Применение Maple для моделирования динамического состояния RLC-цепи при импульсном воздействии на термистор
Автор: Коробейников А.Г.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 3-1 (42), 2020 года.
Бесплатный доступ
В работе, на примере импульсного воздействия на термистор, являющимся элементом электрической цепи, представляющей из себя последовательный колебательный RLC-контур, показан процесс моделирования с использованием системы Maple. Математическая модель колебательного контура представлена неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Импульсное воздействие моделировалось δ-функцией Дирака. Предлагаемый исходный код содержит многочисленные комментарии, позволяющие достаточно легко модифицировать заданную математическую модель объекта. В связи с этим можно изменять связи между элементами цепи, а также дополнительно вводить новые элементы и связи. А так как решение дополнительно представляется в графическом виде, то можно достаточно легко произвести анализ на предмет влияния начальных условий и номинальных значений элементов системы на решение.
Rlc-контур, электрическая цепь, колебательный контур, математическая модель, обыкновенное дифференциальное неоднородное уравнение, δ-функция дирака, импульсное воздействие
Короткий адрес: https://sciup.org/170187417
IDR: 170187417 | DOI: 10.24411/2500-1000-2020-10243
Текст научной статьи Применение Maple для моделирования динамического состояния RLC-цепи при импульсном воздействии на термистор
В настоящее время теоретические положения и практические методы математического и компьютерного моделирования применяются во многих предметных областях, например, электродинамика. Необходимо также отметить, что развитие методов и средств математического и компьютерного моделирования позволяет сделать процесс решения задач из вышеназванной предметной области более эффективным. Поэтому обучение владением методами и инструментарием компьютерного моделирования является крайне важным. Широко используемый инструментарий, применяемый в компьютерном моделировании, это такие программные системы как MATLAB, Maple и др. [1-4]. С их помощью решают различные проблемы [48].
В данной работе рассмотрена электрическая система являющаяся последовательной RLC-цепью. Система находится в режиме установившихся колебаний. В некоторый момент времени происходит импульсное воздействие на термистор, например, нагрев при помощи достаточно мощного лазерного излучения. В результате происходит резкое изменение сопротивления, после чего начинаются переходные процессы. Представленные результаты моделирования показывают динамическую картину изменения состояния электрической системы.
Постановка задачи . Пусть имеется последовательная RLC-цепь, в которой содержатся источник ЭДС, термистор R, индуктивность L и емкость С (рис. 1).
Будем предполагать, что сопротивление термистора представляет из себя дискретно – континуальную характеристику, т.е. может скачкообразно меняться под внешним воздействием.
В качестве искомой величины будем брать силу тока i(t). Тогда в случае установившегося режима колебаний в RLC-контуре, уравнение, соответствующее данному случаю, можно записать в следующем виде [1]:
L --^у i ( t ) + R • — i ( t ) + — • i ( t ) = —E ( t ) dt 2 ( ) dt ( ) C ( ) dt ( )
, где E(t) - электродвижущая сила: E(t) A-sin(ro-t);
A – амплитуда в вольтах (В);
го - круговая частота (рад/с);
t – время в секундах (с).
В случае, когда в некоторый момент времени t0 происходит импульсное воздействие на термистор, уравнение (1) преобразуется в следующий вид:
L • ^-i ( t ) + ( R + 5 ( t 0) • r ) • — i ( t ) + —• i ( t ) = —E ( t ) dt 2 0 dt C dt
, где δ(t) – дельта функция Дирака.
Целью моделирования является получение информации о динамике поведения функции тока i(t) при импульсном воздействие на термистор.
Для большей наглядности изменение функции тока i(t) представляется в графическом виде.
Поиск решения
Для компьютерного моделирования зададим конкретные значения для параметров, входящих в математические модели (1) и (2):
L=0,4 Гн; R=20 ом; r=30 ом; C=0.02 Ф; го =15 рад/с; A=10 В; t0=15 с.
Для поиска аналитических решений (1) и (2) воспользуемся Maple [1-4]. Исходный текст на Maple для поиска решения (1) может выглядеть следующим образом:
> restort
>L :=О.4:С,:=2.1О-2:Ло:=1О:^ ^=30.0:
tn — 15.0 : co •= 15 : R, — Rn + Dirac(lA -77.: >
> E= z^-sin(«>.,): ,a:=,(0)-0,D(,)(0)-l:
^Дифференциальное уравнение в общем виде для тока в > установившемся режиме common my ode :=
L^WO) + 7? — (/(0) +77-00 dr d t c
= —(£(0) d t
> common_my_ode — L
,2 ( d \
-^7 00 + 400 + d72 J I d? )
d
d7
ко
= A G)cos(cof)
^Дифференциальное уравнение для конкретных значений параметров для тока в установившемся режиме myodeil_0 := subs^ J А = AQ, R = Ro, L = Lo, С = C^, co = 0)()
>
common my_ode^
my ode i l_0 == 0.4 —— /(0 + 20 — /(0 + 50 7(7) d72 dz
= 150 cos( 15 7)
# Решение дифференциального уравнения при конкретных
-
> ,е „„х - токи в »=„,«„<,<—=,режиме
ту_i_l О init condition := rhs{dsolve{ {my ode i l О, zes}))
-
> # Решение „ри „динных ночаиькыхусоеиях
f 15 _ 2167/J
[ 458 45800 J
my_i_l_0_imt_c
, -5 (5 + 2 ТД t ( 15 2167 /У 'i _ 15 cos( 15 7)
-
6 ( 458 45800 ) 229
225 sin( 15 7)
i i ( t ) = e
>
Таким образом, установившееся решение для (1) имеет вид:
5 ( -5+27 ) t 15 2167V5
^™
(458 45800 J
+ e
-5(5+27 ) t ( 15
■ ( ) — +
2167^ ) 15cos ( 15 t ) 225sin ( 15 t )
---X----/ +------- -----/
^“
(458 45800 J
.
Далее, чтобы найти решение (2), необходимо знание начальных условий. Их можно определить, например, при помощи следующего исходного текста:
-
> # Решение в заданный момент времени
-
> my_i_l_0_t0 := simpli^SubS(t = t0 my_iJ_0_init.condition^
my_i_l_0_t0 — -0.4809845602
-
> # Значение производной решения в заданный момент времени
7., -7- (
mv i
7
0 init condition ) ] |
0 d 7 ----- - ))
dmy_i_l _0_t0 — szzz/jo/z^j^sMTzs^? = t( dmyiJOjO— 1.792926138
Далее, находим решение (2) для t ≥15 при помощи следующего исходного текста: > ^Добавляем дельта-функцию в уравнение
>
= coQ , 7 = 7,1., common_my_ode^
myodeil1 — 0.4 2 /(^) "*" (20 + 30.0 Dirac^))

= 150cos(15 t?^
> ics_l_l := /(0) = my_i_l_O_tOM^W=dmy_i_l_O_tO ics_l_l := /(0) = —0.4809845602, D(Z) (0) = 1.792926138
> Tny_l_l_l_init_condition := rhs^olve^my.odeJJJJcsJJ^J^y rnethod-laplace my J_1 _1 _init_condition -
1056000cos(Z7)9
+ 229
245 760 cos(z?)15
432000 cos(z2)?
921600 cos(f7)13 229
90720cos^2)5
1382400 cos(f7)n
8400cos^)3
225 cos(/7)
+ 229
-25t e 2 (34449062941693/Jsinh( 10 Z7/J) + 4757273214290cosh( 10 Л,л/5~)) 11450000000000
+ ^ (225 sin^7) ( (16 cos^7^4 — 16 cos^7^2 + 1)" — (8 cos(Z7)3
— 8cos(z7j) ^ ( (4cos(z7)2 — 1) — 4cos^2)2) (4cos(/7)2 — 1)} my_i_1 _0_init-Condition
my_solve :=
>
subset-, = t — tQ, my_i_l_1 _init-Condition^ t > tQ
Таким образом, решение для (2) при t ≥15 имеет вид:
i2(t)--
245760 cos ( t - 15 ) 15 921600 cos ( t - 15 ) 13
—
1382400cos ( t - 15 ) 11 229
1056000cos ( t - 15 ) 9 432000cos ( t - 15 ) 7 90720cos ( t - 15 ) 5 8400cos ( t - 15 ) 3
229 229 229 229
225cos ( t - 15 )
e -25 t + 375 ( 34449062941693^5sinh ( 10 ( t - 15 ) 45 ) + 4757273214290cosh ( 10 ( t - 15 ) V5 ) ) 11450000000000 +
225sin ( t - 15 ) [ ( 16cos ( t - 15 ) 4 - 16cos ( t - 15 ) 2 + 1 ) 2 j +--- 458
( 8cos ( t - 15 ) 3 - 8cos ( t - 15 ) ) ^ ( 4cos ( t - 15 ) 2 - 1 ) - 4cos ( t - 15 ) 2 j ( 4cos ( t - 15 ) 2 - 1 ) 458
Таким образом, окончательный вид решения для (2) можно записать следующим обра- зом:
i (t )-
i1 (t)
i2 (t)
t < 15
t > 15
Результаты моделирования в графическом виде
Для представления полученного результата в графическом виде необходимо добавить, например, следующий исходный код на Maple:
plot^my solved = 10..^ + 3-t0,labelfont = [18, 18],/яЛе/5 = [ 't','i(t)'], title
= typeset^ "График решения уравнения\п",5и/>»^7 = t,my_ode_i_l_1^ ))
График решения уравнения

>
На графике видна реакция системы при импульсном воздействии на термистор во время равное t0=15 с. Увеличение тока почти в 5 раз. Время переходного процесса примерно 1.8 с.
Заключение. В статье был продемонстрирован подход, который можно применять во время обучения методам и инструментарию компьютерного моделирования. Результат дает представление о тре-
бованиях, предъявляемых к элементам электронных систем. В данном случае, для сохранения работоспособности, необходимо чтобы элементы цепи выдерживали краткосрочную нагрузку как минимум 2,5 А. Продемонстрированный исходный код достаточно легко модифицируем. Это способствует в процессе обучения хорошему закреплению обучающимися предлагаемого материала.
Список литературы Применение Maple для моделирования динамического состояния RLC-цепи при импульсном воздействии на термистор
- Коробейников Г. Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. - СПб.: Cанкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. - 2010. - 144 с.
- Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. - 160 с.
- Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. - СПб: НИУ ИТМО, 2014. - 100 с.
- Гришенцев А.Ю., Гурьянов А.В., Кузнецова О.В., Шукалов А.В., Коробейников А.Г. Математическое обеспечение в системах автоматизированного проектирования. - СПб: Университет ИТМО, 2017. - 88 с.
- Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели решения обратной задачи вертикального зондирования ионосферы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2011. - №2 (72). - С. 109-113.
- Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю., Кутузов И.М., Пирожникова О.И., Соколов К.О., Литвинов Д.Ю. Разработка математической и имитационной моделей для расчета оценки защищенности объекта информатизации от несанкционированного физического проникновения // Кибернетика и программирование. - 2014. - № 5. - С. 14-25.
- Коробейников А.Г., Федосовский М.Е., Алексанин С.А. Разработка автоматизированной процедуры для решения задачи восстановления смазанных цифровых изображений // Кибернетика и программирование. - 2016. - № 1. - С. 270-291.
- Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г., Величко Е.Н., Непомнящая Э.К., Розов С.В. Синтез бинарных матриц для формирования сигналов широкополосной связи // Радиотехника. - 2015. - № 9. - С. 51-58.