Приложение двойных интегралов

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле

Jp(^^)^^      „ „

s          , то двойной интеграл равен площади            области            интегрирования            R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде аг№

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой

Л = J J dxdy.

Рис.1

Рис.2

Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

М1л^уИ-

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями

I x = й, x = b, y=h(y, ^ = g(x)

, объем тела равен

»st”) ^JJVl^)¹³^ J J /^,y)dydx.

Для области R типа II, ограниченной графиками функций y=c, y = d, x = q$, x=p(y)

, объем соответственно равен d #0)

r = jj/(x,_iy)tti = J J y.x,y")dxdy. S                C X?)

Если в области R выполняется неравенство              , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен

^■fJ^fM-st1^)]^

Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные 3x и области R.

Ф7

непрерывны всюду в

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть    S    является    областью,    ограниченной    линиями

8 = a, 8 = p, r=h^Y r=g(8)

(рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

^s(.e)

dM = J J rdrd8.

s « 6(e)

Рис. 3

2 = fV^

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью         с основанием S, выражается в полярных координатах в виде F = JJf(x,8)xdrd8.

Пример

2     2

у = a - ах, у = a + x

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями

Решение.

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

у2 = а2 - ах у = а + х

^а +    = д - ах, а2 + 2ах + х2 = а2 -ах, х2 + Зах = О,

^(л: + 3а) = О,

^₂ = О, - За.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

I Xj = О, ^ = а + О = а, л₂ = -За, у₂ = а - За = -2а.

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

у2 = а2 - ах => ах=а2-у2 или х = а-—, а у = а + х => х = у - а.

Получаем

Физические приложения двойных интегралов

Масса и статические моменты пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна       . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

™ = Л/?(х,^)йМ.

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

M^ = jp^(x,.y)aL4

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости /2 (л, у)

Oxy с плотностью, распределенной по закону       , описываются формулами

м 1 „ fJM^)"

¹ - — - “Я ^P^.yW - Tf-T--г--.

м 1 „       /М^.^)^

^ ⁼ —- ⁼ — (Гу^Х,^)^ = -4г;--------

Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией

Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

C’fpfM^

Среднее значение функции

Приведем также формулу для расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой

^■^If/tv)^- где S - площадь области интегрирования R.

Пример

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми х+у =1, х = 0, .у = 0                                        Р^,У) = ?У

(рисунок 2) и имеющего плотность          .

Решение.

Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox.

Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.