Применение граничных двухсеточных элементов в расчетах трехмерных композитных балок

Краткая суть ДвКЭ V первого типа [4, 5] формы прямоугольного параллелепипеда состоит в следующем. Для построения ДвКЭ используем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Базовое разбиение ДвКЭ V состоит из конечных элементов (КЭ) V h первого порядка формы куба [2], которое учитывает его неоднородную структуру по микроподходу [6] и порождает мелкую сетку. Отметим, что при построении КЭ V h используются уравнения трехмерной задачи упругости. На базовом разбиении ДвКЭ V определяем в матричной форме функционал полной потенциальной энергии, который зависит от узловых неизвестных мелкой сетки. На мелкой сетке определяем крупную сетку. С помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке, узловые неизвестные мелкой сетки в функционале потенциальной энергии ДвКЭ V выражаем через узловые неизвестные крупной сетки. В результате функционал потенциальной энергии ДвКЭ V представляется через узловые неизвестные крупной сетки. Минимизируя функционал энергии по узловым перемещениям крупной сетки, получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил ДвКЭ V (первого типа).

В данной работе на базе ДвКЭ V первого типа разработана процедура построения граничных двухсеточных элементов для трехмерных композитных балок, имеющих сложный характер закрепления. Основные положения предлагаемой процедуры рассмотрим на примере граничного ДвКЭ V формы прямоугольного параллелепипеда. Область ДвКЭ V представляем двумя областями V1 , V2 формы прямоугольного параллелепипеда, причем  V1 с V2, где Ve = V + V2, Ve - область ДвКЭ. При этом область V1 имеет границу, совпадающую с границей крепления балки, область V2 не имеет закрепленных границ. Области V1 , V2 представляем базовым разбиением, состоящим из КЭ V h первого порядка формы куба, которое учитывает неоднородную структуру ДвКЭ V и порождает мелкую сетку. На базовом разбиении ДвКЭ V определяем в матричной форме функционал полной потенциальной энергии. На мелкой сетке определяем крупную сетку. С помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке ДвКЭ V , узловые неизвестные мелкой сетки области V2 в функционале потенциальной энергии ДвКЭ V выражаем через узловые неизвестные крупной сетки. В результате функционал потенциальной энергии ДвКЭ V представляется через узловые неизвестные мелкой сетки области V1 и узловые неизвестные крупной сетки, не совпадающих с узлами мелкой сетки области V1 . Из условия минимизации функционала ДвКЭ V по узловым перемещениям крупной сетки и мелкой сетки области V2 получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил граничного ДвКЭ V .

1. Процедура построения граничных двухсеточных конечных элементов . Рассмотрим процедуру построения граничного ДвКЭ V неоднородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда размерами а х b х c . На рис. 1 a = 16 h , b = 8 h , c = 12 h . Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши трехмерной задачи теории упругости [7]. Область V граничного ДвКЭ представляем двумя подобластями V ₁ и V ₂ формы прямоугольного параллелепипеда, причем V 1 с V 2 , где V_e = V + V₂ . Область V имеет размеры 3 h х 8 h х 12 h , область V ₂ - 13 h х 8 h х 12 h , общая граница областей V ₁ , V ₂ на рис. 1 отмечена жирной линией. Пусть граница области V ₁ в плоскости yOz совпадает с границей балки (рис. 1). Области V ₁ , V ₂ ДвКЭ представляем базовым разбиением, которое состоит из однородных КЭ V ^h первого порядка формы куба со стороной h . Данное разбиение учитывает неоднородную структуру ДвКЭ V_e и порождает мелкую сетку с шагом h (размерности т₃ х т₃ х m ₃). Для рис. 1 имеем т 1 = 17 , т ₂ = 9 , т₃ = 13 . На мелкой сетке определяем крупную трехмерную сетку размерности n х n ₂ х n₃ с шагами: H 1 - по оси Ox , H ₂ - по оси Oy , H₃ - по оси Oz , причем H 1 = k 1 h , H ₂ = к ₂ h , H₃ = kh , где к 1 , k ₂ , к₃ - целые, к 1 , k ₂ , к₃ >  2 • На рис. 1 узлы крупной сетки отмечены точками; H 1 = 4 h , H ₂ = 2 h , H₃ = 12 h , n 1 = n ₂ = n₃ = 5 , k 1 = 4 , k ₂ = 2 , k₃ = 3 .

Рис. 1. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ V

Полную потенциальную энергию П е ДвКЭ V представим в виде

П е = 1 q T [ K , ] q . - q T p e ,                                (i)

где [Ke ] - матрица жесткости; Pe, qe - векторы узловых сил и неизвестных базового разбиения ДвКЭ Ve , q е = {q,, q 2}T,                                              (2)

где q '_e - вектор узловых неизвестных мелкой сетки области V_l (включая узлы общей границы S ₁₂ областей V , V j ); q 2 - вектор узловых неизвестных области V ₂ (без учета узлов на общей границе S ₁₂ ); T - транспонирование.

С помощью полиномов Лагранжа [3] на крупной сетке определяем аппроксимирующие функции для перемещений u, v, w ДвКЭ, которые соответственно обозначим через uH, vH, wH и представим в форме n i n 2 n з                                      ni n 2 n з                                       ni n 2 n з uH-УУNu';ii:i, vH -УУNvi^A- wH -УУУ,л-    (3)

H                            ijk ijk , H                            ijk ijk ,       H                            ijk ijk , i-i j-i k-i                             i-i j-i k-i                              i-i j-i k-i где iq,, v.,, wijk - искомые значения функций uH, vH, wH в узле p(i, j, k) крупной сетки; i, j, k - координаты целочисленной системы координат ijk , введенной для узлов крупной сетки (рис. 1); Nijk = N(Xx,У,z) — базисная функция узла p(i, j,k) крупной сетки, где i -1,...,ni, j - i,...,n2, k - i,..., n3, Njk - Li Xx)Lj Xy)Lk Xz),

_ n! X — X                         _ n ² _     17 — 17                         _ n ³_    7 — 7

L X x ) - П —^ • L j X У ) - П     '  •   L k ( z ) - П        ’     (4)

a - i, a * i ^Xi   ^x _a                  a- i, a # ]У] y a                 ^a- i, ^a * k z k    z a

-i , yj , z_k - координаты узла p X i , j , k ) крупной сетки в декартовой системе координат Oxyz .

Целым числам i , j , k узла p X i , j , k ) крупной сетки определим целое число в и введем обозначения: ^ ^- Nik , q в ^- u j , q в ^- v jk , q e ^- w_ijk , где ^{в - i,}...^, n ₀ ; n ₀ ^- n i n 2 n 3 . Тогда выражения (3) примут вид:

u.-£Nвq‘f,  v„-tN,qe, wH -t Nвq',.

в - i

в - i                      в - i

Обозначим через q_H - { q“ ,..., q^u , q v ,..., q^v , q w ,..., q w } T вектор узловых параметров МКЭ крупной сетки, т. е. вектор узловых неизвестных ДвКЭ. Используя (4), компоненты вектора q 2 узловых неизвестных области V 2 выражаем через компоненты вектора q H , в результате получим равенство:

q ^{2 -} [ 4 ²] q H -

где [ A J - прямоугольная матрица.

Используя (6), выражение (2) представим в форме:

где

[ B e ] -

[ 4]

[ A ²]

[ E i ] - квадратная единичная матрица.

Используя (7), (2) в представлении (1), из условия дПе /dX{qe,q2}T) - 0 получаем уравнение [ KH] {qe, q 2}T - FH - где [ KH] - [ Be ]T [ Ke ][ Be ],  FH - [ Be ] " Pe .                                                        (8)

[ K e ], F - матрица жесткости и вектор узловых сил граничного ДвКЭ V формы прямоугольной призмы.

Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки граничного ДвКЭ, с помощью формулы (6) проецируем на мелкую сетку базового разбиения ДвКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения граничного ДвКЭ, следовательно, определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры граничного элемента.

Замечание 2. Погрешность решения зависит от соотношения шагов мелкой и крупной сеток и от размеров областей V ₁ , V ₂ граничных ДвКЭ V (рис. 1). Как показывают расчеты, увеличение области V ₁ (которая соприкасается с границей закрепления балки (рис. 1) приводит к уменьшению погрешности решения.

Достоинства двухсеточных конечных элементов

• •    ДвКЭ (граничные и первого типа) описывают трехмерное напряженное состояние в композитных балках.

• •    С помощью базовых разбиений ДвКЭ (граничных и первого типа) учитывается неоднородная структура композитных балок.

• •    ДвКЭ (граничные и первого типа) порождают двухсеточные дискретные модели балок, размерности которых меньше размерностей базовых моделей.

• •    ДвКЭ (граничные и первого типа) порождают решения, которые отличаются от решений, отвечающих базовым моделям балок, на заданную величину.

• •    С помощью варьирования соотношений шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ первого типа, для граничных ДвКЭ – варьирование размерами областей V ₁ (рис. 1) регулирует погрешность решений, построенных для двухсеточных дискретных моделей балок.

• •    Напряжения могут быть определены в любом компоненте неоднородной структуры ДвКЭ (граничных и первого типа).

• •    Процедуры построения ДвКЭ (граничных и первого типа) для балок базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуются на ЭВМ. Реализация МКЭ для двухсеточных дискретных моделей балок требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.

• 2. Результаты численных экспериментов . Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz модельную трехмерную задачу теории упругости для композитной балки V (рис. 2). Балка V длиной L прямоугольного сечения высотой H и шириной d имеет сложное закрепление (рис. 2), L = 128 h , H = 12 h , d = 8 h , h = 0,5 . По левому торцу балка V_o частично закреплена, при x = 0 , 0 <  z <  6 h имеем u = v = w = 0 . Граница крепления на рис. 2 показана штриховкой. Балка армирована непрерывными продольными волоконами с поперечным сечением 2 h х 2 h . На рис. 3 показано поперечное сечение балки V _o, сечения волокон закрашены. Расстояние между волокнами по осям Ox , Oz равно 2 h .

Базовая дискретная модель R балки V , состоящая из однородных КЭ первого порядка формы куба со стороной h [2], учитывает неоднородную структуру, сложное закрепление и порождает мелкую сетку V^h . Балка нагружена сосредоточенными вертикальными силами q = 0,01 (векторы сосредоточенных сил параллельны оси Oz , схема нагружения показана на рис. 2), которые приложены в узлах мелкой сетки V ^h с координатами x_i , y_}., z = 12 h , где x_t = 32 h + 4 h ( i - 1) , y j = 6 h + 2 h ( j - 1) , i = 1,...24 , j = 1,2 .

Рис. 2. Расчетная схема балки V

Рис. 3. Сечение балки V

Модуль Юнга волокон балки равен 1, связующего материала 10, коэффициент Пуассона для всей области балки равен 0,3. Двухсеточная дискретная модель R ₁ балки V состоит из семи ДвКЭ V первого типа размерами 16 h х 8 h х 12 h и одного граничного ДвКЭ V_e (область V 1 имеет размеры 2 h х 8 h х 12 h , область V 2 - 14 h х 8 h х 12 h (см. рис. 1), которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки. Двухсеточная дискретная модель R ₂ балки V состоит только из восьми ДвКЭ V (первого типа).

Анализ результатов расчетов показывает следующее. Максимальное значение перемещений w 1 = 142,528 (в направлении оси Oz ) двухсеточной дискретной модели R 1 балки V _o (т.е. с применением граничного элемента V_e ) отличается от перемещений w₀ = 152,782 базовой модели R _o балки на 6,71 %, максимальное перемещение w ₂ = 122,063 дискретной модели R ₂ (без применения граничного элемента V_e ) - на 20,1 %. Максимальные эквивалентные напряжения а 1 = 4,177 дискретной модели R 1 и т = 4,439 базовой модели R _o балки отличаются на 5,9 %. Эквивалентные напряжения вычисляем в центрах тяжести КЭ первого порядка формы куба со стороной h по четвертой теории прочности. Максимальное эквивалентное напряжение ст ₂ = 3,222 дискретной модели R ₂ балки V _o отличается от напряжения ст₀ на 27,41 %. Базовая модель R _o балки V _o содержит 45090 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 396. Двухсеточная дискретная модель R ₁ балки V имеет 3264 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 1164, т.е. лента СУ МКЭ модели R ₁ занимает в 4,7 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента СУ МКЭ базовой модели R . Отметим, что использование граничных ДвКЭ приводит к несущественному увеличению размерности дискретной модели балки. В данном примере двухсеточная дискретная модель R ₂ (без применения граничного ДвКЭ V ) балки V имеет 2430 неизвестных, т.е. модель R ₂ имеет в 1,34 раза меньше неизвестных, чем двухсеточная дискретная модель R ₁ балки V с применением граничного ДвКЭ V .

Заключение . На основании проведенных расчетов для трехмерной композитной балки V можно сделать следующие выводы. Применение граничного ДвКЭ V в двухсеточной дискретной модели балки V (рис. 2) приводит к трехкратному уменьшению погрешности для максимального перемещения и почти к пятикратному уменьшению погрешности для максимального эквивалентного напряжения. При этом реализация МКЭ для двухсеточной дискретной модели R ₁ балки V (с применением граничного ДвКЭ V ) требует меньше ресурсов ЭВМ, чем для базовой модели.