Применение теоретико-группового анализа для аттестации электродинамических сейсмоприемников ускорений

Датчики сейсмических колебаний — сейсмоприемники преобразуют механические смещения частиц грунта в точке наблюдения под действием сейсмической волны в электрический сигнал. Основными характеристиками электродинамических сейсмоприемников являются собственная частота, степень затухания, коэффициент преобразования и коэффициент нелинейных искажений [1, 2].

В настоящее время в России и за рубежом серийно выпускаются сейсмоприемники скорости, преобразующие перемещение грунта в электрический сигнал, пропорциональный скоростям этих перемещений (степень затухания меньше единицы). Для определения их параметров существуют методики и оборудование (например, SMT-100, SMT-150 фирмы SENSOR) [3]. Однако развитие вычислительной техники для регистрации и обработки сейсмической информации выявило некоторые недостатки этих сейсмоприемников, ограничивающие использование всех возможностей современного телеметрического канала [3].

Ряд недостатков электродинамических сейсмоприемников скорости устраняет электродинамический сейсмоприемник с выходным сигналом, пропорциональным ускорению перемещения его корпуса. В подобных электродинамических сейсмоприемниках ускорения пропорциональность выходного сигнала второй производной входного перемещения достигается за счет высокой степени затухания, превышающей критическое значение. В сейсмоприемнике со степенью затухания в несколько единиц выходной сигнал становится пропорциональным ускорению перемещения корпуса в частотном диапазоне тем более широком, чем больше степень затухания [3].

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СЕЙСМОПРИЕМНИКОВ

Требование повторяемости регистрации сигналов с необходимой точностью, а также единства получаемых результатов делает необходимым осуществление метрологического обеспечения сейсмического канала, без которого сегодня немыслимо дальнейшее развитие сейсморазведки [4]. Осуществление метрологического обеспечения сейсморазведочной аппаратуры до последнего времени в значительной степени сдерживалось тем, что сейсморазведочная аппаратура не относилась к средствам измерений, а считалась средством регистрации, не отмеченным государственным или отраслевым стандартом.

Концепция сейсмического канала как единой измерительной системы была изложена в работе [4]. Контроль качества получаемых результатов, обеспечивающий необходимую геологическую информативность сейсмических временных разрезов, достигается путем проведения периодических поверок и калибровок канала (или его звеньев) с помощью специального эталонного оборудования, в процессе которых подтверждаются значения основных технических параметров, определяющих погрешность проводимых измерений.

Поэтому в настоящее время для сейсморазведочной аппаратуры особенно актуальными стали вопросы создания поверочных схем и эталонов.

ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СЕЙСМОПРИЕМНИКОВ ВЕРТИКАЛЬНЫХ

УСКОРЕНИЙ

Как было отмечено в [3], основная проблема разработки электродинамических сейсмоприемников ускорений состоит в том, чтобы создать наибольшую степень затухания в преобразованном блоке с приемлемыми габаритными размерами и массой. Однако при большой степени затухания выходные сигналы сейсмоприемника настолько изменяются (переходная характеристика СВУ-1 является апериодической), что использование существующих методов их измерения (по затуханию сигналов свободного движения, по наблюдениям максимумов выходных сигналов и т.п.) становится невозможным [5, 6]. Кроме того, аппаратура, применяемая при испытаниях, зачастую нетранспортабельна из-за больших размеров и массы.

Предлагаемый метод определения параметров сейсмоприемников базируется на использовании комплекса для определения параметров сейсмоприемников ускорений, который был аттестован в органах Госстандарта (ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) по государственным эталонам. Основным элементом комплекса для испытаний сейсмоприемников является вибростенд, который представляет собой эталон первого разряда.

Рассмотрим сейсмоприемник ускорений с пассивной коррекцией, установленный на вибрирующем с частотой f основании (без электрических обратных связей). Уравнение движения чувствительного элемента (ЧЭ) такого сейсмометра, имеет вид:

mx" + hx ‘ + cx = ma ro ² sin to t , (1)

где m — масса ЧЭ; x — перемещение ЧЭ; x' = — d t

x и x = —---скорость перемещения ЧЭ и его ус-dt2

корение; h — коэффициент демпфирования ЧЭ, пропорциональный x' ; с — коэффициент упругого сопротивления ЧЭ; a и ω — амплитуда перемещения и круговая частота гармонических колебаний корпуса прибора c частотой f.

Уравнение (1) при любых параметрах сейсмоприемника удобно рассматривать в виде:

x " + 2 в x ‘ + to 02 x = a to ² sin to t ,            (2)

где в — степень затухания сигнала, 2 в = h/m ; to ₀ — круговая частота собственных колебаний прибора, to ₀ = ^c/m .

Решение (2) известно, в том числе и при значительном демпфировании. Выражение для вынужденной составляющей движения ЧЭ можно записать в виде x=

a to ²

д/ ( го 02 - го ²)² - 4 eto²

sin( to t + ф ),

где ф — фаза вынужденных колебаний:

2 вго ф = arctg—----_г.               (4)

to ² - to ₀ ²

Свободная составляющая движения ЧЭ, зависящая от неопределенных начальных условий x ₀ и x 0 затухает. Вынужденная составляющая стационарна, т. к. колебания с частотой to = 2 п f можно поддерживать постоянно, установив, например, прибор на вибростенд. Уравнение (3) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сейсмоприемника, а уравнение (4) является его фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

ГРУППЫ СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СЕЙСМОПРИЕМНИКА

Зависимость между сейсмоколебанием на входе сейсмоприемника, или вектором X , и электрическим сигналом на выходе сейсмоприемника, или вектором Y , обозначим через вектор ф :

Y = ф ( Х , т ),                     (5)

где т ( т 1 , т ₂,., T _m ) — вектор-функция влияния, т.е. влияние систематических амплитудных, фазовых и частотных погрешностей измерений.

Оператор обращения приводит выходную величину Y к входной величине X путем воздействия на Y обратным (известным) отображением ф - * ( Y ). Прямое ф ₀ и обратное ф - 1 отображения производятся при заданных значениях т ₀( т ₀₁, т ₀₂,..., т _{0 m} ), которые соответствуют нормируемым метрологическим характеристикам средств измерений. Например, на вход сейсмоприемника можно подать сигнал с вибростенда, который был аттестован в органах Госстандарта по государственным эталонам (ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) и является эталоном первого разряда. Тогда можно записать

X = ф 0 ^{- 1} [ ф ( X , т ) ] ,                  (6)

где X — результат приведения выходного сигнала Y к входному сигналу X с помощью обратного отображения ф - 1 для номинального (известного) отображения ф ₀ ( ф - 1 — это функции, обратные ф , взятые при условии, что вектор функций влияния равен нулю т = 0 ).

Обозначим композицию векторов ф - 1 ° ф = g , тогда можно записать в векторной форме

X = g ( X , т ). (7)

Выражение (7) и есть измерительные преобразования, т. к. состоят в отображении X на себя, а устройство, реализующее эти преобразования, — измерительный преобразователь.

Рассмотренная модель взаимно-однозначных измерительных преобразований g удовлетворяет аксиомам теории групп (это легко проверить). И следовательно, измерительные преобразования (7) образуют многомерную многопараметрическую непрерывную группу G точечных преобразований. Согласно [7], если рассмотренная модель измерения (2) есть инвариант группы (7), то измерения на уровне модели осуществляются без погрешностей (в смысле т = 0).

Таким образом, нужно решить задачу синтеза, которая заключается в том, что для заданного класса объектов требуется найти множество преобразований g , сохраняющих неизменными заданные функции. Т. е. задано свойство, уравнение (2), описывающее движение ЧЭ сейсмоприемника. Нужно построить группу симметрий уравнения (2), передающую это свойство без искажения, т.е. обеспечить равенство

I ⁽ ~ 1 ^,~ 2 ^,-"^,t n ) = I ^{( x} 1 , ^x 2 >- ^x n ) ⁽⁸⁾

при влияющих неконтролируемых параметрах т 1 , т ₂, ..., т _т , относительно которых известны лишь границы (интервалы) их возможных изменений. Искомая группа симметрий действует в пространстве переменных ( t , x ):

t = t + $ ( t , x ) т , ~ = x + n ( t , x ) т .

Уравнение (2) должно быть инвариантно относительно дважды продолженной группы с оператором

∂∂

U = $ ( t , x ) — + n ( t , x ) — +

• 2 d t d x

d             , „ d (10)

+ Z 1(t, x, x‘) —- + Z2 (t, x, x‘, x‘‘) —7. ∂x∂

Уравнение (2) в пространстве переменных (t, x, x‘, x‘‘) определяет гиперплоскость w = x ‘‘+ 2 в x ‘ + to 2 x - ato2 sin mt = 0,(11)

условие инвариантности которой

Uw = 0 при w = 0.(12)

Применим, согласно [8], алгоритм поиска координат инфинитезимального оператора (алго ритм Ли), допускаемого уравнением (2), которое запишем в разрешимом виде x‘‘ = f (t, x, x‘). Тогда для f = ato2 sin tot - 2 в x ‘-to 2 x          (13)

определяющее уравнение будет иметь вид:

n_tt + (2 n _tx - ^ _tt ) x ‘ + ( n _xx - 2 ^ _tx ) x' ² - ^ _xxx ^,3 +

+ ( n _x - 2 ^ _t - 3 x '^_х )( a to ² sin to t - 2 в x' - to 2 x ) -

• ^{-    ( n} t ^{+ ( n} x ^- ^ t ) ^x' ^- ^ x^x' ^{2 )( - 2 в} ) ^-

• -    £ ( a to ² cos to t • to ) + nto 02 = 0.

Левая часть этого уравнения является многочленом третьей степени относительно переменной x' . Поэтому определяющее уравнение "расщепляется" на следующие четыре уравнения, получае -мые приравниванием нулю коэффициентов при у различных степенях x :

( x ‘ )³: ^ xx = 0,

^{( x ,)2}: n xx ^{- 2} ^ tx ^{+ 4}^ x = ⁰

^{( x} ') ^{: 2} n tx ^- ^ tt ^-

• - 3 ^ _x ( a to ² sin to t - to 0 x ) +                (14)

+ ( n x - ^ t )2 в = 0,

( x ‘ )⁰ : n _tt + ( n _x - 2 ^ _t )( a to ² sin to t - to 02 x ) +

+ n _t 2 в - ^ a to ² cos to t + nto 0 = 0.

Из первого уравнения интегрированием по x получаем:

^ = а ( t ) x + b ( t ) + c .

Предположим, что $ линейная функция t и x , тогда

ξ= ax+bt+c и ^tx = 0, и ^x = a . Третье и четвертое уравнения из (14), в соответствие с (11), можно записать:

(x‘) : 2ntx - ^tt - 3^x(x‘‘+ 2в x‘) +

+ ( n x - ^ t )2 в = 0,

^{( x} ‘ ^{)0 :} n tt ^{+ (} n x ^{- 2} ^ t ^{)( x}" ^{+ 2 в x} ‘ ) ⁺

+ n _t 2 в - ^ a to ² cos to t + nto 02 = 0.

Из третьего уравнения получаем, что ^ _x = 0, следовательно, ^ _x = a = 0. Поэтому из второго уравнения получим n _xx = 0, и, проинтегрировав это уравнение по x , можно записать:

П = k ( t ) x + m ( t ) + 1 ;

но n — линейная функция t и x , тогда

1 1 = x , 1 2 = t ,

I 3

t1

x ’

П = kx + mt + 1 .

Из четвертого уравнения следует, что П _х - 2 ^ t = 0; из этого условия находим к = 2 b . Следовательно, общее выражение для инфинитезимального оператора U для пространства переменных ( t , x ) будет таким:

U = ( bt + c ) — + (2 bx + mt + 1 ) — = ^zd t ^{x                  z}d x

два из которых образуют функционально независимый базис. Из этих инвариантов можно построить три инвариантные функции Ф 1 ( 1 1 , 1 ₂), Ф ₂( 1 1 , 1 ₃), Ф ₃( 1 ₂, 1 ₃). Следовательно, можно построить общий вид функций, инвариантных относительно групп измерительных преобразований для уравнения (2), т. е. можно построить функции с априорной симметрией.

Запишем базис операторов уравнения (2) для пространства переменных ( t , x , x', x ‘‘ ):

где

= cU 1 + 1U ₂ + mU ₃ + bU ₄,

U 1 = —, U ₂ = —, д t д x

тт д д

U. = t — + 2 x --, ⁴ д t д x ’

U ₃ = t — , д x

U 1	д = д t ,	u2 =— , U^ 2             ,         3 д x	=— U =л_ ,4 д x         д x
U 5	= _д_ д x '	д ' U 6 = t л , д x	U 7 = t , д x

дд д д

U_s = t — + 2 x ---+ 2 x ---- + 2 x ----.

8 д t д x д x'       д x"

c , 1 , m , b — постоянные.

Первые два оператора

определяют группу

трансляций (переносов), третий — группу Галилея и четвертый — группу неоднородных растяжений (изменение масштабов).

Инфинитезимальные операторы (15) являются базисом операторов уравнения (2) для пространства переменных ( t , x ). Следовательно, уравнение движения ЧЭ сейсмоприемника (2) будет инвариантно по отношению к преобразованиям групп трансляций, растяжений и группы Галилея.

Запишем найденные группы и инварианты для рассмотренного уравнения движения ЧЭ сейсмоприемника (2) для пространства переменных ( t , x ) .

Для группы трансляций измерительное преобразование имеет вид: трансляция по времени —

Первые четыре оператора — операторы группы трансляций, пятый, шестой и седьмой — операторы группы Галилея, восьмой — оператор группы неоднородных растяжений.

В силу линейности уравнения (2) движения ЧЭ сейсмоприемника алгебра симметрий уравнения второго порядка будет иметь максимальную размерность r = 8 [9]. Отметим, что операторы группы вращений не входят в эту алгебру. Т. е. уравнение (2) не будет инвариантно по отношению к поворотам.

~

~

t = t + т 1 , x = x ; трансляция по перемещению — t = t , ~ = x + т ₂. Инварианты для этого измерительного преобразования: I 1 = x , 1 ₂ = t .

Для группы Галилея измерительное преобразование для пространства переменных ( t , x ) имеет

t

вид: t = t , x = x + т ₂ t ; инвариант

для этого из-

мерительного преобразования — 1 ₃ = t .

Для группы неоднородных растяжений

~ т                    Тт-, t = te 1, x = xe 2: инвариант для этого измери-

тельного преобразования — I ₄

Г 2

x

Таким образом, мы получили три возможных

инварианта

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, с помощью аттестованного вибростенда (эталона первого разряда) можно провести аттестацию сейсмоприемника вертикальных ускорений (эталона второго разряда), используя который можно проводить аттестацию сейсмоприемников в полевых условиях. Причем уравнение движения ЧЭ сейсмоприемника будет инвариантным по отношению к преобразованиям групп трансляций, растяжений и группы Галилея.

Предложенный метод был разработан для определения параметров электродинамических сейсмоприемников вертикальных ускорений СВУ-1, производство которых освоено на ФГУ НПП "Геологоразведка". Область применения сейсмоприемников СВУ-1: высокоразрешающая сейсморазведка, исследования нефтегазоносных структур, изучение рудных месторождений, решение задач инженерных изысканий. Этот новый электродинамический сейсмоприемник повышает разрешающую

способность сейсморазведки, имеет более высокую чувствительность по сравнению с применяемыми электродинамическими приемниками и широкую полосу пропускания.