Применение кольцевой апертурной диафрагмы в спекл-интерферометрии

В статье представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований по применению кольцевой апертурной диафрагмы в спекл-интерферометрии. Показано, что применение кольцевой апертурной диафрагмы позволяет использовать объективы с большой входной апертурой. Это позволяет увеличить чувствительность и диапазон измерений методом спекл-интерферометрии.

Чувствительность спекл-интерферометрии зависит от размеров спекл-структуры, которая определяется параметрами используемой оптической системы при записи субъективной спекл-структуры, т.е. числовой апертурой оптической системы. Увеличение числовой апертуры оптической системы приводит к уменьшению размеров регистрируемой спекл-структуры и, следовательно, к увеличению чувствительности спекл-интерферометрии. Однако, с другой стороны, увеличение числовой апертуры оптической системы приводит к необходимости использования высококачественной оптики, так как при таких параметрах начинают существенным образом сказываться аберрации оптической системы, которые приводят к искажению регистрируемой информации.

Теоретические и экспериментальные исследования принципов работы оптических приборов показали, что наличие в них кольцевых апертурных диафрагм позволяет повысить разрешающую способность зеркальных телескопов и объективов [1].

Следовательно, представляет теоретический и экспериментальный интерес исследование влияния применения функции зрачка в виде кольцевой апертурной диафрагмы в спекл-интерферометрии на увеличение чувствительности и расширение диапазона измерений.

Образование спекл-картин в оптических системах с кольцевой апертурой

Рассмотрим образование интерференционных картин в двухэкспозиционной спекл-фотографии при использовании в оптической системе кольцевой апертурной диафрагмы. Оптическая схема регистрации спекл-фотографий отличается от стандартной тем, что в плоскости входного зрачка оптической системы располагается кольцевая диафрагма.

Для расчета выберем систему координат таким образом, чтобы координатные оси х 1 , у 1 совпадали с поверхностью исследуемого объекта, ось z располагается вдоль оптической оси системы. В плоскости х₂, у₂ на расстоянии d 1 по оси z от поверхности исследуемого объекта располагается оптическая система, формирующая изображение. В плоскости входного зрачка оптической системы располагается кольцевая диафрагма, имеющая вид двух концентрических окружностей с радиусами b и sb , где s -некоторое положительное число, меньшее единицы. Регистрирующая среда располагается в плоскости x₃, y₃ на расстоянии d₂ от плоскости х₂, у₂ .

Предположим, что смещение исследуемой поверхности между двумя экспозициями происходит только вдоль оси x . Такой выбор значительно упрощает расчет и не влияет на общность рассуждений, поскольку из теории спекл-интерферометрии известно, что интерференционные полосы Юнга, при расшифровке спеклограмм методом Юнга, ортогональны к направлению вектора смещения [2].

Применим метод Ван дер Люгта для расчета образования спеклограмм в оптической системе с кольцевой апертурной диафрагмой и их расшифровки по методу Юнга. Метод Ван дер Люгта основан на том, что в приближении геометрической оптики рассматривается теория Френеля-Кирхгофа и вводится функция, которая позволяет упростить теоретические выкладки при расчете распространения оптического сигнала в оптических системах. Функция имеет следующий вид:

^ ( х , у , D ) = exp

i п D ( х ² + у ² )

X

(1),

где - D = 1/d, а d - расстояние от плоскости х, у до плоскости, в которой определяется значение фазы, X - длина волны лазерного излучения.

Диффузную поверхность объекта, при освещении когерентным источником излучения, представим состоящей из набора равномерно расположенных точечных источников вторичных волн одной интенсивности, но с различной фазой, которые можно описать дельта функцией 5 ( х, у ). Тогда отраженную от объекта волну при первой экспозиции запишем в следующем виде:

N

U 1 ( x 1 , У 1 ) = S a ^eXP ( i Ц n )⁵( x 1 — u n ’ У 1 — ^U n ) ’ ⁽²⁾

n = 1

где N - количество точечных источников, u , и -nn координаты n-ой точки, а - амплитуда, цn - фаза n-ой точки, х1, у1 - система координат в плоскости объекта.

При второй экспозиции отраженную волну от объекта, точки поверхности которого смещаются на величину L вдоль оси х, запишем в следующем виде:

N и1 (Х1,У1 ) = Sa exp(iЦn )5(X1 -L-uK,у -иn).     (3)

n = 1

Так как в эксперименте регистрируется интенсивность, то в выражениях (2), (3) и в дальнейших расчетах временной множитель exp [ i2nv t], где v - частота лазерного излучения, при расчетах опускается.

Распределение амплитуды световой волны на входной поверхности оптической системы, в плоскости x 2 , y 2 которой расположена кольцевая апертурная диафрагма, используя метод Ван дер Люгта, это распределение запишется в следующем виде:

I 0 = U 4 ( ^x 3 , y 3 )|² = A 0² jj exp [ ^{2 n 1} § 2 r 2 ] ^x

2 n i _ , exp — ^D , ( un

X

2 n i exp

X

D, (u n -

U m ) x ₂ + u m r₂ exp [ 2 n i n ₂ R ₂ ] x

u m ) y ₂ + u _mR ₂ dx ₂ dr ₂ dy ₂ dR ₂,

U 2 ⁽ x 2 , У 2 ) = D ^x

^X                                (4)

xjj U, (x,, y, ) ¥ ( x 2 - x,, y 2 - y,, D,) dx, dy,, где x2, y2 - система координат в плоскости линзы, D1 = 1/di, di - расстояние от объекта до линзы, X - длина волны лазерного излучения.

Распределение комплексной амплитуды световой волны на выходной поверхности оптической системы запишем в следующем виде:

U з ( x 2 , У 2 ) = U 2 х^ * ( x 2 , y 2 , F ) ,                (5)

где F = 1/f и f – фокусное расстояние линзы, а функция V * ( x ₂, y ₂, F ) - комплексно сопряженная функции Т ( x 2 , y 2 , F ) .

И окончательно распределение комплексной амплитуды световой волны в плоскости фотопластинки x 3 , y 3 запишется в следующем виде:

iD

U 4 ^{( x} 3 , y 3 ) = "Y" ^x

^{X                                (6)}

x jj U ₃ ( x ₂, y ₂ ) V ( x ₃ - x ₂, y ₃ - y ₂, D ₂ ) dx ₂ dy ₂.

где

A ₀

D , D 2 1 2

X

NN

SSa2 exp [i (^n -^m )]x n=, m=, xV( un , u n , D, )V* (um , u m , D, ) ;

D ₂ x ₃        D ₂ y ₃

^ ²      X , ⁿ 2 X ^;

r ₂ = x ₂ - x ₂; R ₂ = y ₂ - y ₂.

При второй экспозиции комплексная амплитуда световой волны в плоскости фотопластинки, после аналогичных рассуждений, будет иметь следующий вид:

- DD ^N

U ₄ ( ^x 3 , y 3 ) = . 2 S ^a exp ( ⁱ ^ n )^x

X xV( Un + L, un, D, )^( x3, y 3, D 2)

x jj exp ( 2 n i ^ ₃ x ₂ ) exp [ 2 n i n , y ₂ ] dx ₂ dy ₂,

„ D.u + D.L + D„x3 где ^3 = -^n--т—

Тогда интенсивность в плоскости фотопластинки при второй экспозиции примет следующий вид:

Амплитуда U ₄ ( x ₃, y ₃ ) будет являться изображением амплитуды U , ( x , y , ) , если рассматривать формирование изображения в приближении геометрической оптики при выполнении условия 1/d 1 +1/d 2 =1/f, или в обозначениях Ван дер Люгта D 1 +D 2 =F .

Используя свойства дельта-функции, функции V и условие формирование изображения представим выражение (6) в более удобном для интегрирования виде:

Il = U 4 ( ^x 3 , y 3 )|² = A L ² jj exp [ ^{2 n i} ^ 4 ^r 2 ] ^x

2 n i n / ^x exp — ^D , ( u n [ X

2n i    , x exp — D, (u n

X

где

-

-

u m ) x ₂ + u_mr ₂ exp [ 2 n i n ₂ R ₂ ] x (,0)

u _m ) y ₂ + u _mR ₂ dx ₂ dr ₂ dy ₂ dR ₂,

- DD

U 4 ( ^x 3 , y 3 ) = . 2   S a exp ( ^l ^ n )^x

X     n=, xV( Un, un, D,)V( x 3, y 3, D2 )x                   (7), xjj exp (2n i ^, x 2) exp [2n i n, y 2 ] dx 2 dy 2

A L =

D 1 D 2

X

NN

SS ^{a 2} exp [ ⁱ ( ^ n ^- Ц m ) ] ^x n = , m = ,

xV ( U n + L , u n , D , )V ( U m + L , u m , D , ) ;

D ₂ x ₃ + D , L

^ 4 =     X

.

, D,u + D₂x₃        D , u + D₂y₃

где ^ , = ^, n.    ²³ ; n , = ^{, n}. ²³ .

X               X

Фотопластинка является квадратичным детектором, то есть с помощью нее регистрируется интенсивность световой волны. Тогда распределение интенсивности световой волны на фотопластинке, используя уравнение (7), будет определяться следующим выражением:

Коэффициенты A ₀ ² и A_L ² характеризуют суммарную интенсивность, и так как мы предполагаем только смещение поверхности на бесконечно малую величину без изменения структуры поверхности, то с большой степенью точности можно положить A o² = A L .

Так как при двухэкспозиционном методе регистрации спекл-структур информация фиксируется на одну и ту же фотопластинку, то, используя выражения

(5) и (6), суммарное распределение интенсивности на фотопластинке запишется в следующем виде:

I = 10 + IL = A 2o jj exp [ 2 n i n2 R 2 ] x x exp [2n i ц] exp [[2 л iP]] exp [ 2 n i 25 r2 ] x       (11), nDJiL . , , x cos —^-2— dx 2 dr2 dy 2 dR 2

где

D 1 ( u n - u m ) x 2 ⁺ u m r 2     _R ^D 1 ( ^U n - ^U m ) У 2 ^{+ U} m^R 2

^{Ц =} --------- X--------- ; ^P= ---------- X---------- ;

- =

D 1 L + 2 D ₂ x 3 2 X

Таким образом, при двухэкспозиционном методе на фотопластинке регистрируется одновременно две спекл-картины: спекл-картина несмещенного объекта и спекл-картина поверхности объекта, смещенного на величину L . Эти две независимые спекл-картины в пространстве изображений смещены на величину ML (где M - увеличение оптической системы), образуя на фотопластинке сложную дифракционную решетку – спеклограмму с модуляцией по косинусоидальному закону, которая и несет информацию об изменениях, проходящих с поверхностью объекта.

Выражения (8) и (10), описывающие образование оптической системой спекл-картин в плоскости фотопластинки при каждой экспозиции, позволяют оценить размеры спекл-структуры. Так как в плоскости оптической системы, то есть в плоскости x₂, y₂ , расположена кольцевая апертурная диафрагма, размеры которой имеют вид двух концентрических окружностей с радиусами b и s b , где s - некоторое положительное число, меньшее единицы, пределы интегрирования ограничены этой апертурой. Тогда, после преобразований, для оценки размеров спекл-структуры, распределение интенсивности в плоскости фотопластинки при каждой экспозиции определится следующим выражением:

первого минимума уменьшается и в пределе, когда s ^ 1 разность функций Бесселя первого порядка стремится к функции Бесселя нулевого порядка J 0 . Так как первый нуль функции Бесселя J 0 определен при значении kb to = 2,40, то с увеличением £ радиус первого темного кольца дифракционной картины приближается к величине, определяемой значением to = 0,38 X / b . Таким образом, наличие кольцевой апертуры приводит к уменьшению размеров спеклов, образующих спекл-картину, и, следовательно, к увеличению чувствительности метода спекл-интерферометрии.

Для оценки диапазона измерений рассмотрим расшифровку спеклограмм по методу Юнга. В этом случае фотопластинка с зарегистрированной спек-лограммой освещается узким, с диаметром 2 r, лазерным лучом. Распределение интенсивности света, дифрагированного на спеклограмме узкого лазерного луча, рассматривается в Фурье - плоскости, расположенной на расстоянии d₃ >>  2 r за спеклограм-мой, то есть рассматривается случай дифракции Фраунгофера. Тогда комплексная амплитуда световой волны в дальнем поле определяется как Фурье-образ амплитудного пропускания спеклограммы:

U F ( x 4 , У 4 ) = F[I ) =

= A ,2 jj exp [ 2 n i ^ 5 r ₂ ] exp [ 2 n iR ₂ ] x

x exp [2n i P] exp [ 2 n i ц] exp [2n i c6 x3 ] x

x exp [ 2 n i p₃ y ] cos ^П D ¹ r ² L dx^rdy^R^x.dy. , X

x где ^6 =

X d 3

• n= У4^-

’ ^{n 3} X d ₃

.

Интенсивность дифрагированной световой волны в Фурье - плоскости будет определяться следующим соотношением:

¹ 0,1 ^— A o

2 J1 (kb to) (kb to)

— s2

2J1 (ksbto) (ksbto)

, (12)

IF = A0JJexp 2Пi I ^2 8 L V X

x 3 —

x

где A - A ,² - интенсивность в центре дифракционной картины, а о - синус угла между направлением, в котором определяется значение интенсивности, и центральным направлением к дифракционной картине, т.е. в нашем случае, к оптической оси.

Из анализа выражения (12) следует, что при использовании кольцевой апертуры дифракционное поле в плоскости фотопластинки описывается разностью функций Бесселя первого порядка J 1 в отличие от обычной круговой апертуры, при которой дифракционное поле в плоскости фотопластинки определяется только функцией Бесселя первого порядка J 1 . Размер дифракционного гало, как и следовало ожидать, зависит от размеров кольца. Для круговой апертуры ( s = 0) значение первого минимума интенсивности, то есть функций Бесселя первого порядка J 1 , определяется хорошо известным выражением to = 0,61 X / b [1]. При увеличении s значение

x exp 2 n i I

x exp [2n i ц] exp [ 2n i P] x

x

n D, rL cos ¹²

X

x

dx ₂ dr ₂ dy ₂ dR ₂ dx ₃ dx ₃ ^' dy ₃ dy ₃ ^' .

Преобразуя выражение (14), перепишем удобном для интегрирования виде:

IF = A0 jj

ⁿ( n ^- ^ 6 ) D 1 ^L cos

D 2

I 2n i          , xexp<---D x2 (u

ч X

n mm / m \       6 / px

D2 _

xexp l^ri D1 У 2 (U n -U m )+U m ( k-Пб )^ I X

X

D

x

x

2 _

x exp [ 2 n inr₃ ] exp [ 2 n ikR ₃ ] dx ₂ dndx 3 dr ₃ dy ₂ dkdR 3 dy ₃,

его в

где n = ^ 6 + Г2— 2 ; к = П з + R 2—2 ; X             X

которое и определяет чувствительность, то есть минимальную величину измеряемого смещения.

''

Г = x 3 - x 3 ; R 3 = y 3 - y 3

Интегрирование выражения (15), дает следующее соотношение для интенсивности:

If = A

x

2 J1 (к его) (к его)

— s2

2 J1 (кг го) (кг го)

cos

D 2

2 J1 (к scto) ( к SGto)

,

x

где A - усредненное значение интенсивности в дифракционной картине, □ - средний размер радиуса спекл-структуры на спеклограмме, определяемый выражением (12).

На рис.1 представлены фотографии полос Юнга, зафиксированные в Фурье плоскости в эксперименте с оптической схемой, содержащей кольцевую диафрагму. На рис. 1 а изображены полосы Юнга, полученные по обычной оптической схеме записи спекл-фотографий, в которой оптическая система имеет круговую апертуру диметром 50 мм. На рис. 1 б изображены полосы Юнга, полученные с кольцевой апертурой имеющей размеры внешнего диаметра 50 мм и внутреннего диаметра 20 мм.

На рис. 1 в изображены полосы Юнга, полученные с кольцевой апертурой, имеющей размеры внешнего диаметра 50 мм и внутреннего диаметра 45 мм. Как видно из фотографий, при отсутствии кольцевой апертуры (рис. 1 а ) полосы Юнга имеют нелинейный вид и не различимы на дифракционном гало. Уменьшение ширины кольца (рис. 1 б,в ) приводит к увеличению размера дифракционного гало и возникновению качественных полос Юнга, имеющих равномерную ширину по всему дифракционному полю, в отличие от стандартных полос Юнга, имеющих сигарообразную форму.

Оценка чувствительности и диапазона измеряемых смещений

Для проведения оценки проанализируем выражение (12). Размер дифракционного гало определяется первым множителем. Размеры спеклов на дифракционном поле определяются вторым множителем. Модулирующий множитель cos² определяет ширину полос Юнга, по которым измеряют величину смещения исследуемой поверхности. Аналогично проведенным выше рассуждениям угловой размер дифракционного гало определяется выражением го = 0,38 Х / у , а размеры спеклов определяются выражением го = 0,61 X / r . Для того чтобы достаточно точно измерить минимальную ширину полосы Юнга, необходимо, чтобы она имела размер не меньше трех -пятикратного размера спекла, то есть ее угловой размер должен ограничиваться соотношением го > (3^5)0,61 X / r , которое и определяет максимальную величину измеряемого смещения. Максимальная измеряемая ширина полосы Юнга определяется размерами дифракционного гало, и ее угловой размер должен ограничиваться соотношением го < 0,38 X /o,

Рис. 1. Фотографии полос Юнга в Фурье-плоскости

Заключение

Таким образом, применение кольцевой апертуры в спекл-интерферометрии позволяет увеличить диапазон и чувствительность метода и повысить качество полос Юнга.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 02-01-00211.