Процедура формирования программы номинального управления гелиоцентрическим движением космического аппарата с солнечным парусом с использованием законов локально-оптимального управления

Солнечный парус (СП) – это приспособление, использующее давление солнечного света на отражающую поверхность для приведения в движение космического аппарата (КА) [1]. Значительное преимущество использования СП состоит в том, что он способен заменить двигательную установку на борту малого КА. Отсутствие рабочего тела позволяет существенно уменьшить массу всего КА и продлить срок его активного существования. За прошлые десять лет большой опыт использования СП был получен космическими агентствами США, Европы и Японии [2–7].

Одной из главных задач в области навигации и управления движением КА является по-

иск простой энергоэффективной схемы управления для выполнения того или иного маневра. Подобные способы управления не обязательно должны быть близки к оптимальным. Основным требованием, выдвигаемым к подобным способам управления, является простота анализа и реализации. Именно такими схемами управления и являются законы локально-оптимального управления (ЗЛОУ), различные комбинации которых позволяют выполнить необходимые маневры при межпланетном перелете [8]. ЗЛОУ предназначены для наискорейшего изменения и сохранения одного из оскулирующих элементов орбиты, таких как: большая полуось A , фокальный параметр p , эксцентриситет e , радиус афелия r _α, радиус перигелия r _π, аргумент перигелия w , истинная аномалия ϑ, наклонение i , долгота восходящего узла Ω.

Целью работы является разработка процедуры формирования программы номинального

KI/IE АППАРАТЫ Ш

Том 4

управления КА с неидеально отражающим СП на базе ЗЛОУ для совершения некомпланарного межпланетного перелета на примере перелета Земля-Венера.

• 1.    Постановка задачи

  
  

Рассматривается межпланетный некомпланарный перелет КА с неидеально отражающим СП с гелиоцентрической орбиты Земли к Венере. КА выведен из сферы действия Земли с помощью разгонного блока. Цель перелета – попадание в сферу Хилла планеты – области пространства, в которой могут двигаться тела, оставаясь спутником планеты, при этом интеграл энергии КА h < 0.

Введем вектор фазовых координат X , описывающий движение центра масс (ЦМ) и движение вокруг ЦМ в комбинированной системе координат:

X=(r, u, Vr, Vu, q i, e p, e n, e,, ® p, ® n, ®,) T, где r – гелиоцентрическое расстояние КА с СП; u – аргумент широты; Vr, Vu – радиальная и трансверсальная скорости; Ω – долгота восходящего узла орбиты; i – наклонение орбиты; θp, θn, θs – углы поворота СП, описывающие ориентацию КА с СП; ωp, ωn, ωs – угловые скорости.

Для описания управления ориентацией СП вводится вектор номинального управления U :

U = {5 p (t), 5, (t )}T, где δp(t), δs(t) – функции номинального управления, определяющие вращение СП относительно ЦМ, которые могут принимать следующие значения:

8 p ( t ) = { + 1,0, - 1) 1

•

• 8 ,    ( t ) = { + 1,0, - 1}

Фиксированный вектор проектных параметров prm КА с СП описывается следующим образом:

prm ={m, 5, p, pr, pd, a, t, hтэy f, где m – масса КА с СП; S – площадь СП; ρ – коэффициент отражения поверхности СП; ρr – коэффициент зеркального отражения поверхности СП; ρd – коэффициент диффузного отражения поверхности СП; α – коэффициент поглощения фотонов поверхностью СП; τ – коэффициент пропускания; hТЭУ – ширина тонкопленочных элементов управления.

Параметры вектора фазовых координат X и вектора управления U должны удовлетворять следующим ограничениям:

18 p ( t )| + |5 , ( t )| <  1

0)л   <|to|

Граничные условия гелиоцентрического перелета записываются следующим образом:

X(10) = X 0, X(tk) = Xk.

В качестве основного критерия оптимальности выбрано минимальное время перелета t_k → min при условии:

Dist(Г, u, Q, i) < Rxuo„a 1

h (Dist, Vr, V) < 0

где Dist – текущее расстояние между КА с СП и целью; R_Хилла – радиус сферы Хилла планеты. Интеграл энергии h определяется следующим образом [9]:

h=∆V²- ^2µцель .

Dist

Здесь ∆V – разность полных скоростей КА и планеты, к которой совершается перелет; μ_цель – гравитационный параметр планеты.

Вектор функции управления U, удовлетворяющий ограничениям (1) и граничным условиям (2) и доставляющий минимум критерию оптимальности при фиксированном векторе проектных параметров prm, описывается следующим образом: Uopt⁽t) = arg min tk (U| Prm ^{G P},^X(t0) = Xo,^X(tk) = Xk) -

Задача сложная, поэтому предлагается процедура решения, состоящая из трех частей:

• 1.    Получение номинальной программы управления движением ЦМ КА.

• 2.    Определение максимальных необходимых угловых скоростей для обеспечения полученной программы номинального управления, расчет параметров органов управления.

• 3.    Моделирование совместного движения ЦМ и вокруг ЦМ для демонстрации реализуемости полученной программы управления.

• 4.    Данная статья посвящена первому пункту задачи – получение номинальной программы управления движением ЦМ КА.

• 2.    Законы локально-оптимального управления

В работе [8] автором получены ЗЛОУ для КА с двигателем малой тяги. В работе [7] автор сформировал ЗЛОУ для КА с СП. В рамках данной работы ЗЛОУ предназначены для определения управляющих углов λ₁ и λ₂. Угол λ₁ – это угол между направлением падения фотонов на поверхность СП (совпадает с направлением радиус-вектора r) и проекцией нормали СП на плоскость орбиты движения КА. Угол λ₂ – это угол между нормалью СП и ее проекцией на плоскость орбиты движения КА. Более подробно математическая модель движения КА с неидеально отражающим СП описана в [10].

Управляющие углы λ₁ и λ₂, обеспечивающие наискорейшее изменение оскулирующего элемента K, могут быть вычислены из следующего отношения:

dK

2 1,2 opt = argmax    ^1,2.

. Г п n! dt

-кI

При λ1 = ±π/2 выполняется закон сохранности оскулирующего элемента во времени. Для обеспечения максимальной скорости изменения одного из элементов гелиоцентрической орбиты закон управления должен быть записан в следующем виде [11]:

1     f2 (з) (к (з) - V9IfN^?+8if(3)f)

X K = — arcsin------—;--------------—-------

• ²                  3([fl (»)]^! +[ f2(S)]²)

  ^,

  
  

где f₁ и f₂ – компоненты, определяющие максимальную скорость изменения соответствующих орбитальных элементов.

Для монотонного изменения наклонения орбиты i необходимо изменять направление тяги на противоположное в точках, где аргумент широты u = ±π/2. Для монотонного изменения долготы восходящего узла Ω необходимо осуществлять изменение управления в точках на линии узлов, в которых аргумент широты u = 0 и u = π. При λ₂ = ±π/2 выполняется закон сохранности оскулирующего элемента во времени. Для обеспечения максимальной скорости изменения одного из оскулиру-ющего элемента, отвечающего за изменение положения орбиты в пространстве, закон управления должен быть записан в следующем виде:

XK = ^ arcsin ^p- Sign [ f (u, X2], где Sign[f(u,λ2)] – функция определения знака в зависимости от значения аргумента широты u и управляющего угла λ2.

В качестве примера рассмотрим ЗЛОУ для наискорейшего увеличения одного из элементов:

- наискорейшее увеличение большой полуоси A:

X. = -arcsin

(-1 + ecos9) (ecos9- ^9[ecos9]2 + 8[-1 + ecos9]2)

3([ e cos 9]2 +[-1 + e cos 9]2)

наискорейшее увеличение фокального параметра p:

p   1     22

Xp =- arcsin 1₂

3;

- наискорейшее увеличение эксцентриситета e:

(ecos²9 + 2cos9 + e) sin 9

—

9[sin 9]²+ 8

X. = — arcsin

ecos 9 + 2cos9 + e

1 + ecos9

\

3(1 + ecos9) [sin 9]² I

+

e cos²9 + 2 cos 9 + e 1 + ecos9

2;

- наискорейшее увеличение радиуса афелия r_α:

X1^a

(2(1 + cos 9) - e sin²9)

sin9 -

9[sin 9]²+ 8

— arcsin

2(1 + cos 9)- esin²912 1+ecos9

к

3(1 + ecos 9) [sin 9]²+ к

2(1 + cos9)-esin²9 1 + ecos9

7.;

(оСМИЧЕскиЕ

АППАРАТЫ И

Том 4

- наискорейшее увеличение радиуса перигелия r_π:

(2(1 - cos9) + esin²d)

-

sin 9-  9[sin 9]²+ 8

X? =

- arcsin

2(1 - cos9) + esin²912 1 + ecos9

л

\

3(1 + ecos9) [sin 9]²+ I

2(1 - cos9) + esin²9 1 + ecos9

;

- наискорейшее увеличение аргумента перигелия w:

sin 9(2 + e cos 9)

-

cos9-д 9[cos9]²+ 8

, sin 9(2 + ecos9) 2

w

Xi

- arcsin

1 + ecos9

\

3(1 + ecos 9) [cos 9]²+ I

sin 9(2 + e cos 9) ²

1 + ecos9

;

- наискорейшее увеличение наклонения i:

1    22

[cosusinX₂];

X₂ = — arcsin —^— Sign

- наискорейшее увеличение долготы восходящего узла Ω:

1    22

• X, = arcsin 2₂

  
  

  Sign [sin u sin X2 ].

  
  

• 3.    Формирование программы номинального управления

Для определения параметров орбиты и положения Венеры используется база данных Лаборатории реактивного движения НАСА (Jet Propulsion Laboratory NASA) [12]. Дата старта

Xra(to) = (1,479'108км; 54,953 град; -0,371 км/с; 30,122 км/с; 174,806 град; 0,004 град)

миссии – 16 ноября 2027 года, дата завершения миссии – 19 июня 2030 года.

Начальное положение КА с СП на дату старта и конечное положение Венеры опишем размерными фазовыми координатами в виде

X = (r; u; V_r; V_M; Q; i) T :

T

Х_Вен(ta^Ч) = (1,086-10⁸км; 8,886 град; -0,199 км/с; 34,894 км/с; 76,595 град; 3,394 град)T.

Данные о перелете представлены в табл. 1. описаны в табл. 2. Одна итерация моделирования Алгоритм и длительность использования ЗЛОУ соответствует 1 часу движения.

Таблица 1

Данные о перелете КА с неидеально отражающим СП с орбиты Земли к Венере

Таблица 2

Алгоритм использования ЗЛОУ

Траектория гелиоцентрического движения

КА с СП в плоскости XOY и изменение координат во времени представлены на рис. 1–2.

Рис. 1. Гелиоцентрическая траектория перелета КА к Венере

(▲ — КА; • — Венера; ☼ — Солнце; – · – орбита Земли; – – орбита Венеры; –– траектория КА)

На рис. 3 представлены графики изменения фазовых координат во времени. Программа управления включает в себя изменение управляющих углов и функции управления. Использование ЗЛОУ подразумевает изменение положения КА и ориентации СП в пространстве. На рис. 4 приведен график зависимости управляющих углов λ₁ и λ₂ во времени. Графики функций управления δ_p и δ_s представлены на рис. 5. На рис. 6 представлено изменение расстояния между КА и Венерой на протяжении всего перелета. Как видно из рис. 6 на дату завершения миссии расстояние между КА и Венерой стало меньше радиуса Хилла Венеры. На рис. 7 представлен график изменения интеграла энергии, значение которого на дату завершения перелета меньше нуля.

Для реализации гелиоцентрического перелета КА с неидеально отражающим СП с орбиты Земли к Венере на расстояние 849 396 км потребовалось 946 суток. Определена безразмерная величина интеграла энергии h = -8,7∙10-4. Найденные расстояние между КА с СП и Венерой Dist и ин- теграл энергии h удовлетворяют условию (3), следовательно, по окончании гелиоцентрического 9 участка КА остается в окрестности Венеры.

а

б

Рис. 2. Зависимость координат положения КА во времени: а - координата X; б - координата Y; в - координата Z

(– · – Земля; – – Марс; –– КА)

Том 4

б

--Венера --КА с СП

—Венера —КА с СП

в

г

■Венера —КА с СП

д                                             е

Рис. 3. Изменение фазовых координат КА во времени: а - радиус-вектор r; б - аргумент широты u; в - радиальная скорость V_r; г - трансверсальная скорость V_u; д - долгота восходящего узла Ω;

е - наклонение i (– – Венера, –– КА)

а

б

Рис. 4. Зависимости управляющих углов во времени: а - угол λ₁; б - угол λ₂

Рис. 5. Зависимости функции управления во времени: а - функция управления δ_p; б - функция управления δ_s

Рис. 6. Изменение расстояния между КА и Венерой (– – радиус сферы Хилла Венеры, –– КА)

Рис. 7. Изменение интеграла энергии h

Заключение

Рассмотрен некомпланарный межпланетный перелет Земля-Венера КА с неидеально отражающим СП, целью которого являлось попадание КА в сферу Хилла Венеры с нулевым гиперболическим избытком скорости. Для формирования номинального управления движением КА использовались законы локально-оптимального управления. Для реализации гелиоцентрического перелета Земля-Венера КА массой 39,8 кг с неидеально отражающим СП площадью 500 м2 потребовалось 946 суток. В качестве результатов получены траектория перелета, изменение фазовых координат во времени, графики изменения управляющих углов и программа номинального управления. Полученные результаты удовлетворяют всем граничным условиям, описанным в постановке задачи. Результаты моделирования подтверждают адекватность применения процедуры формирования программы номинального управления КА с неидеально отражающим СП.