Применение дифференциального исчисления в экономике

В данный период времени в большинстве стран мира преобладает рыночная экономика, вследствие этого с каждым годом все больше возрастает роль математического инструментария в экономическом анализе. Вопрос, связанный с применением математических методов в экономической сфере деятельности человека является актуальным в наши дни. В данной статье мы рассмотрим интересующий нас вопрос на примере дифференциального исчисления.

Принято считать, что дифференциальное исчисление как новый метод математического анализа зародился еще в XVII веке, в частности, в трудах таких ученых, как Исаак Ньютон и Вильгельм Лейбниц, которых по праву называют родоначальниками данного метода. Разработка данного метода базировалась на основе двух ключевых задач, а именно:

• -    нахождение касательной к произвольной линии;

• -    нахождение скорости при произвольном законе движения.

Понятие производной встречалось и ранее. Например, в работе «Nuova scienza» («Новая наука») 1537 г. итальянского математика Никколо Тартальи применялась касательная в ходе изучения вопроса об оптимальном угле наклона орудия, при которой можно было достичь наибольшую дальность полета снаряда. Считаем возможным говорить о том, что данная работа стала своеобразной точкой начала для метода дифференциального исчисления.

В XVII веке французским математиком Франсуа Лопиталем был опубликован первый в мире курс дифференциального исчисления. Иные трактовки встречались в работах Жиля Роберваля, Рене Декарта, Джеймса Грегори. Также значительный вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Леонард Эйлер, Луи Лагранж, Фридрих Гаусс. Стоит отметить, что привычный для нас термин «производная функции» ввел российский математик Василий Иванович Висковатов, переведя на русский язык соответствующее понятие, которое использовал Луи Лагранж.

Интересующий нас математический метод имеет широкое применение в области экономического анализа и развития экономики в целом. Выявление объективных закономерностей изменения экономических величин, представленных в виде функций, является основной целью экономического анализа. Каким образом будет изменяться тот или иной макроэкономический или же микроэкономический показатель при неизменном состоянии других нематематических факторов, влияющих на экономику? Чтобы ответить на подобные вопросы необходимо построить график функции, отражающий зависимость искомых переменных, которые далее изучаются при помощи методов дифференциального исчисления.

Практическое значение экономики заключается в том, чтобы найти наиболее оптимальное значение показателя для определенной сложившейся ситуации. При этом особое внимание следует уделить использованию формул дифференцирования в соотношение среднего и предельного дохода при монопольном и конкурентном рынке.

Например, как же мы можем добиться максимальной прибыли при производстве нефтепродуктов в условиях тенденции снижения цены на нефть? Каждый показатель можно представить, как функцию от одного или более аргументов, следовательно, нахождение экстремума функции приведет к нахождению оптимального значения показателя, чего мы и добиваемся.

Предлагаем рассмотреть экономический смысл дифференциального исчисления на примере некоторых экономических показателей, а именно на примере издержек производства и эластичности.

Под издержками производства понимаются расходы фирмы по производству различной продукции [1; 352]. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть Δх-прирост продукции, тогда Δу–приращение издержек производства на единицу продукции. Предельные издержки производства, характеризующие приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции, можно выразить при помощи производной y'=

lim

A x ^ 0 ^

^{A y} )

Ax v

[2; 62].

Применение дифференциального исчисления для исследования экономических объектов и процессов на основе анализа их предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора [2; 87]. Стоит учитывать, что по ряду определенных причин, таких как дискретность экономических показателей по времени, а также неразрывность многих экономических объектов, мы не сможем эффективно использовать метод предельного анализа, но существуют случаи, где есть возможность не учитывать данные показатели.

Также метод дифференциального исчисления применяется в нахождении эластичности через эластичность функции. Под эластичностью понимается степень реакции одной экономической величины на изменение другой [1;   803]. Например, эластичность спроса характеризует чувствительность покупателей и гибкость изменения цен по отношению к динамике внешней рыночной среды.

Эластичностью функции E_x(y) называется предел относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при

Д х ^ О .

^z A y A x ^   x _v  A y  x .

E ( y ) = lim xV ) A x ^01   y

X

—•— = — lim —— = — • y y Ax ^0 Ax  y x )

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной х на 1% [2; 196].

Эластичность функции в экономике может выступать в качестве инструмента для анализа спроса и потребления. Таким образом, E_x(y) является коэффициентом эластичности спроса при цене x и величине спроса у и показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода покупателей на 1%.

Применение дифференциального исчисления в экономической науке обширно. Оно является основным инструментом экономического анализа, с помощью которого возможно решать ряд важных экономических задач оптимизационного характера, а также выразить ряд экономических законов. Из вышесказанного следует, что дифференциальному исчислению отводиться важное место в экономическом анализе.