Примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Bessonnyy Sergey Sergeevich, master’s degree

National Research Nuclear University MEPhi

Russia, Moscow

EXAMPLES OF SOLVING DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SEPARATE VARIABLES

Annotation: This article is devoted to the application of the method of integrating differential equations with separating variables to the corresponding examples. Key words: differential equations, initial conditions, separation of variables.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными представляют собой уравнения следующего вида

A ( x ) B ( y ) dx + C ( x ) D ( y ) dy = 0                         (1)

Для того чтобы решить данное уравнение его необходимо свести к уравнению с разделенными переменными путем умножения или деления на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили функции, зависящие только от x, а в другую часть только от у. [1, с. 10]

A ( x)     D ( y ) , _A

----- dx +--- dy = 0                               (2)

C (x)     B ( y) ^{У                                     (} )

Полученное уравнение необходимо проинтегрировать. Необходимо помнить, что в результате деления уравнения (1) на выражения содержащие переменные x или у могут быть потеряны некоторые решения либо наоборот получены лишние решения. Поэтому необходимо при помощи подстановки в исходное уравнение (1) проверять являются ли значения переменных, при которых знаменатель уравнения с разделенными переменными обращается в ноль, решением данного исходного уравнения (1).

Приведем пример дифференциального уравнения вида

dy — f ( Ax + By ) dx

В данном уравнении A и B - константы, для того чтобы решить данное уравнение его необходимо свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой z — Ax + By . Получим уравнение в новых переменных

z и x . [1, c. 18]

dz       dy

— = A + B —, dx       dx dz

- — A + Bf ( z ) dx

Разделяя переменны придем к виду dz

----------= dx

A + Bf (z ) dx

После интегрирования уравнения (3)

dz x —            +

A + Bf ( z ) dx

Продемонстрируем методику решения уравнения первого типа на следующем примере №1.

• x—    + y = 2                             (6)

dy разделим переменные в уравнении (6)

dx

• x—    = 2 - y dy

xdx = (2 - y) dy^

проинтегрируем полученное выражение (7)

• x-    = 2 y - y- + C(8)

и получим общий интеграл уравнения (6)

x2 - 4y + y2 + C = 0(9)

решение также может быть записано в следующем виде

• x    = ±7С + 4У - У2

Пример №2.

• -y-- ^6 x + 3 y - 1 = 0

dx заменим переменные в уравнении (11)

z = 6 x + 3 y - 1

dzdy

= 6 + 3

dxdx dy dx " Vz(12)

исходное уравнение (11) примет вид

— — 6 + 3 -Tz                           (13) dx разделим переменные в выражении (13) dz P — dx                             (14) 6 + 3 V z совершим еще одну замену 2 z = u                                          (15) dz — 2 udu уравнение (14) примет вид 2 udu -----— dx 6 + 3 u udu                                         (16) ----— dx 2 + u проинтегрируем уравнение (16) ( u + 2 - 2) du   , ----------— dx 2 + u 2 du du --— dx 2 + u u - 2ln| u + 2| — x + In C                           (17) переходя к исходным переменным получим общее решение уравнения

(1)

76 x + 3 y - 1 - 2ln|V6 x + 3 y - 1 + 2| — x + In C                (18)