Применение принципа согласованности оценок в задаче идентификации моделей цветовоспроизведения

' Самарский государственный аэрокосмический университет

• ² Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара

Решается задача идентификации параметров модели цветовоспроизведения. Метод опирается на так называемый принцип согласованности оценок, позволяющий строить оценки в условиях априорной неопределенности, связанной с тем, что число наблюдений на исходных образцах изображений мало. Разрабатываемый метод может применяться как для формирования изображений наиболее точно воспроизводящих цвет при офсетной печати, так и для создания электронных коллекций изображений, интернет-ресурсов и др.

Постановка задачи

Рассматривается задача построения модели цветовоспроизведения, позволяющий на каждом этапе допечатной подготовки адекватно отображать цветовой состав изображения. В пространстве спектральных коэффициентов отражения печатных оттисков (в дальнейшем называемых спектрами) эта задача формализуется следующим образом. Пусть задана модель, характеризующая зависимость спектра смеси красок r от вектора искомых концентраций c = (c i ), i = 1,n красок, входящих в смесь:

г = F ⁽a,Г р ,r pi ) ,               (1)

где R p - спектр отражения печатной основы, R спектр стопроцентной концентрации i-той краски, входящей в смесь, лежащей поверх основы.

Введем в рассмотрение так называемое цветовое пространство Lab, координаты которого определяются соотношениями [1,2]:

L = 116 f (Y/Yn) -16,(2)

a = 500[( f (X /Xn) - f (Y/Yn)],(3)

b = 200[ f (Y/Yn ) - f (Z / Zn )],(4)

где Xn = 96,422; Yn = 100; Zn = 82,521, f (t) = t1/3 при t < 0,009 и f (t) = 7,7867t +16/116 при t > 0,009. (5)

Координаты цвета в пространстве XYZ определяются через спектр отражения образца R ( k ) как:

X = k Г S(l)x(l) R (l)dl,

Jл

Y = k[ S(l)y(l)R(l)dl,        (6)

J л

Z = k [ S(l)z(l)R(l)dl

л где k = 100/ [ S(l)y(l)dl, S(X) - спектраль-л ный состав излучения от источника освещения; из некоторого набора стандартизированных спектров для типичных источников, а x(X), y(X) и z(X) - так называемые кривые сложения, характеризующие чувствительность глазных рецепторов человека.

Количественной мерой различия между цветами является цветовой контраст. Он определяется как расстояние между точками, в цветовом пространстве Lab [1, 2]:

ДЕ = V( AL ) ² + ( Да ) ² + ( Ab ) ² ,       (7)

где AL = L - L , Да = а. - а, , Ab = b. - b. , а ij ij ij

• L, a., b, L j , a . , b. - координаты i-го и j-го цвета соответственно. Единичное расстояние в пространстве Lab совпадает с порогом цве-торазличения человеческого зрения.

Качество модели (1) характеризуется величиной цветового контраста AE между реальным цветом красочной смеси и цветом, оцененным с использованием модели. Зада- ча заключается в нахождении вида и параметров модели, обеспечивающих минимальную разницу в пространстве Lab между реальным и рассчитываемым значением цвета красочной смеси. Для этого решается задача минимизации функционала, полученного на основе соотношения (7):

_ ^)                        ^)                    1^_ ^с

(( L - L ( п ))² + ( а -^_( п ))² + ( b - b ( n ))² . (8) q

Здесь (L, a, b) - координаты цвета, полученные на обучающей выборке, (L, a, Ь) - рассчитанные по формулам (2-6) с использованием модели цветовоспроизведения (1).

Проблема заключается в том, что задача оценки векторного параметра c должна решаться по малому числу обучающих образцов. Объективной причиной этого является не только высокая стоимость цветных тестовых изображений (хотя и это существенно), но, главным образом, то, что не для всех базовых красок существуют тестовые шкалы для измерения спектров. Традиционно задача оценивания параметров решается в рамках статистической теории. При малом числе наблюдений использование стандартных априорных вероятностных гипотез не вполне правомерно.

В настоящей работе рассматривается общая схема и пример решения сформулированной задачи на основе так называемого принципа согласованности оценок. Используемые в рамках этого принципа критерии не требуют задания априорных вероятностных моделей ошибок измерений.

Общая схема решения задачи на основе принципа согласованности

Для описания зависимости типа (1) широко используется линейная модель вида r = Xc +^,              (9)

• ^гд^е Х= ^[ r T _р , r T_pp r T_p2, r Tpi2 , .J ^{- NxM мат-}рица, компоненты которой суть измеренные спектры заданных концентраций базовых цветов, а c =[c₀ ,c₁,c₂, c₁₂, ...] искомый Nx1-вектор параметров модели.

Задача заключается в построения оцен ки c вектора параметров c уравнения (9) по доступной для непосредственного наблюдения NxM - матрице X и Nx1 - вектору r (N>M), при неизвестном Nx1-векторе ошибок измерений £.

Предполагается, что соответствующая уравнению (10) точная модель оцениваемой системы:

r * = Xc (10)

где r * = _r — ^ существует. Ясно, что равенство (10) выполняется также для всех подсистем меньшей размерности, сформированных из строк системы (9). Опираясь на это свой

)

ство, простейшая схема отыскания оценки c вектора параметров c уравнения (9) на осно ве принципа согласованности строится следующим образом.

С использованием строк системы уравнений (9) строятся переопределенные системы меньшей, чем исходное матричное уравнение (10) размерности k. Максимальное число таких систем будет равно числу сочетаний из N по k, где M

)

Пусть c_{k q} - оценка, полученная для Q-й подсистемы K-го варианта, а W_k[c_k] - функция, характеризующая взаимную близость решений c_kq, полученных для различных подсистем на K - м варианте. Задается также критерий отбора наиболее подходящих вариантов по значениям полученных функций близости W_k [с_{k q} ]. Искомое решение задачи

)

является точечной оценкой c, вычисленной в соответствии с заданным критерием на вариантах, для которых функция взаимной близости удовлетворяет критерию отбора.

В рамках принципа согласованности могут быть заданы различные функции взаимной близости, критерии отбора вариантов

(по вычисленным значениям функций взаимной близости), а также критерии построения точечных оценок на отобранных вариантах. В частности, в работе [6] рассматривалась функция взаимной близости решений c на множестве подсистем вида:

Wk [) k q^]=^*/|^Cq,i ^—Ц ,           (11)

q=1

№          ci =T.L cqi            ⁽¹²⁾

Q q=1

- i-я компонента вектора c, вычисленного путем усреднения оценок {ck}, вычисленных на вариантах, для которых значения функции взаимной близости Wk [ck q ] оказались менее заданного порога. а ck q - i -е компоненты вектора оценок с, полученные в результате решения q-й подсистемы k-го варианта. При этом искомая точечная оценка определяется путем усреднения оценок полученных на этом варианте.

Данный критерий интегральный, т.е. его значение в некоторой точке зависит от значения во всех остальных точках. Таким образом, при переборе, с появлением нового варианта должен происходить пересчет значений критерия для всех предыдущих вариантов. На практике это приведет к значительным затратам памяти и увеличению вычислительной сложности.

Точечные критерии вроде (8) лишены этого недостатка. Однако при использовании (8) вычисляется не близость значений оценок, а ошибка аппроксимации целевой функции. Расчет ошибки аппроксимации невозможен при экстраполяции, что является существенным недостатком критерия (8).

Критерий (11) представляет собой откло-

)

нение оценки ck _q от среднего значения, полученное по выборке. Оптимальное значение оценки по этому критерию можно заменить на точечную оценку выборочного среднего ci. Возможно рекуррентное вычисление выборочного среднего как:

)

• -    ⁽ⁱ — Dci—l ⁺ck, q

ci =-----------:----------.

i

Рассчитанное таким образом для всех переопределенных систем среднее принимается за оценку параметров системы (10). В предположении непрерывности изменения ошибки аппроксимации такая оценка должна быть оптимальной по критерию (11).

Другой способ использования приближения критерия (11) это расчет среднего и пересчет в связи с этим значения W_k [c_{k q} ] не для всех c_{k q}, а для некоторого набора значений, на предыдущих итерациях показавших лучшее значение критерия. Такое приближение также основано на требовании непрерывности. Это приближение может использоваться при генетических алгоритмах поиска переопределенной системы дающей оптимальное значение оценки.