Приложения математики в экономике

Экономика, как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует практически весь аппарат прикладной математики.

Рассмотрим примеры использования функций в области экономики.

Пример 1 . Кривые спроса и предложения. Точка равновесия.

Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложения S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой:

D = P a + c,                            (1)

где a <  0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

5 = P + d ,                           (2)

где b >  1. В формулах (1) и (2) с и d - так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (1) и (2), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением

D ( P ) = 5 ( P ) (3) и соответствует точке пересечения кривых D и S – это так называемая точка равновесия. Цена P , при которой выполнено условие (3), называется равновесной . При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (1), точка равновесия смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S .

Приведем пример предельных показателей в микроэкономике.

Пример 2. Этот пример связан с зависимостью себестоимости C произведенной продукции от ее объема Q: C = f (Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестоимость A C прироста продукции AQ:

MC = — A Q

.

В предположении о непрерывной зависимости AC от AQ естественно напрашивается замена разностного отношения в (4) его пределом:

АГ     ,  .

MC « Иш — = C‘(Q).

A Q ^ 0 A Q     ^v  ’

Обычно в приложениях с использованием математики под предельной себестоимостью понимают именно величину (5).

Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой

C = 40 Q - 0,03 Q ³ ден. ед.

Определим средние и предельные издержки при объеме продукции Q = 15 ден.

ед.

• А) Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле C = C / Q , или в нашем случае

C = 40 - 0,03 Q ², откуда C ( 15 ) = 40 - 0,03 - 225 = 33,25 ден. ед.

Б) Предельные издержки определяются, согласно (5), по формуле C ‘ = 40 - 0,09Q2, откуда при Q = 15 получаем C‘(15) = 19,75 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек.

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса . Пусть D = f ( P ) - функция спроса от цены товара P .

Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении товара на 1%:

A D / D - 100% д р / p - 100%.

В случае непрерывной зависимости A D от A Q удобно перейти к пределу при

A P ^ 0:

E ( D ) = PDP .                   (7)

^v '    D ( P )

Заметим, что поскольку функция D ( P ) убывающая, то D ‘ ( P <  0 ) , а тогда согласно формуле (7) и E ( D ) <  0. Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E ( S ) >  0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины \Е ( D )|:

• а)    если Е ( D )| >  1 ( ^Е ( ^D ) < - 1), то спрос считается эластичным;

• б)    если | Е ( D )| = 1 ( Е ( D ) = - 1), то спрос нейтрален;

• в)    если | Е ( D )| <  1 ( ^Е ( ^D ) > - 1), то спрос неэластичный.

Пример 3. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение: Выручка I равна произведению цены P на товар на величину спроса D :

I ( P ) = D ( P )• P.

Найдем производную этой функции:

I ‘( P ) = D (P) + P • D ‘( P).                    (8)

Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше с учетом формулы (7).

• 1)    Е ( D ) <- 1; тогда, подставляя (7) в это неравенство, получаем, что правая часть уравнения (8) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены P ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку.

• 2)    Е ( D ) = - 1. Из (7) следует, что правая часть (8) равна нулю, т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

• 3)    Е ( D ) >- 1. Тогда I ‘ ( P ) > 0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены P на товар не влияет на выручку.