Применение теории вероятностей в экономике

В экономике, как и вообще в повседневной жизни, часто приходится сталкиваться с такими явлениями и событиями, исход которых сложно предсказать. Нельзя заранее узнать, например, объем продаж, так как имеется много факторов, оказывающих на это влияние. Но оценить вероятные объемы на основе опытных данных и спрогнозировать свою деятельность возможно.

В экономических задачах часто встречаются ситуации, когда решение проблемы укладывается в схему последовательных независимых испытаний, называемую схемой испытаний

Бернулли. Испытания Бернулли – это независимые эксперименты с двумя исходами и с вероятностью успеха, не меняющиеся от испытания к испытанию. Если вероятность p наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn (m) того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна

P n ( m ) = c m • p m • q n - m , где q = 1 - p .         (1)

Задача. Каждый четвертый клиент банка приходит в банк для снятия со своего счета процентов с вложенной суммы. В настоящий момент в кассе банка имеется очередь из 5 человек. Какова вероятность того, что только двое из них будут снимать проценты со вклада?

Решение. По условию задачи:

n = 5,

m = 2,

p = 4;

q = ^{1 -}

4,

тогда

P 5 (2) = С 52 • 7

V 4 7

f 313

V 4 7

5!    1  27 _ 4 . 5 . 27

• — • — =-------~ 0,26.

2! - 3!  16  64   2 • 16 • 64

Ответ : 0,26.

В практических задачах иногда рассматриваются события, которые могут произойти лишь при появлении ещё какого-либо события из определенной группы.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H , H ,..., H , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез

на

соответствующую условную вероятность события А :

P ( A ) = P ( H ₁) ■ P h , ( A ) + P ( H ₂) ■ P h ₂ ( A ) + K + P ( H „ ) ■ P h, ( A ),  (1.7.2)

где P ( H i ) + P ( H 2 ) +Л + P ( H n ) = 1.

Задача. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% -государственные органы, 30% - другие банки, остальные -физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность очередного запроса на кредит.

Решение. Пусть событие А - поступление очередного запроса на кредит. Гипотезы:

H - запрос поступает от государственных органов;

Н ₂ - запрос поступает от банков;

Н ₃ - запрос поступает от физического лица.

По условию задачи:

P ( H ) = 0,1; P ( Н ₂) = 0,3;   P ( Н ₃) = 1 - 0,1 - 0,3 = 0,6.

Вероятности не возврата взятого кредита:

P H ( A ) = 0,01;   Ph₂ ( A ) = 0,05;    P^ ( A ) = 0,2.

Тогда вероятность очередного запроса на кредит равна:

P ( A ) = P ( H 1 ) ■ Ph, ( A ) + P ( H ₂) ■ Ph, ( A ) + P ( H 3 ) ■ Ph₃ ( A ) = = 0,1 ■ 0,01 + 0,3 ■ 0,05 + 0,6 ■ 0,2 = 0,136.

Ответ : 0,136.

В некоторых задачах экономического содержания требуется оценить определенную величину по отношению к средней характеристике. Неравенство Маркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности того, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу

P ( x ≥ α ) ≤ ^{M ( x )} ,                    (1.7.4)

α

M ( x ) – математическое ожидание.

Задача 42. Вероятность того, что клиент, подошедший к банкомату, снимет с банковской карточки сумму, превосходящую 5000 рублей, оказалась меньше 0,6. С помощью неравенства Маркова оценить сумму денег, которую в среднем снимает клиент банкомата за один раз.

Решение. α = 5000, p = 0,6.

P ( x ≥ α ) ≤ ^{M ( x )}, α

^{M ( x )} = 0,6. 5000

M ( x ) = 3000( руб ).

Ответ : 3000 рублей.