Применение дифференциальных моделей в экологии
Автор: Агулова Е.С.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 6 (24), 2017 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена применению дифференциальных моделей в различных сферах экологии.
Дифференциальные модели, дифференциальные уравнение, экология
Короткий адрес: https://sciup.org/140271878
IDR: 140271878
Текст научной статьи Применение дифференциальных моделей в экологии
В процессе построения дифференциальных моделей важное, а подчас и первенствующее значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Для того, чтобы продемонстрировать как дифференциальные модели применяются в экологии, приведем пример задачи [1].
При обходе заповедника егерь увидел тушу убитого медведя. Совершая осмотр, стало ясным, что медведь был убит точным выстрелом браконьера. Неподалеку был задержан человек, но для того, чтобы понять является ли он убийцей надо выяснить время , когда была убита жертва.
Эту задачу можно решить с помощью закона излучения тепла. Согласно его формулировке скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. В том случае, когда температура воздуха меняется со временем, закон охлаждения тела запишется в виде линейного неоднородного дифференциального уравнения
dy
+ ку = kb(t), dt где b (t) - температура воздуха в момент времени t.
Предположим, что в момент задержания подозреваемого температура туши медведя составляла 300С. Пусть также неизвестно, что в день происшествия температура воздуха падала в течение каждого часа после полудня на 1 о Сив момент обнаружения туши равна 0 о С. Предположим, что через час после обнаружения температура туши стала составлять 25 о С, а температура воздуха понизилась до -1 о С. Примем за момент выстрела t = 0 и будем считать, что температура медведя в момент выстрела равна у0 =37 о С. Время обнаружения убитого медведя t = t1 ,тогда b(t) = t1 — t.
Интегрируя уравнение (1), получим
y = (yo — t — ^e-kt + t1 — t + 1.
Зная, что при t 1 = t у = 30 и при t 1 + 1 = t у = 25 получим соотношения
(37 —t1—i)e-^'1+i=30,
(37 — tt — 1) e-k(ti+1) +1 = 26, к к
Выведем уравнение относительно k
(30-1)e-k-26 + 1 = 0.(2)
Решим задачу численно, для этого воспользуемся методом Ньютона.
Приведем уравнение (2) к виду
30k - 1 + (1 - 26к)ек = 0,(3)
последние уравнение -это уравнение вида
(ак + Ь)е“к + ск + d = 0.(4)
В нашем случае а = -26, b = 1, с = 30, а = 1, d = -1, опираясь на табличные данные [1], получим, что медведь был убит приблизительно за 1 час и 12 минут до его обнаружения.
Список литературы Применение дифференциальных моделей в экологии
- Дифференциальные уравнения в приложениях/В.В. Амелькин // Наука. - 1987