Приложение криволинейных интегралов

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

• •     Длина кривой;

• •     Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;

• •     Объем тела, образованного вращением замкнутой  кривой

относительно некоторой оси.

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая r (z), cx

описывается вектором            . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

~ /at _____ „ -W. М z^ ____ _____„ где     - производная, а              - компоненты векторной функции

^)

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной v = /Uj и дифференцируемой функции        в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением r=r(8), a<8

, и функция        является непрерывной и

[^, £] дифференцируемой в интервале      , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

£ = ^xdy = -ф,уд?х = — sdy -ydx.

c c ^ c

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой

стрелки.

, то

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде площадь соответствующей области равна

Рис.1

Рис.2

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

Физические приложения криволинейных интегралов С помощью криволинейных интегралов вычисляются

Масса кривой;

Центр масс и моменты инерции кривой;

Работа при перемещении тела в силовом поле;

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции

, то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как

или в параметрической форме

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

^ = J^t^,^^)^, М_ш = J^/?(x,y,z)^s, М^ = ^zp(x,y,z)ds с                        с                        с

-     так     называемые     моменты     первого     порядка.

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами ^ ⁼ /(У + z²)p(x,y,z)ds, с

I, =    +?'^p^,y,zx)ds,

с

4 = J(^ + /)р(^,^)^-с

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле F вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

W = \F'dr,

с где F - сила, действующая на тело, dr - единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение F-dr означает скалярное произведение векторов                               Fи                               dr .

Заметим, что силовое поле F не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы F иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

F = ^P^,y,zyQ^,y,zYR^,y,z'1)y то работа поля вычисляется по формуле

W = [F ■ dr = [Pdx + Qdy + Rdz.

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

W = [F-dr =[Pdx + Qdy, c c

F = [P(x,y),Q(x,yY

Где

Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле F потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой где

- потенциал поля.

Рис.1

Рис.2

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией В вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

д0                                                  1.26x10

где - магнитная проницаемость ваккуума, равная        Н/м.

Закон Фарадея

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).

массу форму

A(1,1) до от

Рис.3

точки

Масса

Пример

Определить проволоки, имеющей отрезка B(2,4).

р^х,у) = Зх + 2у распределена вдоль отрезка с плотностью

.

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой

_ УУл хУа УУл ' х-1у-1

=> ----= -= 1,

2-1 4-1 х -1 у -1 => ----=----= t или

\ = Z +1

AB.

^ = ^ + Г где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна