Применение принципа максимума в задаче управления рекламными расходами
Автор: Лутошкин Игорь Викторович, Ямалтдинова Наиля Ринатовна
Журнал: Симбирский научный Вестник @snv-ulsu
Рубрика: Экономика и менеджмент
Статья в выпуске: 4 (22), 2015 года.
Бесплатный доступ
Строится динамическая, непрерывная относительно времени, модель оптимального управления рекламными расходами с учетом эффекта запаздывания реакции потребителей на рекламные воздействия и на ранее совершенные покупки. Решается задача максимизации прибыли фирмы на плановом периоде при ограничении, отражающем реакцию целевой аудитории. При этом исходная проблема формулируется в виде системы уравнений типа Вольтерра.
Управление рекламными расходами, распределенное запаздывание, эффект рекламного воздействия, эффект воздействия предыдущих продаж, оптимальное управление
Короткий адрес: https://sciup.org/14114149
IDR: 14114149
Текст научной статьи Применение принципа максимума в задаче управления рекламными расходами
Для разработки фирмой грамотной рекламной стратегии по оптимизации затрат на рекламу в плановом периоде необходимо знать, каким образом реклама воздействует на потенциальных покупателей. При этом нужно учесть, что между однократным рекламным сообщением и совершением некоторыми потребителями покупок образуется лаг запаздывания. Это может объясняться различными причинами. Например, если ознакомление с информацией о товаре произошло не напрямую, а через третьи лица, которые в свою очередь таким же образом могли познакомиться с продуктом спустя промежуток времени после запуска рекламного сообщения. Также после ознакомления с рекламным объявлением потребителю зачастую необходимо время для того, чтобы обдумать необходимость приобретения прорекламированного товара, а после принятия решения о покупке — время до ее совершения.
Для построения модели также важно учесть влияние совокупности других факторов, стимулирующих потребителей повторно приобретать продукт данной фирмы, например, его качество, сформировавшаяся привычка и др. При этом влияние ранее совершенной покупки на текущую также может со временем возрастать на начальном этапе до определенного момента, после чего ослабевает, и влияние в большей степени оказывают более поздние покупки.
На сегодняшний день существуют различные подходы к управлению рекламными расходами. Выделяя подходы, основанные на математическом моделировании, можно отметить вероятностные модели, учитывающие охват, частоту показа [5]; регрессионные эконометрические модели [2]; динамические дискретные и непрерывные модели [1, 3]. Однако существующие непрерывные модели управления рекламными расходами предполагают учет только мгновенной реакции от воздействия. В настоящей работе предлагается развитие динамической непрерывной модели управления рекламными расходами, предложенной в работах [7, 8]. При этом в модели учитываются распределенные эффекты воздействия рекламы и предыдущих продаж фирмы.
Постановка проблемы
Обозначим через y(t) и u(t) выручку фирмы от продаж — численное выражение реакции потребителя и величину рекламных расходов в момент времени t соответственно. Если предположить, что рассматриваемая фирма занята в сфере предоставления услуг и основные ее затраты направлены на маркетинговые мероприятия, то функционал, представляющий собой суммарную прибыль П(T) на планируемом периоде t □ [0; T], можно определить в виде
T
П ( т ) = / ( У ( t ) - u ( t )) ^ max, (1)
где функция выручки У ( t ) имеет вид
У ( t ) = F ( v ( t ), w ( t ))- (2)
За v ( t ) обозначим накопленный эффект рекламы, за w ( t ) — накопленный эффект предыдущих продаж, учитываемые на интервале от начального момента планирования до текущего момента времени
t
v ( t ) = f G u ( т ) u ( т ) d T ,
t w (t) = f Gy (т) y (t ) dT, v (0) = 0, w (0) = 0,
где Gu ( t ) , G y ( т ) — функции, определяющиеся на интервале т е [0; t ] , где т — лаг запаздывания, характер воздействия рекламных затрат и предыдущих продаж соответственно.
Как правило, рекламные расходы, планируемые фирмой на определенный период, практически всегда имеют пороговое значение:
0 < u ( t ) < b , t е [0; T ]. (4)
Задача максимизации прибыли (1) при условии (2) с учетом интегральных уравнений (3) и ограничения на рекламные расходы (4) дает задачу динамической оптимизации.
Основные результаты
В силу вышеуказанных причин, из-за которых наблюдается запаздывание реакции потребителей, можно предположить, что заинтересованность населения в рекламируемом продукте со временем возрастает, начиная с момента выхода рекламного сообщения, до какого-то максимального значения. После этого отдача от рекламного воздействия убывает в связи с тем, что часть потенциальных покупателей, информированная о товаре через рекламу фирмы, забывает об этом или покидает рынок по каким-либо другим причинам.
Что касается эффекта воздействия предыдущих продаж, то влияние ранее совершенной покупки на текущую также может со временем возрастать на начальном этапе до определенного момента, после чего ослабевает, и воздействие на потребителя в большей степени оказывают более поздние покупки. Функции Gu ( т ) , G y ( т ) в этих случаях принимают вид, изображенный на рисунке 1.
Для практического представления зависимости, изображенной на графике (рис. 1), функции Gu ( т ) , G y ( т ) могут определяться следующим образом:
Gu ( т ) = aueb - т + c u т , (5)
uu
Gy ( т ) = aye bт + c y т . (6)

Рис. 1. Общий вид графиков функций Gu ( т ) , G y ( т ) в соответствии с (5) и (6)
Возможен и несколько иной характер реакции потребителя: убывание отдачи от рекламного воздействия может иметь монотонный характер, т. е. реакция на рекламу принимает максимальное значение практически сразу после выхода рекламного сообщения и оказывает меньшее влияние на последующие продажи. Монотонно убывающим может также оказаться и влияние предыдущих продаж, когда воздействие совокупности других факторов не оказывает настолько сильного воздействия на потребителя, чтобы заставить его приобретать товар в большем объеме по сравнению с предыдущими покупками.
В этом случае G u ( т ) , G y ( т ) принимают вид, изображенный на рисунке 2. При этом функции могут определяться следующим образом:
Gu ( т ) = aue? u T , (7)
uu
G y ( т ) = a y Cb^T . (8)
t
x(t) = J f (t, x(5), U(5))ds
введем также функции xi(t), x2(t), xg(t), та кие что

Рис. 2. Общий вид графиков функций G u ( т ) , G y ( т ) в соответствии с (7) и (8)
x 1 ( t ) = v ( t ), x 2 ( t ) = w ( t ), x з ( t ) = П ( t ) . (12)
Из уравнений (10)—(12) составим следующую систему линейных интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода:
x ( t ) =
' x 1 ( t )' x , ( t ) I. X 3 < t ) )
t
= J
^ G U ( t - 5 )) U ( 5 )
G y ( t - 5 ) F ( x 1 ( 5 ), x 2 ( 5 ))
0 ( F ( x i ( 5 ), x 2 < 5 )) - U ( 5 )
\
d5 ,
V
x i (0) = 0, x 2 (0), x 3 (0) = 0. (13)
В соответствии с (13) функционал (1) можно представить в виде x3 (t) ^ max или -x3 (t) ^ min. (14)
Отметим также, что параметры au , b u , c u , ay , by , cy подбираются эконометрически на основе параметров α и β множественной регрессии:
У(t) = а У(t - тд.) + ^u(t - тд.), тд. = 0,1, 2,..., где тд. — дискретные значения лагов запаздывания. При этом функции Gu (т), Gy (т) определяются как результат точечной аппроксимации по значениям векторов α и β соответственно.
Введем новую переменную 5 = t - т и перепишем (3) следующим образом:
v (t) = jGu (t - 5 ) U ( 5 ) ds, w (t) = jGy (t - s) y (5) ds.
Определим суммарную прибыль на текущий момент времени:
t
П ( t ) = J ( y ( t ) — u ( t )). (11)
Для сведения интегральных уравнений (10), (11) к системе уравнений типа Вольтерра вида
Таким образом, преобразованная задача оптимального управления представлена уравнениями (4), (13), (14).
Поставленная задача (4), (13), (14) представляет собой задачу оптимального управления с интегральными уравнениями. Применим для данной задачи принцип максимума Понтрягина, сформулированный для данного класса задач в работе [4].
Введем модифицированную функцию Гамильтона-Понтрягина
H ( 5 , x , U ) = y /( 5 ) f ( 5 , 5 , x , U ) +
T
+ J v (.t ) f t ( t , 5 , x , U ) dt
s и концевую функцию Лагранжа
l ( x (0), x(T )) =
- x 3 ( T ) + b 1 x 1 (0) + b 2 x 2 (0) + b 3 x 3 (0),
где ^ ( 5 ) = ( ^ 1 ( 5 ) ^ 2 ( 5 ) V 3 ( 5 )) — вектор функций сопряженных переменных, при этом
^ 1 ( 5 ) = H x 1 ( 5 , x , U ), у / 2( 5 ) = H x 2 ( 5 , x , U ), (17)
у/3<5) = Hx3 (5,x,U), где d H (5, x, u )
Hx (5, x, u ) =----- a h (5, x, u)
Hx (5, x, u ) =-----
О X 2
a h ( 5 , x , u )
Hx (5, x, u ) =----".
Согласно (15) определим функцию f ( t , x ( 5 ), u ( 5 )) при t = 5 , а также найдем ее частную производную по t :
Ц (5 ) = ^ 1 ( 5 ) G u (0) - V 3 ( 5 ) +
+ T ( V i ( t ) G „ ( t - 5 )) dt ,
и оптимальное управление находится из соот-
ношения
<
u ( 5 ) = b ,
u ( 5 ) = 0,
если ju ( 5 ) > 0, если ^ ( 5 ) < 0.
f G u (0) u ( 5 )
к
Выпишем условия, определяющие функции сопряженных переменных [4]:
f ( 5 , 5 , x , u ) = G y (0) F ( x j ( 5 ), x 2 ( 5 )) , V F ( x 1 ( 5 ), x 2 ( 5 )) - u ( 5 ) у
f G u t ( t - 5 ) u ( 5 )
f t ( t , 5 , x , и ) = G yt ( t - 5 ) F ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 )) , (19)
V о
где
f t ( t , 5 , x , u ) =
d f ( 5 , t , x , u )
dt
,
G u, ( t - 5 ) =
G y, ( t - 5 ) =
dG u ( t — 5 )
dt ’ dGy (t - 5)
■ условия трансверсальности: |
||
1(0, = бз^ет = в 1 , дx i (0) V (0) = d( x (0); x ( T )) = в , 2 д x 2(0) |
||
V (0) = д( x (0 >- x ( T» = А , 3 д x 3(0) 3 V ( T ) =_ d( x (0)1 x ( r )) = 0, ’ 1 ' д x i ( T ) V ( T ) = - д( x (0 >, x ( T )) = 0, ' 21 ' xx 2 (0) V ( T ) = - д( x (0) , x ( T » = 1. /3 ax 3(t ) |
(23) |
dt
•
Преобразуем функцию Гамильтона-Понтрягина (15), подставив (18), (19):
H ( 5 , x , и ) = ( ^ ( 5 ) G u (0) - ^ з ( 5 ) +
T (20)
+ j W t ) G ut ( t - 5 )) dt ) u ( 5 )•
s
Так как функция Гамильтона-Понтрягина имеет линейный характер по переменной u ( 5 ) , то максимум функции достигается на границе ограничений управления, и имеет смысл рассмотреть множитель при переменной u ( 5 ) , который можно назвать функцией переключения управления. Функция переключения ц ( 5 ) определяет релейный характер управления, и на основе знака этой функции можно для фирмы рассчитать оптимальные вложения в рекламу. В нашем случае функция переключения определяется следующим образом:
■ дифференциальные уравнения сопряженных переменных исходя из (13), (17):
'< ^ 1 ( 5 ) = -V 1 ( 5 ) G y (0) F xx ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 )) -
-
- F x , ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 )) -
-
- j ( V 1 ( t ) G yt ( t - 5 ) F x _ ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 ))) dt ,
-
3 4 ^ 2 ( 5 ) = - V 1 ( 5 ) G y (0) F x 2 ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 )) - (24)
-
- F x 2 ( x i ( 5 ), x 2 ( 5 )) -
- T
-
- j ( V 1 ( t ) G yt ( t - 5 ) F x 2 ( x i ( 5 ), x 2 ( 5)))dt , 5
[ у / з ( 5 ) = 0.
Решение краевой задачи (23), (24) представляет из себя довольно сложную проблему, так как в общем случае система не имеет аналитического решения и требуется применение численных методов решения интегро-дифферен-
циальных уравнений. В частности, для задачи (4), (13), (14) можно использовать метод параметризации, расширенный на данный класс задач в работе [6].
Рассмотрим частные случаи модели (4), (13), (14), когда функция выручки F ( X i ( 5 ), x 2 ( 5 ))
линейна по переменным X i , x 2 -
Линейные модели оптимального управления рекламными расходами
Пусть в обоих случаях зависимость реакции потребителей на рекламное воздействие и предыдущие покупки представлена в линейной форме — выручка фирмы в текущий момент времени равна сумме накопленных эффектов воздействия рекламы и предыдущих продаж:
y ( t ) - F ( x ( t ), x 2 ( t )) - v ( t ) + w ( t ). (25)
При этом с учетом известных значений
У 1 ( Т ) и у 2 (T ) из (23) система уравнений (24) принимает следующий вид:
V i ( 5 ) = - V i ( 5 ) G y (0) - 1 - T ( V i ( t ) G y t ( t - 5 )) dt ,
’ V 2 ( 5 ) = V 1 ( 5 ), (26)
V 3( 5 ) = 1
Рассматривая поставленную задачу при условии, что функции G u ( т ) и G y ( т ) определены формулами (5), (6), для нахождения решений интегро-дифференциального уравнения из (26) можно, например, обратиться к методу Эйлера численного решения дифференциальных уравнений. При этом для расчета интегральной части уравнения из системы (26) можно применить, к примеру, одну из квадратурных формул.
Таким образом, задав необходимые параметры и подставив численно выраженные слагаемые в интегро-дифференциальное уравнение из (26), определяют все значения функций сопряженных переменных, после чего можно перейти к (21) и нахождению оптимальной рекламной стратегии фирмы.
Рассмотрим случай, когда функции G u ( т ) и G y ( т ) представлены в виде (7), (8). Покажем, что в данном случае решение задачи можно заметно упростить. Систему дифференциальных уравнений (26) можно переписать в виде следующей системы уравнений:
- b„s bt
V i ( 5 ) = - a y V i ( 5 ) - 1 - a y b y e y J ( V i ( t ) e y ) dt ,
s
V 2( 5 ) = V i( 5 ),
V з ( 5 ) = 1-
Для решения системы (27) введем дополнительную функцию
Tb p ( 5 ) = J ( V i ( t ) eyt ) dt ,
s
при этом очевидно, что p(T ) - 0.
Из уравнения (28) выразим производную функции сопряженной переменной:
V 1 ( 5 ) = - p ( 5 ) e b y 5 + b y e b y 5 p ( 5 ), (29)
где p (5) = dp*5), p( 5) = dipt5!. d5 d52
Преобразовав интегро-дифференциальное уравнение из (24) путем подстановки (28) и (29), получим следующую систему уравнений:
p(5) = -(p(5)e-by5(ay - by) - 1 - aybye-by5p(5))eby5, < p (T) = 0, p (T) = 0. (30)
После решения системы (30), определения первой и второй производных функции p ( 5 ) находятся решения системы уравнений (27) и решение (21), рассчитываются оптимальные затраты на рекламу исходя из (22).
Для определения полученной суммарной прибыли на плановом периоде в соответствии с (1), (10), (25) и рассчитанными оптимальными затратами на рекламу можно также воспользоваться одним из известных численных методов расчета определенных интегралов.
-
1. Jian Huang, Mingming Ltng, Liping Liang. Recent Developments in Dynamic Advertising Research // European Journal of Operational Research, vol. 220, Issue 3, 01.08.2012, p. 591—609.
-
2. Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность : учеб. : пер. с англ. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
-
3. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсивное управление с приложениями. М. : Физмалит, 2000.
-
4. Дмитрук А. В., Осмоловский Н. П. Необходимые условия слабого минимума в задачах с интегральными уравнениями // Тр. 12 Всерос. совещ. по проблемам управления. М., 2014. С. 709—713.
-
5. Лутошкин И. В. Моделирование отдачи от частоты рекламных воздействий // Прикладная эконометрика. 2010. № 3(19). С. 101—111.
-
6. Лутошкин И. В. Оптимизация нелинейных систем с интегро-дифференциальными связями методом параметризации // Изв. ИГУ. Сер. Математика. 2011. Т. 4, № 1. С. 44—56.
-
7. Лутошкин И. В., Ямалтдинова Н. Р. Инновационные технологии управления на основе динамического моделирования рекламного бюджета // Тр. 5-й Всерос. науч.-практич. конф. с междунар. участием «Региональная инновационная экономика: сущность, элементы, проблемы формирования». Ульяновск, 2014. С. 43—46.
-
8. Лутошкин И. В., Ямалтдинова Н. Р. Модель оптимизации рекламных расходов с учетом распределенного запаздывания // Сб. тр. 4-й Междунар. науч.-практич. конф. «Математика, статика и информационные технологии в экономике, управлении и образовании». Тверь, 2015. С. 84— 89.
Список литературы Применение принципа максимума в задаче управления рекламными расходами
- Jan Huang, Mingming Ltng, Liping Liang. Recent Developments in Dynamic Advertising Research//European Journal of Operational Research, vol. 220, Issue 3, 01.08.2012, p. 591-609.
- Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность: учеб.: пер. с англ. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
- Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсивное управление с приложениями. М.: Физмалит, 2000.
- Дмитрук А. В., Осмоловский Н. П. Необходимые условия слабого минимума в задачах с интегральными уравнениями//Тр. 12 Всерос. совещ. по проблемам управления. М., 2014. С. 709-713.
- Лутошкин И. В. Моделирование отдачи от частоты рекламных воздействий//Прикладная эконометрика. 2010. № 3(19). С. 101-111.
- Лутошкин И. В. Оптимизация нелинейных систем с интегро-дифференциальными связями методом параметризации//Изв. ИГУ. Сер. Математика. 2011. Т. 4, № 1. С. 44-56.
- Лутошкин И. В., Ямалтдинова Н. Р. Инновационные технологии управления на основе динамического моделирования рекламного бюджета//Тр. 5-й Всерос. науч.-практич. конф. с междунар. участием «Региональная инновационная экономика: сущность, элементы, проблемы формирования». Ульяновск, 2014. С. 43-46.
- Лутошкин И. В., Ямалтдинова Н. Р. Модель оптимизации рекламных расходов с учетом распределенного запаздывания//Сб. тр. 4-й Междунар. науч.-практич. конф. «Математика, статика и информационные технологии в экономике, управлении и образовании». Тверь, 2015. С. 84-89.