Применение унифицированной модели расчёта фракций поглощённой энергии от инкорпорированных излучателей моноэнергетических электронов и фотонов для биообъектов из различных материалов

В наших недавних публикациях [1-4] был разработан новый метод простого аналитического расчёта поглощённых фракций энергии ионизирующего излучения (моноэнергетические электроны и фотоны) при равномерном распределении излучателя внутри биообъектов. Описание метода было выполнено для биообъектов сферической и эллипсоидальной формы, состоящих из биоматериала, аналогичного мышечной ткани. Популярная европейская компьютерная система ERICA Tool ( для расчёта доз на биоту [5] так же даёт результаты только для мягкотканных биообъектов. В электронном дополнении к Публикации 136 МКРЗ [6], предназначенном для расчёта дозовых коэффициентов облучения биоты , расчёты ограничены объектами из мышечной ткани. Представляет интерес расширение области применимости новой методологии на биообъекты, состоящие из различных биологических материалов, например, ткани лёгких, костей, тканей различных органов.

В данной работе продемонстрирована техника расчёта поглощённых фракций внутреннего излучения моноэнергетических электронов и фотонов для сфер из разных материалов, входящих в состав живых организмов. Показана хорошая работоспособность новой методологии, позволяющей быстро аналитически рассчитать дозы внутреннего облучения биологических тел без привлечения программ Монте-Карло. Расчётные формулы не содержат подгоночных параметров и не нуждаются в проведении компьютерной интерполяции.

Сазыкина Т.Г. – гл. науч. сотр., д.ф.-м.н. ФГБУ НПО «Тайфун».

Материалы и методы

Характеристика биообъектов, распределение излучателей фотонов

В данной работе рассматриваются однородные сферические биообъекты. Биообъекты состоят из одного из следующих материалов: мышечная ткань, ткань лёгких, костная ткань. Для сравнения даны также результаты для сфер, заполненных водой. Внутренний источник облучения предполагается равномерно распределённым в биообъекте. Рассматриваются отдельно внутреннее облучение от источника моноэнергетических электронов либо источника моноэнергетических фотонов. Значения массовых длин пробегов моноэнергетических электронов, а также массовых коэффициентов ослабления и массовых коэффициентов поглощения энергии фотонов в разных материалах доступны на Интернет-сайте: , а также в работах [7-9].

Референтные данные Монте-Карло для тестирования модели

Работоспособность нового метода расчёта применительно к разным биологическим материалам тестировали с использованием независимых наборов значений поглощённых фракций, полученных современными программами Монте-Карло для сфер из нескольких биологических материалов [10]. Публикация [10] содержит большие таблицы данных о поглощённых фракциях для сфер с радиусами R от 0,62 до 7,8 см (всего 17 значений), что для воды и мягких тканей составляет диапазон масс от 1 г до 2 кг. Данные приведены для сфер, состоящих из мышечной ткани, костной ткани и ткани лёгких. Поглощённые фракции были рассчитаны для моноэнергети-ческих электронов с дискретными энергиями E от 0,1 до 4 МэВ (всего 7 значений) и моноэнерге-тических фотонов с дискретными значениями энергий E от 0,02 до 2,75 МэВ (всего 11 значений). Расчёт проводился с использованием современных программ Монте-Карло – MCNP5 и GEANT4. Поскольку результаты расчёта поглощённых фракций имели некоторые различия в разных программах, в публикации [10] были приведены средние значения поглощённых фракций для каждого материала и каждой пары R и E . Эти наборы данных были использованы в качестве тестовых для сравнения с аналитическими значениями, полученными с помощью новой методологии.

Подготовка параметров и расчёт поглощённых фракций

Теоретическая возможность применения нового метода расчёта для разных биоматериалов связана с использованием длин пробегов электронов и линейных коэффициентов ослабления и поглощения фотонов для масштабирования. Табличные значения этих параметров опубликованы для различных материалов и различных энергий моноэнергетических электронов и фотонов. В модели используются линейные коэффициенты ослабления ( µ ) и поглощения ( µ en ) энергии фотонов; для их получения массовые коэффициенты следует умножить на плотность ρ соответствующего материала. Для получения средних длин пробегов электронов Λ ( E β ) в разных материалах, значения массовых длин пробегов из табл. 1 следует разделить на плотность материала. Перечисленные линейные параметры должны иметь размерность единиц длины (см). В табл. 1-3 приведены значения параметров пробегов электронов и коэффициентов ослабления и поглощения энергии фотонов для следующих биологически значимых материалов: вода жидкая, мышечная ткань, костная ткань и ткань лёгких (с воздухом) [7-9]. Значения параметров приведены для энергий ионизирующих излучений, которые использовались в тестовых данных [10].

Таблица 1

Значения массовых длин пробегов электронов (г/см2) в различных биологически значимых материалах из онлайн-базы данных:

Начальная кинетическая энергия электронов, МэВ	Вода, Л(ЕвУ р ; р вода = 1 Г/СМ 3	Мышечная ткань, л(Е д )^ р ; р мышцы = 1,05 г/см 3	Костная ткань, л(Е в )^ р ; р кость = 1,92 Г/СМ 3	Лёгочная ткань, л(Е д )^ р ; р лёгкие = 0,26 г/см 3
0,1	0,0143	0,044	0,0161	0,0145
0,2	0,04488	0,053	0,0502	0,0453
0,4	0,1288	0,13	0,143	0,13
0,7	0,2778	0,281	0,309	0,281
1	0,4367	0,441	0,486	0,442
2	0,978	0,988	1,09	0,99
4	2,037	2,06	2,24	2,06

Таблица 2

Значения массовых коэффициентов ослабления (p/р) и поглощения (pen/р) энергии фотонов в биологически значимых материалах (вода, мышечная ткань) из онлайн-базы данных:

Энергия фотонов, МэВ	Вода, р вода = 1 Г/СМ 3		Мышечная ткань, р мышцы = 1,05 г/см 3
	рр (см2/г)	p en / р (СМ 2 /Г)	p / р (см2/г)	p en / р (СМ 2 /Г)
0,02	0,8096	0,5503	0,823	0,566
0,03	0,3756	0,1557	0,379	0,162
0,04	0,2683	0,06947	0,269	0,0722
0,06	0,2059	0,0319	0,205	0,0326
0,08	0,1837	0,02597	0,182	0,0262
0,1	0,1707	0,02546	0,169	0,0255
0,14	0,1505	0,02764	0,16016	0,0277
0,364	0,1186	0,03192	0,115	0,033
0,662	0,08956	0,03284	0,0915	0,03328
1,46	0,05754	0,02833	0,057	0,029
2,75	0,03969	0,02281	0,0433	0,02735

Таблица 3

Значения массовых коэффициентов ослабления (p/р) и поглощения (pen/р) энергии фотонов в биологически значимых материалах (костная ткань, лёгкие) из онлайн-базы данных:

Энергия фотонов, МэВ	Костная ткань, р кости = 1,92 г/см 3		Ткань лёгких с воздухом, р лёгкие =0 ,26 г/см 3
	^р (см2/г)	p en / р (см2/г)	p / р (см2/г)	p en / р (см2/г)
0,02	4	3,6	0,832	0,574
0,03	1,33	1,07	0,382	0,164
0,04	0,666	0,451	0,27	0,0729
0,06	0,315	0,14	0,205	0,0328
0,08	0,223	0,069	0,183	0,0263
0,1	0,186	0,0459	0,17	0,0255
0,14	0,16	0,0427	0,149	0,0275
0,364	0,1109	0,0302	0,1088	0,03
0,662	0,083	0,03	0,0888	0,03256
1,46	0,053	0,026	0,057	0,0281
2,75	0,04	0,023	0,0393	0,0226

Формулы и примеры расчёта поглощённых фракций по унифицированному методу

Расчёты поглощённых фракций ионизирующего излучения в разных материалах производили с использованием формул нового метода, разработанных в [1-4].

Расчёт поглощённых фракций в сферах от внутреннего однородно распределённого источника моноэнергетических электронов

Как показано в публикациях [1,2], поглощённая фракция v e (R e ,eff ) в сферическом теле радиуса R от внутреннего источника электронов с энергией Е в рассчитывается по формуле (1):

^{(R p,eff}^ ^- ^^OT^R^^;

^R P,eff

_ R

IR:-f Vy)

Op^Prff) ^— ехр(1 - ^R p,_eff ^), при ^R p,ef f < ¹ ;

® P ^(R P,eff ) ^{— 1}>               ^{при R} P^ff — ¹ .

где R в ,eff =R/ Л (E p ) - масштабированный эффективный радиус сферы (безразмерный); Л (Е в ) -средний пробег электрона в материале сферы, см; 6 e (R e ,e« ) - корректирующая аналитическая функция, отличная от 1 при R p ,eff <1.

Приведём пример расчёта поглощённой фракции для излучателя электронов. Имеется однородная сфера объёмом 100 см 3 с радиусом R =2,879 см, состоящая из лёгочной ткани плотностью ρ =0,26 г/см³. Лёгочная ткань равномерно загрязнена радионуклидом, испускающим моно-энергетические электроны с энергией 1 МэВ. Из табл. 1 средняя длина пробега электронов с энергией 1 МэВ в лёгочной ткани равна Л (Е в ) =0,442/ р лёгкие =1,7 см. Величина эффективного радиуса R e ,eff равна R/ Л (E в ) =2,879/1,7=1,6937>1; при этом корректирующая функция 6 в не используется. Величина поглощённой фракции y p (R p^ff ) рассчитывается по формуле (1) и равна 0,772. Тестовое значение, усреднённое по программам Монте - Карло, составляет 0,79 [10], т.е. различие составляет около 2%, что можно считать адекватным соответствием.

Расчёт поглощённых фракций в сферах от внутреннего однородно распределённого источника моноэнергетических фотонов

Как показано в публикациях [3, 4], поглощённая фракция ^pp en R) в сферическом теле радиуса R от внутреннего источника моноэнергетических фотонов с энергией Е рассчитывается по формуле (2):

_                 1

< ^Y (^ en ^,y,R) ^- - SCAr • 0,5 • 0_Y(yR)  0,5 •0_Y(p_enR) ^;

¹⁺     yR     ⁺    y ^ R

6_Y(Z) - ехр(1 - Z), если Z < 1;

0_Y(Z) - 1, если Z — 1.

SCAT= 0 при p R <1 ;

SCAT= 1 при p R >1 и Е > 0,1 МэВ .

где 1/ µ – средняя длина пробега фотона в материале сферы; 1/ µ en – средняя длина поглощения энергии в материале сферы; p R и p en R - масштабированные радиусы сферы; 9 y ( p R) и 0- X p en R) - корректирующие аналитические функции, применяемые в случаях, когда реальный радиус R короче, чем 1/ p или 1/ p en .

В формуле (2) слагаемое, зависящее от ^ en R , отвечает за поглощение энергии, а слагаемое, зависящее от ^ R , отвечает за комптоновское рассеяние. Параметр SCAT характеризует учёт рассеяния фотонов, для малых энергий фотонов SCAT =0, т.е. в таких случаях рассеяние в формуле не учитывается. Также вклад рассеяния в поглощение энергии мал, если R < 1/ ^ , т.е. размер сферы меньше пробега фотона заданной энергии.

Приведём пример расчёта поглощённой фракции для излучателя фотонов, равномерно распределённого в материале сферы. Имеется однородная сфера объёмом 100 см³ с радиусом R =2,879 см, состоящая из костной ткани плотностью ρ =1,92 г/см³. Костная ткань равномерно загрязнена радионуклидом, испускающим моноэнергетические фотоны с энергией 0,364 МэВ. Из табл. 3: линейный коэффициент ослабления гамма-излучения в ткани ^ =0,1109- р кости = 0,2129; линейный коэффициент поглощения энергии гамма-излучения p en =0,0302- р кости = 0,05798 . Величина безразмерного радиуса, нормированного на среднюю длину пробега фотонов заданной энергии p R = 0,3<1 , поэтому SCAT =0. Величина поглощённой фракции по формуле (2) равна W (№ n ,R) = 0,127.

Тестовое значение, усреднённое по программам Монте Карло, составляет 0,13 [10], что можно считать адекватным соответствием.

Результаты и обсуждение

В предыдущих публикациях новый метод аналитического расчёта поглощённых фракций был изложен для биообъектов, состоящих из одного материала – мягкой биологической ткани плотностью 1 г/см3. Задачей данной работы являлась проверка работоспособности модельного подхода для биообъектов, состоящих из различных материалов, имеющих биологическое значение – вода, мышечная ткань, ткань лёгких, костная ткань. Для независимого тестирования модели использовали референтные данные Монте-Карло из [10], расчёты проводили для тех же дозиметрических условий, что и референтные данные (одинаковые биообъёмы, и те же значения энергий электронов и фотонов).

Расчёт и тестирование поглощённых фракций моноэнергетических электронов для разных биоматериалов

Используя описанную выше технику расчёта, были рассчитаны аналитически поглощённые фракции моноэнергетических электронов для сферических объёмов радиусами от 0,133 до 6,2 см (всего 19 значений размеров), что для плотности 1 г/см3 соответствует массам от 0,01 г до 1 кг. Энергии электронов были взяты в диапазоне от 0,01 до 4 МэВ (всего 7 значений энергии).

На рис. 1 представлены графики расчётных значений поглощённых фракций электронов в сопоставлении с тестовыми значениями, усреднёнными по двум программам Монте-Карло. Как видно из графиков, предложенная техника расчётов даёт адекватную сходимость с тестовыми данными, при этом расчёт производится простым аналитическим методом, не требующим использования компьютерных программ. Интересно отметить, что аналитический метод позволяет выявить ошибки, сделанные при расчётах или записи результатов по программам Монте-Карло. Например, на рис. 1 в одно из тестовых значений выбивается из универсальной кривой, при детальном рассмотрении это значение является опечаткой в публикации [10].

Рис. 1. Значения поглощённых фракций электронов, рассчитанные аналитическим методом,

в сравнении с референтными данными Монте-Карло. Референтные данные взяты из публикации [10]. Представлены графики для сферических биообъектов из следующих материалов: А – вода; Б – мягкая мышечная ткань; В – кости; Г – ткань лёгких (с воздухом).

Объединение всех данных поглощённых фракций электронов в виде графика зависимости от безразмерного эффективного радиуса, представленного на рис. 2, даёт универсальную кривую, которая ранее была описана для мягкотканных сфер в публикациях [1, 2]. Сходная универсальная кривая была получена в работе [11] другим методом при масштабировании радиусов сфер на расстояния, при которых происходит 99% поглощение энергии электронов от точечного источника в центре сферы.

Таким образом, расчёты подтвердили, что поглощённые фракции для разных биоматериалов, полученные по Монте-Карло, также ложатся на универсальную кривую. Аналитическая аппроксимация поглощённых фракций электронов в сферических биообъектах по формуле (1) адекватно описывает универсальную кривую на всём её протяжении (рис. 2).

Рис. 2. Универсальная кривая поглощённых фракций моноэнергетических электронов в сферических биообъектах. Представлены объединённые данные Монте-Карло для разных биоматериалов из публикации [10] и аналитические расчёты.

Расчёт и тестирование поглощённых фракций моноэнергетических фотонов для разных биоматериалов

Поглощённые фракции энергии моноэнергетических фотонов были рассчитаны аналитически для сферических объёмов радиусами от 0,62 до 7,8 см (всего 17 значений размеров), что для плотности 1 г/см3 соответствует массам от 1 г до 2 кг. Энергии фотонов были взяты в диапазоне от 0,02 до 2,75 МэВ (всего 11 значений энергии).

На рис. 3 представлены графики расчётных значений поглощённых фракций фотонов в сопоставлении с тестовыми значениями [10], усреднёнными по двум программам Монте-Карло. Как видно из графиков, аналитические расчёты дают адекватную сходимость с тестовыми данными.

В отличие от поглощения электронов, процесс поглощения фотонов является более сложным и включает как поглощение, так и рассеяние ионизирующей радиации. В связи с этим, неопределённости значений поглощённых фракций фотонного излучения выше, чем для электронного излучения, что имеет место как для программ Монте-Карло, так и для аналитических расчётов. Точность табличных библиотек значений массовых коэффициентов ослабления (µ/ρ) и поглощения (µen/ρ) имеет важное значение, поскольку модели чувствительны к данным параметрам. Кроме того, при аналитическом расчёте важно правильное определение условий, при которых не следует учитывать фактор рассеяния фотонов. При сравнении аналитических результатов с тестовыми следует учитывать, что сами тестовые значения получены методом Монте-Карло и имеют неопределённости, связанные с библиотеками коэффициентов и с техническими особенностями программ. В частности, программы Монте-Карло занижают поглощённые фракции для малых биообъектов (R<1!ц) [3, 4]. За исключением малых сфер, различия между данными Монте-Карло и аналитикой составляют менее 10%; в зоне эффективных радиусов около 0,1 и поглощённых фракций около 0,2; где имеет место переход от расчёта без рассеяния к формуле с рассеянием, неопределённости наибольшие и могут достигать 30%.

Рис. 3. Расчётные и тестовые значения поглощённых фракций моноэнергетических фотонов в зависимости от безразмерного эффективного радиуса сферических биообъёмов. Материал сфер: А – вода; Б – мышечная ткань; В – костная ткань; Г – ткань лёгких. Референтные данные взяты из публикации [10].

Объединение всех тестовых данных поглощённых фракций фотонов для разных биоматериалов в виде графика зависимости от безразмерного эффективного радиуса, даёт универсальную кривую, представленную на рис. 4А. Такая же универсальная кривая ранее была описана для мягкотканных сфер в публикациях [3, 4]. Аналитическая аппроксимация поглощённых фракций фотонов в сферических биообъёмах по формуле (2) адекватно описывает универсальную кривую на всём её протяжении (рис. 4Б).

Рис. 4. Универсальная кривая поглощённых фракций моноэнергетических фотонов в сферических биообъектах. А – объединённые данные Монте-Карло [10]; Б – аналитическая аппроксимация кривой для разных биоматериалов.

Рис. 5. Корреляции между референтными и аналитическими значениями поглощённых фракций моноэнергетических фотонов в сферических биообъектах. Материал сфер: А – вода; Б – мышечная ткань; В – костная ткань; Г – ткань лёгких. Референтные данные взяты из публикации [10]. Аналитические значения рассчитаны по формулам (2).

Сходная универсальная кривая была получена другим методом при масштабировании радиусов сфер на расстояния X 99 , при которых происходит 99% поглощение энергии фотонов от точечного источника в центре сферы [11].

На рис. 5 представлены корреляционные зависимости между референтными значениями поглощённых фракций фотонного излучения, полученными в публикации [10] с помощью программ Монте-Карло и значениями, аналитически рассчитанными с помощью нового метода по формулам (2). Как видно на рис. 5, корреляция аналитических значений с данными Монте-Карло является весьма высокой – порядка 98-99% для разных биоматериалов.

Заключение

Выполнено расширение унифицированного метода аналитического расчёта фракций поглощённой энергии от инкорпорированных излучателей моноэнергетических электронов и фотонов для сферических биообъектов из различных биологических материалов. Внутренний источник излучения предполагался равномерно распределённым по объёму. Представлены аналитические расчёты для тканей лёгких, костей, мышц; для сравнения даны результаты для сфер, заполненных водой. Проведено тестирование аналитических расчётов на независимых массивах данных, полученных с помощью современных программ Монте-Карло (GEANT4 и MCNP5) и опубликованных в работе [10]. Подтверждено существование универсальных кривых поглощённых фракций моноэнергетических электронов и фотонов, объединяющих данные Монте-Карло по разным биоматериалам. Расчёты по аналитическим моделям находятся в адекватном соответствии с результатами, полученными по Монте-Карло. Преимуществом унифицированного метода является возможность экспресс расчёта поглощённых фракций в различных материалах без применения сложных компьютерных программ и многочисленных интерполяционных процедур. Результаты имеют практическую направленность, предоставляя возможности количественных экспресс оценок внутреннего облучения населения и биоты в проблемных с точки зрения радиационной обстановки регионах, что позволит обоснованно рекомендовать необходимые меры радиационной безопасности.