Применение транспортных задач в электроэнергетике и решение их с помощью программы MathCAD

В последние время появились многие пакетные программы, с помощью появились возможность решения математических задач ( в том числе и других задач науки, описывающее такими же математическими моделями) без составления компьютерных программ. В учебном процесс ( иногда и в научных учреждениях) с помощью использованием таких систем как

MathCAD, Maple, Mat lab, Mathematic и.т.д. занятия становятся интереснее, осмысление содержания занятия более быстрое и глубокое а также на укрепление излагаемых пониятий и на решение задач остётся достаточно много времени. Из выше указанных систем, MathCAD-более проще чем остальные и она предназначено для технических вузов, а остальные, можно сказать, для профессиональных математиков. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественного математического виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи с помощью команд системы.

Как известно в MathCAD задачи решаются следующими способами [2]:

• -    с помощью внутренних функций MathCAD;

• -    с помощью математического алгоритма решения задача;

• -    с помощью алгоритма решения задачи, реализованного, во внутренним языке MathCAD.

Передем теперь общих вопросов к выяснению как применение транспортных задач в электро-энергетике и решение их с помощью программы MathCAD.

Транспортная задача – это задача отыскания таких путей перевозки продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость перевозок оказывается минимальной.

Математический аппарат транспортной задачи применим и к задачам электроэнергетики. Здесь под продуктом подразумевается электрическая мощность, передаваемая от источников питания к потребителям по линиям электропередачи. Источниками питания являются электрические станции или подстанции, потребителями – промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии. Оптимизации подлежат затраты на схему электрической сети, состоящей из линий электропередачи, связывающих узлы источников питания с узлами потребителей.

Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется i = 1, 2 , ... n узлов источников питания и j = 1, 2, ... m узлов потребителей. Мощность каждого из источников составляет Ai, а мощность каждого из потребителей – B j единиц мощности (е. м.). Известно взаимное расположение узлов источников и потребителей. Стоимость передачи единицы мощности от источника i к потребителю j (удельная стоимость) составляет z ij у. е. /е. м.

Общее количество возможных к строительству линий электропередачи, связывающих источники с потребителями, составляет nm . Мощности, передаваемые по этим линиям, являются искомыми переменными x ij , следовательно, количество искомых переменных составляет nm .

Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j . Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид: n

Z = E z u* x u ^ min                        (1)

i = 1

С позиций теоретической электротехники электрическая сеть является электрической цепью и для этой сети применимы все законы, известные из курса электротехники, в частности 1-й закон Кирхгофа. Для каждого i-го источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем j = 1, 2, ... m узлам потребителей, равна мощности А i этого источника:

E ^x u ^ A-                           ⁽²⁾

i = 1

Для каждого j-го потребителя сумма мощностей, притекающих по линиям от всех       i = 1, 2, ... n источников, равна мощности Bj этого потребителя

Z x y ^ B                       (3)

i = 1

Соотношения (2) и (3), представляющие собой балансы мощности в каждом из узлов, являются ограничениями при решении транспортной задачи. Общее количество ограничений равно количеству узлов источников и потребителей n + m. В рассматриваемой постановке транспортной задачи все искомые мощности xij, передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид:

x ij > 0, I = 1, 2 , ... n; j = l, 2, ... m.          (4)

Выражения (1), (2), (3) и (4) представляют собой математическую модель транспортной задачи. Видно, что выражения целевой функции (1) и ограничений (2) и (3) являются линейными.

Особенности транспортной задачи следующие:

• 1)    все ограничения имеют форму равенств;

• 2)    все коэффициенты при переменных в системе ограничений равны плюс единице;

• 3)    каждая переменная дважды входит в систему ограничений: один раз в балансы узлов источников (2), второй раз в балансы узлов потребителей (3).

С учетом этих особенностей для решения транспортных задач разработаны специальные методы решения, более простые, чем другие методы решения оптимизационных задач.

Рассмотрим решение транспортной задачи методом потенциалов на конкретном примере.

Пример 1. В проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют А 1 и А 2 , а мощности потребителей - В 1 , В 2 и В 3 , е. м. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети показаны на рис. 1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей составляют z 11 , z 12 , z 13 , z 21 , z 22 , z 23 у. е. /е. м.

Составить математическую модель для решения транспортной задачи.

Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные денежные затраты на электрическую сеть, в соответствии выражением (1) будет иметь вид:

Z = z 11 ·x 11 + z 12 ·x 12 + z 13 ·x 13 + z 21 ·x 21 + z 22 ·x 22 + z 23 ·x 23 → min.

Рис. 1. Взаимное расположение источников питания и потребителей

Ограничения, представляющие собой балансы мощности в узлах электрической сети, в соответствии с выражениями (2) и (3) будут иметь следующий вид:

x11 + x12 + x13 = A1, x21 + x22 + x23 = A2, x11 + x21 = B1, x12 + x22 = B2, x13 + x23 = B3.

Граничные условия в соответствии с соотношением (4) запишутся как x11 > 0, x12 > 0, x13 > 0, x21 > 0, x22 > 0, x23 > 0.

Полученные выражения представляют собой математическую модель транспортной задачи для схемы, приведенной на рис. 1.

При решении транспортных задач удобно пользоваться табличной формой записи. В этом случае ограничения (2) и (3) записывают в виде транспортной матрицы размерностью nm . Для рассмотренного выше примера 1. транспортная матрица представлена в виде табл. 1.

Таблица 1.

Исходное решение

Справа указаны заданные мощности источников А 1 и А 2 , снизу -заданные мощности потребителей В 1 , В 2 и В_з , справа внизу - значение целевой функции Z. Непосредственно в клетках транспортной матрицы записаны подлежащие определению искомые переменные x ij и заданные значения удельных стоимостей передачи мощности z ij .

Каждая i-я строка матрицы соответствует уравнению баланса мощности i-го источника питания, каждый j-й столбец – уравнению баланса мощности j-го потребителя.

Исходное допустимое решение может быть получено по алгоритму минимальной удельной стоимости:

• 1.    В транспортной матрице выбирается клетка с минимальным значением z ij . Если имеется несколько таких клеток, то выбирается любая из них.

• 2.    В выбранную клетку в качестве базисной переменной заносится наименьшая из двух величин А i или B j , т. е. x i j = min(A i , B j ). При этом выполняется баланс мощности по строке i или столбцу j , в которые входит переменная x ij .

• 3.    В остальные клетки строки i или столбца j , для которых выполнен баланс мощности, заносятся нули, соответствующие свободным переменным. Большая из двух величин А i и B j условно заменяется разностью этих двух величин.

• 4.    Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы вновь выбирается клетка с минимальным значением z ij . Далее пункты 2 и 3 повторяются до полного заполнения всех клеток транспортной матрицы.

Следует напомнить, что общее количество переменных составляет nm . Количество отличных от нуля базисных переменных составляет (n + m – 1). Количество равных нулю свободных переменных составляет (nm – (n + m–1)).

Теперь найдем оптимальное решение для задачи примеры при следующих исходных данных:

A 1 = 50, А 2 = 30, B 1 = 20, В 2 = 25, В: = 35 е. м.

z 11 = 1,2; z 12 = l,8; z 13 = 1,5;

z 21 = 1,6; z 22 = 2,3; z 23 = 1,9.

По выше показанным исходным данным математическая модель выражается следующим образом.

Целевая функция:

Z= 1,2x 11 + l,8x 12 +1,5x 13 +1,6x 21 +2,3x 22 +1,9x 23 →min

Ограничения:

x 11 1	+ x 12	+ x 13	= 50
I x 21	+ x	+ x 13	= 30
' x ii	+ x 21	= 20
1 x 12	+ x	= 25
V ( x 13	+ x 23	= 35

Граничный условия:

x 11 >0, x 12 >0, x 13 >0, x 21 >0, x 12 >0, x 22 >0, x 23 >0

Приведённая транспортная задача математической модели решим с помощью MathCad.