эффективных констант при условии, что период структуры существенно меньше длины упругих волн, и предложены новые композиты с улучшенными глобальными свойствами для биомедицинской визуализации. Анализ электроупругих композитов методами самосогласования и асимптотической гомогенизации проведён в [8] . В [9] изложена теоретическая основа для проектирования пьезокомпозитов с заданными обобщёнными характеристиками. Дополнительные сведения собраны в обзоре [10] . Композиты 1–3-связности обеспечивают высокие значения ряда ключевых параметров, важных для приложений — коэффициента гидростатического пьезоэлектрического заряда, коэффициента гидростатического напряжения, коэффициента электромеханической связи по толщине, гидростатического показателя добротности и др.

Макроволокнистые композиты, изначально разработанные для авиационной отрасли, также успешно применяются в системах сбора энергии. Эти миниатюрные маломощные генераторы представляют собой тонкие балки и включают пьезоэлектрические волокна, размещённые в диэлектрической среде. Волокна интегрированы в единую многослойную структуру со встречно-штыревыми электродами на боковых поверхностях балок с обеих сторон. Цель исследования [11] — оценить влияние неопределённости физических свойств как пьезоэлектрических волокон, так и эпоксидной матрицы на отклик модели и выявить параметры, определяющие наибольшую вариабельность выходных данных. В работе [12] предложена потенциальная технология интеграции источников сбора энергии в сложные конструкции планера в аэрокосмической технике, позволяющая генерировать энергию, необходимую для мониторинга состояния окружающей среды или контролируемых конструктивных характеристик. Сравнительный анализ генераторов из монолитной и композитной пьезокерамики, проведённый в [13] , показал высокую результативность применения макроволокнистых композитов. В статье [14] представлена разработка микрогенератора на основе микрокомпозитных пьезоэлектрических материалов для рекуперации энергии в перчаточных конструкциях. Описанные устройства состоят из пьезоэлектрических волокон диаметром 90–250 мкм, выровненных в однонаправленном порядке и встроенных в композитную структуру.

Для повышения характеристик композита 1–3-связности возможно варьировать материалы пьезоэлектрических волокон и упругой диэлектрической матрицы. В частности, в качестве матрицы могут применяться пористые материалы с пониженным модулем Юнга и существенно изменяющимся коэффициентом Пуассона [2, 14] . В [15, 16] метод Мори-Танаки использован для определения эффективных модулей сперва для пористой матрицы, после чего проведён анализ композитов 1–3. При этом в [15, 16] дополнительно рассматривались варианты ориентации пор относительно направления поляризации, что, однако, трудно реализовать на практике. В [2] использованы приближения метода эффективной среды, а в [17, 18] на базе подходов из [2] выполнена топологическая оптимизация пористой структуры матрицы. В [19] проведено моделирование композита 0–3 с пьезоэлектрическими частицами в пористой матрице и показано, что применение пористой матрицы не приводит к улучшению электромеханических свойств системы 0–3. Вместе с тем коэффициенты пьезочувствительности в указанной работе не анализировались.

Другое направление модификации связано с использованием пористой пьезокерамики, которая в последние годы рассматривается как перспективный активный материал для устройств накопления энергии. По сравнению с плотной керамикой пористые материалы характеризуются сниженным акустическим импедансом, повышенной пьезочувствительностью и рядом высоких показателей качества. Так, в работе [20] исследован пьезоэлемент типа Розена, использующий продольный пьезомодуль. В [21] показано, что введение пористого слоя в многослойный элемент на основе титаната бария значительно улучшает характеристики при сборе пьезоэлектрической энергии. В экспериментальном исследовании [22] описан пьезогенератор, изготовленный с применением пористой керамики. В [23] дан обзор современного состояния и перспектив использования пористой пьезокерамики.

Настоящее исследование опирается на результаты [20, 24] и в определённой степени объединяет подходы к внедрению пористой пьезокерамики в качестве активной фазы в волокнах композита 1–3-связности и к варьированию материалов матриц с различной жёсткостью. Иными словами, рассматриваются пьезоэлектрические композиты 1–3, в которых в качестве пьезоактивного материала применяется пористая пьезокерамика.

Таким образом, анализ литературы показывает, что основные усилия исследователей сосредоточены на определении эффективных электроупругих свойств композитов 1–3-связности. Разработан широкий спектр методов — от аналитических формул до детализированных численных процедур — позволяющих с высокой точностью предсказывать гомогенизированные (усреднённые) характеристики материала в зависимости от свойств составляющих фаз: волокон и матрицы. Эти сведения, безусловно, важны, однако они описывают поведение материала в целом, а не конечного конструктивного элемента, что и является целью инженерного проектирования.

Переход от эффективных свойств к анализу динамики реальных конструкций, таких как пластины и оболочки, представляет собой самостоятельную и нетривиальную задачу. Хотя для высокоточного анализа применим метод конечных элементов (МКЭ), как это реализовано во многих программных пакетах, полноразмерное трёхмерное моделирование на этапах предварительного проектирования и оптимизации часто оказывается чрезмерно ресурсоёмким. Одновременно разработка прикладных двумерных теорий (теорий пластин и оболочек), учитывающих специфику композитов 1–3-связности (особенно при наличии пористых компонент 3–0 и 3–3-связности), позволила бы существенно упростить и ускорить вычисления, сохранив при этом достаточную для инженерных приложений точность. В научной литературе ощущается явный дефицит таких моделей, способных выступать мостом между микромеханикой материала и макромеханикой конструкции.

Цель данной работы — построение двумерной прикладной теории расчёта поперечных колебаний слоистых пластин из пьезоэлектрического композита 1–3-связности с последующей верификацией результатов, полученных по предложенной теории, путём сравнения с решением в конечно-элементном пакете ACELAN.

Материалы и методы Построение математической на основе линейной теории электроупругости и компьютерной модели многослойного преобразователя с поляризацией вдоль слоев осуществлено в конечно элементном пакете ACELAN. Компьютерная модель устройства далее используется для проверки адекватности разработанной прикладной теории.

Математическая модель

В работе рассматриваются модели пьезопреобразователей, состоящих из электроупругих композиционных материалов, свойства которых задаются эффективными константами [20, 24] . Введем индекс j для нумерации тел и запишем уравнения и определяющие соотношения [25] :

p j ю ² и + a j p j u -V- о = j V- D = 0;

a = cE-( e + в j) - eT- E; E = -V9; (1) D + j d D = e j (e + j dE) + э S ■ E; e = (Vu + Vu T ) / 2, где σ — тензор напряжений; ρj — плотность тела; ε — тензор деформаций; u — вектор перемещений; D — вектор электрической индукции; E— вектор напряженности электрического поля; fj — вектор массовых сил; φ — электрический потенциал; α, β, ς, βdj, ςd — коэффициенты демпфирования; cEj , eTj , эSj — тензоры упругих констант, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей, индекс j отвечает номеру тела в модели.

К системе (1) добавляются соответствующие механические и электрические граничные условия. В частности, на электродах задается значение электрического потенциала φ, на неэлектродированной части поверхности условие отсутствия зарядов т.е. равенство нулю нормальной компоненты вектора электрической индукции D . В случае свободного электрода S E потенциал V 0 на нем неизвестен и находится из дополнительного условия:

j D n ds = 0. (2)

SE

Это же условие ставится при нахождении частот антирезонанса.

Для анализа эффективности устройства используются значения выходного электрического потенциала, механические напряжения и коэффициент электромеханической связи (КЭМС), который рассчитывается по формуле: k = j 1 - ( fr/fa ) ² ,                                                 (3)

где f r и f a — частоты резонанса и антирезонанса соответственно.

Расчет коэффициентов затухания при вычислении выходного потенциала на резонансных частотах проводился с использованием подхода [25], для которого предполагалось постоянное значение добротности Q на пер- вых двух резонансных частотах:

_a =   ^{2 n} f r 1 f r 2— e j            ¹.

d Q ( f Г 1 + f Г 2 )    ^Pd        2 n Q ( f Г i + f Г 2 )

В качестве таких резонансных частот выбираются рабочие частоты ( f r 1 ) и следующие ближайшие к ним ( f r 2 ). Для рассматриваемых конструкций рабочей частотой является первая изгибная мода.

При моделировании пористых композитов использовались эффективные модули, полученные для пористой пьезокерамики PZT-4 методом осреднения [20, 26] в пакете ACELAN-COMPOS. Данные были получены для материалов с пористостью до 80 %. Используемые в численных экспериментах эффективные модули приведены в таблице 1.

Механика

Таблица 1

Эффективные модули пористой керамики [20]

Рис. 1. Примеры представительных объемов со связностью 1–3, построенных в комплексе ACELAN-COMPOS

Пористость, %	0	10	20	30	40	50	60	70	80
ρ, кг/м3	7500	6750	6000	5250	4500	3750	3000	2250	1500
c 1 E 1 , ГПа	139	115,6	92,5	68,5	50,5	33,4	20,7	12,6	6,8
c 1 E 2 , ГПа	77,8	61,5	46,6	31,4	21	11,6	6,2	2,8	1,3
c 1 E 3 , ГПа	74,3	58,2	42,5	28,2	18,7	10,6	5,2	2,4	1
c 3 E 3 , ГПа	115	95,3	72,3	54,2	39,1	27,2	16,3	9,1	4,7
c 4 E 4 , ГПа	25,6	22,3	18,3	14,4	11	7,4	4,4	2,3	1
e 31 , Кл/м2	–5,2	–4,23	–3,14	–2,07	–1,32	–0,75	–0,43	–0,21	–0,1
e 33 , Кл/м2	15,1	13,38	11,37	9,59	7,68	5,93	3,93	2,3	1,25
e 15 , Кл/м2	12,7	10,96	8,96	6,91	5	3,3	1,95	1	0,44
э 1 S 1 / ε 0	730	663	582	509	439	349	263	191	122
э 3 S 3 / ε 0	635	567	492	413	345	270	199	130	75

При моделировании композита связности 1–3 (рис. 1) эффективные свойства (таблицы 2, 3) взяты из работы [24] .

Таблица 2

Процент пористости	0	10	20	30	40	50	60	70	80
ρ , кг/м3	5250	5060	4880	4690	4500	4310	4130	3940	3750
c 1 E 1 eff, 1010, Н/м2	6,36	6,12	5,83	5,44	5,05	4,54	4,05	3,63	3,27
c 1 E 2 eff , 1010, Н/м2	2,77	2,66	2,52	2,31	2,09	1,8	1,53	1,28	1,09
c 1 E 3 eff , 1010, Н/м2	2,82	2,67	2,48	2,25	2,03	1,78	1,54	1,36	1,22
c 3 E 3 eff, 1010, Н/м2	6,22	5,89	5,51	5,12	4,76	4,43	4,08	3,83	3,67
c 4 E 4 eff, 1010, Н/м2	1,64	1,58	1,51	1,43	1,35	1,25	1,16	1,08	1,02
e 3 e 3 ff , Кл/м2	–1,3	–1,05	–0,785	–0,523	–0,33	–0,185	–0,108	–0,053	–0,025
e 3 e 1 ff , Кл/м2	3,77	3,35	2,86	2,4	1,93	1,49	0,972	0,58	0,31
e 3 e 1 ff , Кл/м2	3,66	3,26	2,81	2,31	1,83	1,3	0,845	0,465	0,221
S eff э 11    / ε 0	51,4	46,5	40,7	35,2	30,1	24,1	18,3	13,1	8,61
S eff э 33    / ε 0	159	142	124	104	86,9	68,2	50,5	33,2	19,5

Таблица 3

Материальные свойства композита 1–3 с матрицей 2

Процент пористости	0	10	20	30	40	50	60	70	80
ρ , кг/м3	3000	2810	2630	2440	2250	2060	1880	1690	1500
c 1 E 1 eff, 1010, Н/м2	1,15	1,13	1,1	1,06	1,02	0,956	0,882	0,796	0,685
c 1 E 2 eff, 1010, Н/м2	0,237	0,233	0,228	0,222	0,214	0,202	0,186	0,158	0,133
c 1 E 3 eff , 1010, Н/м2	0,332	0,315	0,294	0,269	0,246	0,219	0,184	0,155	0,125
c 3 E 3 eff, 1010, Н/м2	2,25	2,03	1,78	1,54	1,32	1,12	0,904	0,74	0,632
c 4 E 4 eff, 1010, Н/м2	0,425	0,415	0,403	0,388	0,369	0,341	0,304	0,261	0,219
e 3 e 3 ff , Кл/м2	–1,3	–1,05	–0,785	–0,523	–0,33	–0,185	–0,108	–0,053	–0,025
e 3 e 1 ff , Кл/м2	3,77	3,35	2,86	2,39	1,93	1,49	0,972	0,58	0,31
e 3 e 1 ff , Кл/м2	1,44	1,35	1,24	1,1	0,959	0,783	0,591	0,381	0,209
S eff э 11    / ε 0	14,1	12,9	11,5	10,1	8,9	7,39	5,93	4,62	3,47
S eff э 33    / ε 0	159	142	123	104	86,9	68,2	50,5	33,2	19,5

Конструкции слоистой пластины и конечноэлементная модель

Рассматривается пьезоэлемент представляющий собой слоистую пластину (рис. 2), в которой каждый слой является пьезокомпозитом 1–3 связности, причем пьезокерамические стержни (отмечены черными кружочками на рис. 2) выполнены из пористой пьезокерамики. Примечательно, что два симметричных относительно срединной поверхности слоя имеют встречную продольную поляризацию.

Рис. 2. Конструкции слоистой пластины

В случае, когда пьезоэлемент состоит из двух слоев, построена его конечно элементная модель. На рис. 3 а представлена геометрическая модель с двумя противоположно поляризованными слоями (красный и желтый цвета), а на рис. 3 б — сетка треугольных квадратичных конечных элементов (1350 конечных элементов, 2839 узел).

Механика

Построенная в этом пункте конечно-элементная модель использовалась при проверке адекватности прикладной теории в расчетах в следующих пунктах.

Рис. 3. Двухслойны пьезоэлемент: а — геометрическая модель; б — конечноэлементная сетка

Результаты исследования

Построение прикладной теории расчета поперечных колебаний слоистой конструкции с поляризацией слоев в плоскости пластины.

Прикладная теория изгибных колебаний рассматриваемой пластины, состоящей из четырех слоев, в которой верхний и нижний слои изотропны (толщиной H с коэффициентами Ламе λ, μ), а внутренние электроупругие толщиной h строится на основе гипотез типа Кирхгоффа-Лява. Первая гипотеза заключается в равенстве нулю нормальных напряжений во всем объеме пластины σ 11 = 0, что позволяет выразить продольные деформации:

e 31 |^ф ( x,y^,z ) + c 12 ^e 22 + c 13 ^e 33

£ 11 =-- ^{d z}-------------------------------.                                            (5)

c 11

Вторая гипотеза показывает распределение компонент вектора перемещений и электрического потенциала имеет вид:

u 1 ( x,y,z ) = UX ( y,z ) , u 2 (x,y,z) = -

x , u 3 (x,y,z) =

x ,

ф ( x,y,z ) = Ф ( y,z ) , 8 22

Id ²            1

-I ^UX ( y^,z ) I ^x , ⁸ 33

5 y ²

^UX ( y-z )

Материальные свойства композита 1–3 с матрицей 1

где UX ( y , z ) — прогиб срединной поверхности, x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z .

Учет соотношений (5) и (6) в системе (1) в случае установившихся колебаний с круговой частотой ω приводит к системе уравнений относительно двух неизвестных функций Φ(y, z), UX(y, z).

—

¹ 1 2 e_

x

x

к

x

—

d

д z d y

+

—

+

2 c 12 e 31

c 11

к

1 ( 2 c 122

к

—

к

+

c ₁₁

—

1 _h 2

—

2 e 15

к

¹ h + H

^^^^^^B

1 _h 2

x

^ф ( y^,z )

—

—

—

2 c 11

к

—

2 c 13 e 31

c 11

к

2 c 13 e 31

c ₁₁

^{+ 2} e 33

¹ h + H

3 Ц h + 3 c 44

—

^{+ 2} e 33

— ¹ h ²

— ¹ h ²

к

x

к

д 3     ,        1

тг ^{ф (} y^,z ) | ⁺ д z ³            7

1 _h 3

к

—

— 2 X — 4 ц +

2 X ²

X + 2 ц

h ³

x

—

1 _h 3

к

—

² | ² c 12 c 13

—

¹ h + H

1 I 2 c ²

—

— ¹ h ³

к

2 X

—

12 I X + 2 ц

2 X | h ³

c 11

2 c ₁₃

x

д ⁴

д z 2 d y

UX(y,z) | +

c 11

—

2 c ₃₃

к

x

¹ h + H

kTT UX ( y,z ) д z ⁴

—

I д

■² g 11 1 тг^ф ( y^,z ) | ⁺ кд y 2         7

c 12 e 31

—

—

1 _h 3

к

—

— 2 X — 4 ц +

2 X ²

к

X + 2 ц

h ³

x

ro ² p hUX ( y,z ) — p ( y,z ) = 0 .

2 e

—

—

c ₁₁

2 g ₃₃

4г^{ф (} y^,z ) I ⁺ о z ²           7

H

c 11

2 e 15

—

e 31

+--

H

— ¹ h ²

к

к

д z d y

UX ( y,z ) | +

c 13 e 31

c ₁₁

—

e ₃₃

—

1 _h 2

к

к

—^UX ( y,z ) | = 0. д z ³              7

Изгибающие моменты и перерезывающие силы имеют вид:

M ₂₂

—

—

—

X + 2 ц

M

2 X

к

— 2 c 13

+

M ₃₃

к ^UX ( У^,z ) д z ²

—

2 X — UX ( y,z )

дz2      '    '

х

к ^UX ( у,г ) | ^{— 2} c 11 Уу UX ( у,г ) д z ²             у I д у ²

2 c 12 e 31

—

2 e 31

—

c 11

с

—

—

+—

^{— 2} c 13

к

X + 2 ц

+—

2 X

к

1 _h 3

у

+

у

X

¹ h ² .

к UX ( y,z ) д z

л

у

—

I a2                    1                          i

-2     UX(y,z) X — 2(X + 2ц)     UX(y,z) h3 + кду2      ' J '        21дz2      ' JI

—

к

с

— 2 c ,

c 11

к

^ UX ( ^^z )

2 c 13 e 31

—

23 = 7^ц 6

^Q 2 = 1 Ц

^— e 15

X + 2 ц

2 X

к

² c 13

—

д ³

д z 2 д у

c 11

^{+ 2} e 33

—

UX ( y^,z ) д z ²

л

к

¹ h ² .

X

у

—

—

1 _h 3

—

л

у

+

X

¹ h ² .

—

1 h ³

X

у

+

X

^{UX (} y,^z ) I h ³ +-|   ₂

у       3 к д z 2

д

■ ду

UX ( y,z ) I c

к

^^^в

1 _h 3

—

у

— — 2 c ,

к

c 11

д ³

д z ² д у

1 _h 2

д

д z 2 д у

—

i а³

-2 ( X + 2^I —UX ( y,z ) кд у ³

UX ( y,z )

—

д ³

—

2 X

д ³

д z 2 д у

^UX ( y^,z ) I I ^h

—

д z 2 д у

UX ( y,z )

—

^UX ( у^,г ) j^{— 2} c ii ^д у т ^UX ( у^,г )

д

² e 31|тг^ф ( у^,г ) кд z д у

2 c ₁₂ e ₃₁

—

к^ф( у,² ) д z д у

X

—

1 _h 3

—

у

c ₁₁

к

к

у

¹ h = H

X

—

¹ h ² .

у

Механика

Q 3 =

-

-

2 c ₁₃

f

-

-

\

- 2

X + 2 ц

д ³

д z д y

- — 2 c 1

\

c 11

д ³

\

д z д y

2 X

-

-

д ³

д z д y

д ³

л

д z д y

UX ( y,z ) |X-X

Л³             J J

UX ( y,z ) | h ³ д z ³               11

-

л

-

^UX ( y^,z ) l c 12 ^- c 13

UX ( y,z ) l- 2 c

² c 13 e 31 I „2

-

c 11

^{+ 2} e 33

-

-

1 _h

-

\

1 _h 2

+

⁺ 6 ^Ц

д ³

д z д y

UX ( y,z ) l h ³

+ —

д ³

3 \д z д y

^UX ( y^,z ) | c 44 I ^{1 h} + H J      \ ²

-

1 _h 3

-

\

^- e 15

- h ² .

Для случая панели, состоящей из двух внутренних слоев (рис. 2 и 3 а), второе уравнение системы (7) приво- дится к виду:

1 ^f c^ - e 33 ¹ h ^f dL _ux ( z )H-< — g 33 |ф ( z ) ₊ c 1 z ₊ c ₂ = o,

4 \ c 11 JI dz 7 \ c 11        7

из которого выражается электрический потенциал:

, ( ^{- c} 11 ^e 33 ^h + ^c 13 ^e 31 ^h ) | d ^UX ( ^z ) l

Ф ( z ) =--\ dz —⁷

^g 33 ^c 11 ^{+ e} 31

+

1 4 C 1 c 11 z + 4 C ₂ c 11

⁴     g 33 ^c 11 ⁺ e 321

После этого первое уравнение (7) приводится к виду:

f 1 f 2 c 23

\ 24 \ C 11

- 2 c ₃₃ | h ³

J__¹_____ ^f- ^{2 c} 13 ^e 31

^{32 c} 11 g 33 + ^e 3²1 \\     c 11

^{+ 2} e 33

^{h 2} ( ^{- c} 11 ^e 33 ^h + ^c 13 ^e 31 ^h ) l I^х

( ⁴ J xf dS UX ( z )J

-ro ² p hUX ( z ) - p ( z ) = 0 .

Система уравнение (7) в общем случае решается численно, тогда как уравнение (10) может быть решено аналитически.

Проверка адекватности предложенного метода на основе сравнения результатов с расчетами в пакете ACELAN

В качестве проверки применимости предложенной прикладной теории решаются две задачи для двухслойной панели: определение первой резонансной частоты изгибной моды и задача об установившихся колебаниях на частоте 200 Гц под действием равномерно распределенной нагрузки на верхней плоскости пластины с амплитудой 1000 Па. При этом длина пластины — 0,1 м, толщина каждого слоя — 0,0025 м, материал — PZT-4. Пластина закреплена на левом конце и шарнирно оперта на правом (рис. 3 а ).

Собственная резонансная частота первой изгибной моды (рис. 4) в расчете в пакете ACELAN оказалась равной 1348,68 Гц, расчет по прикладной теории —1360 Гц, т.е. погрешность составляет 0,8 %.

Расчет вынужденных колебаний показал следующие результаты: на рис. 4 представлено распределение вертикальных смещений на деформированной пластине.

Рис. 4. Распределение вертикального смещения на частоте 200 Гц

На рис. 5 представлены графики прогиба серединной поверхности пластины.

а)

Рис. 5. Прогиб пластины: а — ACELAN; б — прикладная теория уравнения (8)–(10)

б)

На рис. 6 и 7 представлены аналогичные результаты для горизонтального смещения, а на рис. 8 и 9 — для электрического потенциала.

Рис. 6. Распределение горизонтального смещения на частоте 200 Гц

Механика

а)

б)

Рис. 7. Горизонтальное смещение на поверхности пластины: а — ACELAN; б — прикладная теория

Рис. 8. Распределение электрического потенциала на частоте 200 Гц

а)

Рис. 9. Электрический потенциал в пластине: а — ACELAN; б — прикладная теория

Обсуждение. Ключевым результатом настоящей работы является прикладная двумерная теория и демонстрация высокой степени соответствия между полученными на её основе решениями и данными моделирования в конечно-элементном пакете ACELAN. Отклонение в расчёте первой резонансной частоты составило всего 0,8 %, что более чем достаточно для инженерных приложений. Визуальное и количественное сопоставление графиков прогибов, горизонтальных смещений и распределения электрического потенциала при вынужденных колебаниях также показывает их практически полное совпадение (рис. 5, 7, 9), что подтверждает адекватность предложенной модели в рассматриваемом диапазоне частот.

Основная область применения разработанной теории — низкочастотный диапазон; геометрия конструкции — тонкие пластины; диапазон вариации материальных параметров слоёв — относительно небольшой. Для более широких интервалов свойств при построении прикладной теории потребуется учитывать ломаную нормаль и использовать более высокий порядок аппроксимации характеристик механического и электрического полей по толщине конструкции.

Предложенная теория позволяет избежать ресурсоёмкого трёхмерного моделирования на этапах предварительного проектирования. Практическая значимость результатов заключается в создании эффективного и быстрого инструмента для инженеров и исследователей: вместо длительных расчётов в «тяжёлых» CAE-пакетах могут применяться аналитические или численно-аналитические решения уравнений (7)–(10) для оперативной оценки динамических характеристик, проведения параметрических исследований и оптимизации конструкций пьезоэлектрических преобразователей, сенсоров и устройств сбора энергии.

Заключение. В рамках исследования успешно решена задача построения и верификации прикладной двумерной теории для расчёта поперечных колебаний слоистых пластин из пьезокомпозита 1–3 связности с пористыми пьезоактивными элементами 3–0 и 3–3 связности.

Разработана математическая модель на основе гипотез Кирхгофа-Лява, описывающая динамическое поведение тонкой слоистой электроупругой пластины со встречной продольной поляризацией слоёв.