Применение метода частотных передаточных функций для решения одной задачи теплоустойчивости ограждений

Введение. Известно [1–3], что одним из важнейших инструментов для конструирования высококачественных систем обеспечения микроклимата зданий является теория теплоустойчивости ограждений в частности и помещений в целом. В данной теории вводится ряд понятий, например, понятие слоя резких колебаний, понятие коэффициента теплоусвоения материала и показателя тепловой инерции. Приводятся формулы для определения толщины слоя резких колебаний, для его связи с показателем тепловой инерции и коэффициентом теплоусвоения материала. Указанные соотношения впервые были получены, вероятнее всего, путем непосредственного решения и анализа уравнения теплопроводности с соответствующими краевыми условиями. Во всяком случае, такое представление формируется при изучении известных работ О.Е. Власова [4], общепризнанного основателя теории теплоустойчивости, и работ других авторов 30–50-х годов прошлого столетия [5–8]. Вместе с тем, как нам представляется, решение и анализ задач теплоустойчивости ограждений будет более простым и понятным, если для этого использовать методы теории автоматического управления, конкретно, понятие передаточной функции вообще и частотной передаточной функции в частности [9, 10]. Такой подход позволяет уточнить приводимые в литературе данные по теории теплоустойчивости ограждений [1–3]. При этом, конечно, следует заметить, что определенная критика использо- ванных методов и подходов для решения задач теплоустойчивости и полученных с их помощью результатов, в частности, их противоречивость уже содержится в работе [5] и других работах, например, в [8]. В работе [5, с. 6], в частности, указано, что «…отдельные исследователи предложили различные несогласованные друг с другом формулы». На наш взгляд, такое положение дел в определенной мере имеет место и в настоящее время. Поэтому теория теплоустойчивости как в прошлые годы, так и в настоящее время требует дальнейшего развития и уточнения.

Постановка и решение задачи. Рассмотрим следующую задачу об отыскании температурного поля полубесконечного тела:

∂ t ( x , τ )      ∂ ² t ( x , τ )

=a        ,00;(1)

∂τ∂

t(x,0)=0,0≤x<∞;(2)

-λ∂t(0,τ)=q(τ),τ≥0;(3)

∂x lim t(x,τ)=0,τ≥ 0,(4)

x→∞ где t(x, τ) – температура в точке с пространственной координатой x в момент времени τ , a, λ – соответственно коэффициенты температуропроводности и теплопроводности материала тела, q(τ) – плотность теплового потока.

В изображениях Лапласа уравнение теплопроводности (1) с учетом начального условия (2) перепишется в виде

∂² T ( x , p )

pT ( x , p ) = a           ,                        (5)

∂ x ²

где T ( x , p ) – Лапласово изображение t ( x , τ ) ,

p – комплексная переменная.

Решая уравнение (5) с учетом условия (4), получим что

T ( x , p ) = C exp( - x ^p ) , a

где C – постоянная интегрирования.

Определение передаточной функции по каналу «плотность теплового потока на границе – температура в точке с координатой x ». Обозначим Лапласово изображение плотности теплового потока q ( τ ) как Q ( p ) , тогда Лапласово изображение уравнения (3) будет следующим:

Q( )=-λ∂T(0,p) =-λC(- p)(

Q(p)=-λ       =-λC(-   )exp(-x   )

∂x              aa

поэтому отношение амплитуды установившихся колебаний температуры поверхности t (0, τ ) к амплитуде колебаний плотности теплового потока будет равно

I W (0, j ω )I = _S ¹ .                                (12)

Вычисление характеристик слоя резких колебаний. В теории теплоустойчивости по определению слой резких колебаний это слой от точки x = 0 до точки x = L , в которой амплитуда колебаний температуры примерно вдвое меньше, чем на поверхности, т. е. при x = 0 [см., например, 3 с. 107]. В связи с этим найдем величину x = L следующим образом:

I W ( L , j ω ) ₌ 1

I W (0, j ω )i ⁼2

или exp(-L ω)= 1 ; a2

отсюда

= C

c ρ .

Здесь c , ρ – соответственно удельная теплоемкость и плотность материала.

Если считать q ( τ ) входной величиной системы, а t ( x , τ ) – ее выходной величиной, тогда передаточная функция системы в изображениях Лапласа будет равна

ln2 λ ln2 ω⁼ S

T a

W ( xp ) = ^{T ( x , p )} = ^{exp( - x ap )} ,      Q ( p )      V p λ c ρ

,

а частотная передаточная функция будет иметь вид

Термическое сопротивление теплопроводности R этого слоя будет равно

R=L=ln2, λS поэтому применяемый в теории теплоустойчивости показатель тепловой инерции D=RS будет равен ln2 , а не 1 , как это принято в [1–3].

Если, как это указано в [1, с. 220], «…слоем резких колебаний … считать слой, для которого D = 1 », то получается, что его толщина будет рав-

λ                  λ ln2

на L =    [1, с. 220], а не L =

как это записа-

W ( x , j ω ) = —f ^a у/ j ωλ c ρ

,

где ω – частота, j – мнимая единица.

Величину V ωλ c ρ обозначим как S , в теории теплоустойчивости ее называют коэффициентом теплоусвоения материала, тогда частотная передаточная функция перепишется так:

но в формуле (13).

Если же слоем резких колебаний считать слой, в пределах которого амплитуда температурных колебаний уменьшается в e = 2,718... раз, то

тогда толщина этого слоя будет равна a = ω

λ

, его S

W ( x , j ω ) =      Ту

.

Как известно из теории автоматического управления [4, 5], модуль частотной передаточной функции равен отношению амплитуды установившихся выходных колебаний к амплитуде входных колебаний

термическое сопротивление теплопроводности будет 1 / S , а показатель тепловой инерции D действительно будет равен 1 .

Если =^λ _ I W ( x , j ω ) I

Если x = , то           = exp(–1) , т. е. на рас-

S       I W (0, j ω )

стоянии x = ^λ амплитуда колебаний температуры

уменьшится не вдвое, а в e = 2,718... раз.

I W ( x , j ω ) =

ω exp(-x   )

a

Отметим также, что толщина слоя, в пределах которого амплитуда температурных колебаний

S

,

уменьшается в 10 раз, будет равна

ln10 ⋅ λ S

а его

Инженерное оборудование зданий и сооружений термическое сопротивление теплопроводности будет ln10 / S .

Отмеченные неточности, вероятнее всего, обусловлены недостатками традиционного метода решения задач теплоустойчивости, его «непрозрачностью» и громоздкостью, как в свое время высказался проф. С.И. Муромов, тем, что задачи решались «… чрезвычайно сложными, громоздкими и запутанными способами» [5, с. 33]. При этом отметим, что сам проф. С.И. Муромов для решения задач теплоустойчивости применял, как нам представляется, более простой метод, который известен в настоящее время, например, в электротехнике как символический метод расчета установившихся режимов цепей синусоидального тока. Этот метод позволяет при решении освободиться от производных по времени, производные же по пространственной координате при этом в задаче теплоустойчивости остаются в решаемых соотношениях.

Выводы. Показано, что решение задачи теплоустойчивости ограждений широко используемым в теории автоматического управления методом частотных передаточных функций является более простым и, вследствие этого, более понятным и «прозрачным». В процессе решения уточнены соотношения для слоя резких колебаний, показателя тепловой инерции и коэффициента те-плоусвоения материала.

Метод частотных передаточных функций рекомендуется для развития теории теплоустойчивости ограждений и помещений в целом, которая актуальна и в настоящее время.