Приложение вариационно-разностного метода к расчету продольно-поперечного изгиба пластин силами инерции

Разработан вариационно-разностный метод расчета устойчивости тонких пластин на инерционные нагрузки, действующие в базисной плоскости. Краевая задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел. При этом формируются матрицы: первая - матрица жесткости - основана на бигармоническом уравнении С. Жермен, а вторая матрица представляет изменения внутренних напряжений или внутренних усилий, возникающих в пластине. Приложение метода конечных разностей к дифференциальной постановке задачи показало следующее. Матрица жесткости всегда симметричная и положительно определена для закрепленной пластины. Вторая матрица - матрица внутренних усилий при аппроксимации производных функций с применением центральных разностей, от действий сил инерции формируется несимметричной относительно главной диагонали, также могут вырождаться и строки этой матрицы - такова особенность инерционных нагрузок. Несмотря на возможность формирования систем уравнений методом конечных разностей больших размерностей, возникают определенные трудности, если пластина имеет свободные края; следует исключать второй ряд законтурных узлов сетки, что усложняет процедуру вычислений, особенно в углах пластины, внешних и внутренних. Поэтому выполнен переход от дифференциальной формулировки задачи к интегральной формулировке с дискретизацией вариационно-разностным методом. При этом подходе при формировании матрицы жесткости на свободных краях не возникает второго ряда законтурных узлов, в углах не возникают дополнительные узлы сетки; матрица внутренних усилий всегда симметрична - такова особенность приложения интегрального подхода. Матрица внутренних усилий может быть плохо обусловленной, однако этот фактор не влияет на решение задачи определения собственных чисел. В литературе приведено множество теоретических исследований и решений практических задач расчета устойчивости конструкций, в том числе и по расчету продольно-поперечного изгиба тонких пластин. Однако в большей мере это задачи, имеющие положительно определенные операторы. Здесь выполнена определенная поисковая и исследовательская работа приложения вариационно-разностного метода к расчету устойчивости конструкций на различные нагрузки. Дифференциальная формулировка краевой задачи преобразована в вариационную формулировку; приведены критерии устойчивости и решены вопросы аппроксимации дифференциальных операторов для дискретной задачи с конечным числом переменных. Разработаны алгоритмы для математической системы Maple и составлены программы расчета. Приведены два примера расчета пластин. Рассмотрена пластина, жестко закрепленная по всем сторонам; действующие силы инерции изменяются по линейному закону. Также рассмотрена пластина, жестко закрепленная по одной стороне, а по трем другим сторонам пластина свободна от закреплений. Получены значения критических ускорений. Цель - разработать метод расчета пластин на инерционные нагрузки.