Применение теории простых чисел в построении комплексного показателя качества текстильных материалов с полимерным покрытием

DOI:

Появление новых текстильных материалов с полимерным покрытием сопровождается ростом требований к их качеству (Турусбекова Н.К., Суйналиева Б.Б., 2018), что делает объективную оценку потребительских свойств необходимым условием обеспечения надежности и конкурентоспособности таких материалов (Pustianu M. et al., 2022).

Традиционный подход к оценке качества текстильных материалов заключается в исследовании множества единичных показателей (Дарханова А.Т., Айтуленова К.Т., 2018). Однако полученный набор числовых характеристик зачастую сложно интерпретировать для принятия решения о пригодности материала, что затрудняет работу технологов при выборе образцов (Беликова В.Д. и др., 2025). Решением данной проблемы является переход от анализа единичных показателей к использованию комплексных оценок качества (Чагина Л.Л., 2015). В квалиметрии используются различные подходы к построению комплексных показателей качества (Шустов Ю.С. и др., 2016). Средневзвешенные арифметические показатели применяются, когда единичные показатели имеют одинаковую размерность или приведены к безразмерному виду, а также когда предполагается линейная компенсация между ними. Средневзвешенные геометрические показатели используются, когда нежелательна прямая компенсация (низкое значение одного показателя не может быть полностью скомпенсировано высоким значением другого). Средневзвешенные гармонические показатели применяют при значительном разбросе значений единичных показателей и, если важно, чтобы не было низких значений ни по одному показателю (Лунькова С.В. и др., 2015; Рудовский П.Н. и др., 2006). Преимущество метода комплексной оценки заключается в наличии одной числовой итоговой оценки вместо нескольких (Добровольская Т.А., Маслова А.А., 2021).

Актуальность разработки комплексного показателя обусловлена необходимостью создания удобного инструмента для оценки качества тканей с полиуретановым покрытием. Наиболее распространенным подходом является подсчет комплексного показателя через вычисление средневзвешенного арифметического.

Несмотря на широкую распространенность, обусловленную простотой вычислений и интерпретации, применение средневзвешенного арифметического для оценки текстильных материалов сопряжено с рядом ограничений, которые ставят под сомнение достоверность результатов в ряде задач. Во-первых, недостатком является возможность компенсации низкого уровня одного показателя за счет высокого уровня другого. Например, низкая стойкость к истиранию полимерного слоя материала может быть скомпенсирована высокими показателями воздухопроницаемости и жесткости. В рамках требований к текстильным материалам, где отдельные свойства являются важными и регламенти- руются нормативными документами, подобная компенсация приводит к необъективному завышению оценки и не позволяет выявить образцы, непригодные к эксплуатации по одному из параметров. Во-вторых, располагая значением комплексного показателя качества, полученного по существующим методикам, невозможно перейти от него к тому набору значений единичных показателей, которые использованы при его подсчете. Это ограничивает информативность показателя и обусловливает отказ от его применения во многих практических задачах.

Таким образом, несмотря на свою простоту, метод комплексирования через вычисление средневзвешенных оценок несет в себе риск потери информации о свойствах материала и усреднения важных свойств. Это обуславливает необходимость разработки и применения альтернативных методов комплексной оценки, лишенных указанных недостатков.

Целью работы является разработка и обоснование метода построения комплексного показателя качества текстильных материалов с полимерным покрытием с применением теории простых чисел.

Объект и методы исследования

В качестве исследуемых образцов использовали хлопчатобумажные ткани саржевого переплетения с нанесенным на них пористым полиуретановым слоем одежного назначения (Республика Беларусь). Для исследования паропроницаемости материалов использован гравиметрический метод, реализованный с помощью анализатора влажности «Radwag» М-50 (Марущак Ю.И., Ясинская Н.Н., 2024). Воздухопроницаемость определяли в соответствии с ГОСТ 12088-77 «Материалы текстильные и изделия из них. Метод определения воздухопроницаемости». Стойкость к истиранию определяли на приборе ДИТ-М (Кудринский С.В., Тюрин И.Н., 2022). Жесткость тканей с покрытием определяли на приборе ПЖУ-12М, при проведении измерений руководствовались ГОСТ 8977-74 «Кожа искусственная и пленочные материалы. Методы определения гибкости, жесткости и упругости». Жесткость материала проявляется в двух направлениях, однако для получения обобщенной характеристики использовано среднее арифметическое значений жесткости в продольном и поперечном направлении (Марущак Ю.И., Ясинская Н.Н., 2024).

Для комплексной оценки качества текстильных материалов с покрытием предложен метод, основанный на кодировании единичных показателей простыми чис- лами.

Согласно основной теореме арифметики, любое целое натуральное число может быть единственным образом представлено как произведение целочисленных степеней простых чисел (Гриценко С.А., Шевцова М.В., 2011). То есть если Y – представляемое число, то его можно записать в виде

Y = 2 x . 3 x 2 . 5 x . 7 x 4 . ... , (1)

где 2, 3, 5, 7… – последовательно возрастающие простые числа, являющиеся основанием степени; Х_i – значения целочисленных степеней простых чисел.

Традиционный подход к комплексной оценке качества требует назначения весовых коэффициентов, которые определяются экспертным путем, что вносит элемент субъективизма. Незначительное изменение весов (например, 0,4 вместо 0,35) может изменить итоговое ранжирование образцов, а результаты разных экспертных групп зачастую плохо воспроизводятся. Метод на основе простых чисел предполагает вместо численных весов использовать закрепление за каждым единичным показателем качества простого числа. При этом простые числа выступают как математически фиксированные веса через натуральные логарифмы.

Для закрепления простых чисел за единичными показателями предложено следующее правило, учитывающее относительную важность единичных показателей качества. Пусть i – количество единичных показателей качества, включенных в комплексную оценку. Тогда в качестве оснований степеней используются первые i простых чисел, взятых в порядке возрастания (2, 3, 5, 7, 11…). На основе нормативных требований, пожеланий заказчика или экспертного мнения показатели ранжируются по значимости. Наиболее значимому присваивается наибольшее простое число из выбранного ряда, наименее значимому – наименьшее простое число. При таком назначении изменения наиболее важного показателя вносят максимальный вклад в комплексный показатель. Выбор последовательных простых чисел обеспечивает воспроизводимость методики и позволяет легко масштабировать подход на любое количество показателей.

Проведенные ранее исследования (Марущак Ю.И., Ясинская Н.Н., Петюль И.А., 2023) позволили сформировать номенклатуру показателей качества тканей с полиуретановым покрытием и выделить среди них четыре наиболее значимых: воздухопроницаемость, паропро- ницаемость, жесткость и стойкость к истиранию. В данном случае за каждым единичным показателем закрепляем простое число в соответствии с вышеописанным правилом: воздухопроницаемость V – 7, паропроница-емость P – 5, жесткость G – 3, стойкость к истиранию I – 2.

Для перехода от значений единичных показателей качества, выраженных в натуральных единицах или единицах физических величин, к целочисленным значениям предлагается следующий подход. Весь диапазон возможных значений показателя качества разбивается на интервалы, которым присваиваются порядковые номера градации. Для показателей, рост численных значений которых соответствует повышению качества (позитивные), ранжирование осуществляется по возрастающей шкале: наименьшему интервалу присваивается минимальный порядковый номер. В случае негативных показателей, где увеличение значения ведет к ухудшению свойства, применяется обратный порядок: наименьшему интервалу соответствует максимальный порядковый номер, а последующие интервалы получают убывающие порядковые номера. Количество порядковых номеров градации определяется требуемой точностью оценки и может варьироваться как для всего комплекса показателей, так и индивидуально для каждого из них.

Однако недостатком такого представления чисел является их громоздкость. Так, например, для случая первых трех последовательных простых чисел в степенях соответственно 12, 26 и 9 представляемое число равно

Y = 2¹² ·3²⁶ ·5⁹ = 20334926626632000000000 . (2)

Использование величины Y для сравнительного анализа и статистической обработки связано с определенными трудностями, что обуславливает необходимость перехода к логарифмическому представлению полученного числа ln(Y) = (ln2) ■ x + (ln3) ■ x2 + (ln5) ■ x3 +.... (3)

Для задач сравнения и ранжирования объектов допустимы строго монотонные преобразования исходных показателей, поскольку они сохраняют порядок следования объектов. Функция y = ln(x) является строго монотонно возрастающей на всей области определения x > 0. Следовательно, для любых двух образцов с показателями Y₁ и Y₂ справедливо

Y i > Y 2 , ln(Y i ) > ln(Y₂) . (4)

Таким образом, ранжирование материалов по величине ln(Y) эквивалентно ранжированию по исходному показателю Y (Корнеенко В.П., 2019). Переход к логарифму не меняет взаимного расположения объектов в рейтинге качества. Тогда комплексный показатель вычисляется по формуле

K = exp(lnY) . (5)

В рассмотренном примере такой переход позволит получить комплексный показатель ln (20334926626632000000000) = (ln2) 12 + (ln3) 26 + (ln5) 9 = 51,37 .(6)

На сегодняшний день реализация подобных вычислений не представляет сложности, поскольку существуют стандартные программные средства, обеспечивающие как возведение чисел в степень, так и разложение числа на простые множители. При использовании предложенной модели для расчета комплексного показателя следует учитывать, что при изменении показателя степени каждого из простых чисел соответственно на единицу, разность между получаемыми комплексными показателями в логарифмическом виде составит постоянную величину, зависящую от количества простых чисел в исследуемом ряду (т. е. от числа показателей качества). Разность изменяется пропорционально числу, на которое изменяются показатели степеней простых чисел ряда. Например, при оценке объектов Y₁ и Y₂ по трем показателям, независимо от числового значения показателя степени, при увеличении его соответственно на один порядковый номер градации у всех показателей, разность между показателями ln (Y₁) – ln (Y₂) составит 3,4; при увеличении показателя степени у каждого основания соответственно на две единицы, разница ln (Y₁) – ln (Y₂) составит 6,8; на три единицы – 10,2. Для случая четырех, пяти и более показателей ситуация аналогична описанной для трех показателей, меняется лишь величина разности ln (Y₁) – ln (Y₂) . Принцип пропорционального ее изменения в зависимости от изменения на определенную величину соответствующих показателей сохраняется.

Абсолютные значения единичных показателей по разработанным шкалам переводятся в порядковые номера градации, которые являются показателями степеней простых чисел. Комплексный показатель вычисляется как логарифм произведения простых чисел, возведенных в соответствующий порядковый номер.

Экспериментальные исследования и обсуждение результатов

Общий алгоритм вычисления комплексного показателя качества согласно основной теореме арифметики представлен на рисунке 1.

Важнейшим преимуществом такого метода определения комплексного показателя является возможность его однозначного обратного разложения (факторизации) для идентификации значений единичных показателей, на основе которых получен комплексный.

Для перехода от абсолютных значений показателей качества к порядковым номерам градации разработаны шкалы, представленные на рисунке 2. Диапазон изменения значений показателей качества назначен исходя из предварительных исследований, без учета требований и ограничений стандартов. Диапазон охватывает совокупность полученных экспериментальных данных с запасом. Количество интервалов, на которые разбита область изменения значений по каждому из выбранных показателей, следовательно, и количество порядковых номеров градации, принято одинаковым для всех показателей.

Особенностью метода является возможность выбора произвольного количества порядковых номеров града- ции в зависимости от требуемой точности, увеличение числа порядковых номеров приведет к повышению чувствительности комплексного показателя. На практике единичные показатели качества материалов могут иметь неодинаковый диапазон значений и чувствительность к изменениям. Поэтому допускается индивидуальный выбор количества порядковых номеров градации для каждого показателя. Сравнение образцов между собой при этом остается корректным, поскольку шкала каждого свойства имеет собственные границы.

Для демонстрации предложенного метода рассмотрим процесс расчета комплексного показателя качества для трех образцов тканей с полиуретановым покрытием, отличающихся по своим свойствам. Значения единичных показателей и соответствующий порядковый номер [ № ] градации по шкале (рисунок 2) приведены в таблице 1.

Комплексные показатели для рассматриваемого примера, рассчитывают по формулам

YOi = 76 5 -3а-24 = 9,649* 10м, In (Y01) = 34,503,[7]

YO2 = 71 •52 З0^2 = 4,133* 107, In (Y02) = 17,537 ,(8)

YO3 = 71 S2 -37-22 = 1,530* 107 In (Y03) = 14,241 .(9)

Рисунок 1 – Алгоритм вычисления комплексного показателя качества согласно основной теореме арифметики Figure 1 – Algorithm for calculating a complex quality indicator according to the fundamental theorem of arithmetic

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 V, дм3/м2с 0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 Р, мг/см2-ч 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1, цикл 17,0 15,5 14,0 12,5 11,0 9,5 8,0 6,5 5,0 3,5 т 2 G, сН I I I 1 I I Порядковый номер

[Хк^^-Ьк^-ШлШ-Э-Ж^^^

Рисунок 2 – Шкала показателей со шкалой вводимых порядковых номеров градации Figure 2 – A scale of indicators with a scale of entered ordinal gradation numbers

Таблица 1 – Значения единичных показателей и их порядковый номер градации Table 1 – Values of individual indicators and their rank

Показатель	Значение показателя	№ градации	Значение показателя	№ градации	Значение показателя	№ градации
	Образец № 01		Образец № 02		Образец № 03
Воздухопроницаемость, дм3/м2·с	32	6	4	1	0	1
Коэффициент паропроницаемости, мг/см2·ч	15,5	7	3,1	2	2,6	2
Средняя жесткость, сН	6,7	8	2,9	10	7,7	7
Стойкость к истиранию, цикл	333	4	129	2	198	2

В основе сравнения любых образцов заложено правило: чем больше значение комплексного показателя Y , тем выше уровень качества материала. Соответственно, чем больше значение lnY , тем выше уровень качества.

Необходимо также оценить, насколько каждый из образцов приближается к некоторому эталонному уровню. В качестве эталона может выступать как реальный образец, обладающий наилучшими характеристиками среди исследуемых, так и гипотетический «идеальный» материал, значения свойств которого соответствуют максимальным порядковым номерам градации. Для количественной оценки степени приближения i-го образ- ца к эталону предлагается использовать показатель Ki, рассчитываемый по формуле:

InY j

1пУ_эт ^.

где lnY_i – значение логарифмического комплексного показателя для i-го образца; lnY_ЭТ – значение логарифмического комплексного показателя для эталонного образца.

Данный коэффициент изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к единице, тем выше качество образца и тем меньше его отставание от эталонно- го уровня. Для примера расчета в качестве эталонного образца выбраны лучшие значения единичных показателей из исследуемого ассортимента материалов. Для него комплексный показатель примет вид:

Y эт = 7⁶ ·5⁷ ·3¹⁰·2⁶ = 3,473× 10¹⁶, ln (Y эт ) = 38,087 .     (11)

Результаты количественной оценки степени приближения i-го образца к эталону представлены в таблице 2.

Для удобства анализа может быть использована предложенная градация уровней качества (таблица 3).

Количественная оценка степени приближения исследуемых образцов к эталону (таблица 2) с использованием предложенной шкалы (таблица 3) позволяет сделать следующие выводы. Образец 01 имеет значение K = 0,91, что согласно шкале соответствует высокому уровню качества. Данный материал близок к эталону, сохраняет высокие потребительские свойства и может быть рекомендован для использования. Образцы 02 и 03 попадают в категорию неудовлетворительного качества. Эти материалы отстают по совокупности свойств от эталона и не могут быть рекомендованы для использования в изделиях, где предъявляются высокие требования к единичным показателям качества. Таким образом, предложенный подход позволяет не только ранжировать образцы, но и разделять материалы на пригодные и непригодные к применению на основе их степени приближения к эталонному уровню.

Предложенная шкала интерпретации значений коэффициента соответствия K не является жестко фиксированной и может корректироваться в зависимости от конкретных задач исследования или требований, предъявляемых к материалам. Например, если для изучаемого объекта установлено минимальное пороговое значение, ниже которого материал считается непригодным к использованию, именно эта величина может быть принята за нижнюю границу шкалы. В этом случае все образцы со значениями К ниже установленного порога автоматически относятся к категории несоответствующих требованиям, независимо от того, как они распределяются относительно предложенных ранее интервалов.

Выводы

Разработан и обоснован метод комплексной оценки качества текстильных материалов с полиуретановым покрытием на основе простых чисел, который позволяет объединить множество разрозненных показателей в единый комплексный показатель. Благодаря использованию простых чисел в качестве оснований степеней обеспечена возможность однозначного обратного разложения комплексного показателя, что позволяет восстановить исходный набор единичных показателей. Это устраняет ограничение существующих методик построения комплексного показателя. В отличие от средневзвешенных методов, предложенный подход не требует назначения численных весовых коэффициен-

Таблица 2 – Результаты количественной оценки степени приближения к эталону

Table 2 – Results of quantitative assessment of the degree of approximation to the standard

Образец	K i
01	0,91
02	0,46
03	0,37

Таблица 3 – Шкала для оценки показателя K

Table 3 – Scale for assessing the K indicator

Значение K Характеристика уровня качества 1,00-0,90 Высокий 0,89-0,70 Хороший 0,69-0,50 Удовлетворительный менее 0,50 Неудовлетворительный тов. Простые числа задают вес показателя через свои логарифмы, причем эти веса математически фиксированы и не требуют согласования численных значений. Присвоение порядкового номера градации показателей осуществляется через разработанные шкалы, что повышает объективность и воспроизводимость оценки качества. Переход к логарифмическому представлению показателя позволяет избежать больших чисел, сохраняя при этом порядок ранжирования объектов. Предложен коэффициент соответствия Ki и шкала оценки уровня качества, что делает метод пригодным для практическо- го использования. На примере трех образцов тканей с полиуретановым покрытием показана работоспособность метода.

Таким образом, разработанный метод комплексной оценки качества на основе теории простых чисел является практически реализуемым. Метод обеспечивает возможность количественного сравнения образцов как между собой, так и с эталонным уровнем, а результаты вычислений легко интерпретируются и могут быть использованы для обоснованного выбора материалов на практике.