Продольные резонансные колебания вязкоупругого каната грузоподъёмной установки

Рис. 1. Схема грузоподъемной установки в недеформированном состоянии; ν(t) – окружная скорость барабана; m – масса груза.

Обозначим Z ( x, t ) – смещение точки каната с координатой x в момент времени t . Ось x связана с неподвижной системой координат (точкой подвеса барабана). В начальный момент времени точки недеформированного каната связаны с точками оси x . На рис. 1 недеформированный канат изображён в начальный момент времени. Между l ( t ) и ν( t ) имеет место следующее соотношение:

r«l + Zx(l(t)±O,t)) = -v(t). (1)

При спуске используется значение Z_x(l(t) + 0, t) , т.е. выше точки подвеса. При подъёме Z_x(l(t)-0,t) , т.е. ниже. После пренебрежения Z_x(l(t) ± 0, t) по сравнению с единицей получим:

Z4O = -v(t) .

Математическая модель, описывающая продольные колебания каната, имеет вид [2]:

pZ_tt(x, t) - EZ_xx(x, t) - pZ_xxt(x, t) + pg = 0;

mZ_tt(0, t) — ESZ_x(0, t) — gSZ_xt(0, t) + mg = 0;

ZtUto.t) = WY п.тд(х-1Щ pg

Введём новую функцию

Z(x, t) = u(x, t) + ^ (% - Z(0)) + ^ (x² - Z(0)²).

Здесь функция

(^(x-/(0))+^|(%2-/(0)2)) характеризует первоначальные деформации каната, компенсирующие вес груза и троса.

В результате задача (2) примет вид:

pu_tt(x, t) - Eu_xx(x, t) - gu_xxt(x, t) = 0; (3) mu_tt(0,t) — ESu_x(0, t) — nSu_xt(0, t) = 0; (4)

ut(l(t), t) = v(t);                     (5)

u(_x, 0) = 0 ; u_t(x, 0) = v(0).

Выразим UtOto-Oчерез полную производную du(l(tY t)

MKf), t) =---—--ux(l(t\ ty(t).

at

С учётом равенства (1) и интегрирования по dt граничное условие (5) примет вид

u(l(t\t) = J^vCcM = F(t).     (6)

Статья посвящена изучению вынужденных колебаний объекта, поэтому в дальнейшем начальные условия не рассматриваются. Примем i(t) = -v_ot + 1№ , где v₀ средняя окружная скорость барабана в период наблюдения резонансного явления. Для F ( t ) возьмём следующее выражение:

F(t) = v_ot + Asin w(t),      (7)

где Asin ω( t ) характеризует слабые возмущения гармонического характера, связанные с отклонением формы барабана от окружности, а также с вибрациями барабана.

Введём безразмерные переменные:

^ = "i7m’ T = 77(^t’

"ГТ^КС = L(e_ot) = 1 + г_от;

£o

Vq a "

Здесь a – скорость распространения продольных волн. Малый параметр ε₀ характеризует медленность движения границы по сравнению со скоростью волн.

В результате задача (3)-(5) с учётом (6),(7) примет следующий вид:

и_тАУ^ - U^.t^ - _£1U^>^ = 0;   (8)

Ftt(0,t) ~^U^Q,t) + _£1^_t(0,t) - 0;    (9)

U(L(e_ot), t) = e_ot + BsinW(r'), (10)

где n     A x       /Z(0) A

£i = ——;  M = — ; В = —- ; Ж (т) = w (— т) .

¹ арЦоУ         pSl(0)        Z(0) ^{v J}      V a )

.

Малый параметр ε₁ характеризует малость сил внутреннего трения по сравнению с упругими силами. Параметр M представляет собой отношение массы груза к массе каната.

Выразим Uττ(ξ,τ) из (8) и подставим в (9). В результате граничное условие (9) примет следующий вид:

U^(0, r) - i^(0, r) + _£1(u„_T(.O,^-^ЩА0,t)) = 0.

Для выполнения граничного условия (11) достаточно чтобы

U^(0,t)-^U_?(0,t) = 0.     (12)

Для получения однородных граничных условий введем новую функцию:

u(^, t) = V(^, t) + Я(f, t) - E0T, f2 + 2Mf где H^, t) = ——-— ---—-BsinW(jy

5     L2(e0t) + 2ML(eot)

В результате задача (8),(10),(12) примет следующий вид:

Vtt(^,t) -V^.t) - £1V№(^.t) =

= -H_TT^,^ + H^,t^ + г^^С^т).(13)

^(0,т) -^f(0,T) = 0; /(L(e_ot),t) = 0. (14)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение будем производить с точностью до членов порядка малости ε2 , т.е. членами, содержащими ε02 и ε0ε1 , будем пренебрегать. Для решения задачи (13), (14) будем использовать метод Канторовича-Галеркина [5]. Решение будем искать в виде v^,^ = ^tiv^,^,     (15)

где

Цг(С^) = <рп(т)Хп(^гот).      (16)

В качестве X_n(ξ,ε₀τ) возьмём следующие функции:

Х_п^,Е₀т) = sin (w_n(£₀r)(^ - L(e_ot))) ■ (17)

Данные функции удовлетворяют граничным условиям (14), если ω_n(ε₀τ) удовлетворяет уравнению

ton^oT)tg(ton(£oT)L(soT)) =^. (18)

Заметим, что функции (17) при неподвижной границе (ε0 = 0) являются собственными формами колебаний. В этом случае метод Канторовича-Га-леркина дает точное решение. При увеличении б0 точность уменьшается. Статья посвящена анализу резонансных явлений наблюдаемых на одной из собственных частот. Амплитуда колебаний на резонансной частоте многократно увеличивается. Амплитуда колебаний на нерезонансных частотах соизмерима с возмущающими воздействиями. При этом нерезонансными членами ряда (15) можно пренебречь и рассматривать решение только на одной резонансной моде.

Функции, определяемые выражением (17), не являются ортогональными, но ортогональными являются их производные по £, т.е.

.

Проинтегрируем уравнение (13) по си подставим в него Vn(^,т), определяемое выражением (16). Согласно методу Канторовича-Галеркина, умножим полученное уравнение на и проинтегрируем по d^ в интервале от нуля до L(т). В результате с точностью до величин порядка б2 получим следующее уравнение для определения функций фп(т):

№) + 2Ап(т)<р^(т) + ш2(е0т)<Рп(т) = где

^{1          l}'(£ot) L'(е_от)

^2А°^ ML(e_ot) ^£12М ^£° ⁺ L(e_ot) ^£° ’

7ГП 1

"п(£°т) ~ М^ + ^М;

51Г1((Оп(е0т)£(е0т)) « ---— .

ппМ

Данные значения имеют погрешность менее 5% при M>3. При получении коэффициентов (20) отброшены члены, которые имеют значимость менее 5% по сравнению с другими членами.

Введём в уравнение (19) новую функцию:

где                                      ) .

В результате уравнение (21) с точностью до величин порядка б² примет вид:

, (22)

где

РпЧ)

.

Функции с учётом (20) имеют вид:

С₀(т) = exp I--(! + —-)1п(£(е_от))+—)

Сп(т) — exp

£17Г2П2Т

2L(eot)

Два линейно независимых решения однородного уравнения соответствующего уравнению (22) c точностью до величин порядка б² имеют вид:

Уп1 W = атг(Еот) cos(w„(t))

л²п² 2А_л(т) = E_t

ЕЧад

В

L'(EqT) , L(e_ot) ’

Уп2М = a«(£o^) sin((w„r))

где w„(t) -

^тгС^О^)^^ ^ ^пС^О^-) —

PqCO =--7---Г77---7

Wo(wL(eot)

(^'(т))2

7шп(еот)

После интегрирования получим

Еч^У+гм

Wo(t) =— -^Д >w_nM = — 1п(£(е_от)) + —^Т—. £ц_х М          Ео          ^клМ

2В

Р М = -------

J а^тМ^

(Ж(т))2 +

L²(e₀t) + 2М

_тГ(т)

ШП(£ОТ)

Решение уравнения (21) при нулевых начальных условиях имеет вид:

г X f ^nto cosfw_n(c)) sinflV(c))

■Pn(r) = —Сп(т)а„(гот) sin(ivn(r)) ------ -----^ dS - f O„M sin(wn (?))sin(lV(?))

-C_n(T)a„(_£or)cos(w_n(T)) ----- -----d_S.

J       ^nx^O^J^nV^oP)

При получении коэффициентов(20) использованы следующие приближённые значения частот уравнения (18) и их sin:

1 ш_о(е_от) « , ^ ^ ;

7М£(еот)

После пренебрежения нерезонансными членами и с учётом (21) получим следующее выражение для амплитуды вынужденных колебаний на n-ной динамической моде:

ЛпИ = ^2Sn(T) =

51п(ш0(е0т)£(е0т))

= E„(T)((j F_n«) cos(

n«))d<)² +

+(j ^n«) sin(O_n«))d<)²).

Величина An(т) показывает во сколько раз амплитуда колебаний Bn(t) превосходит интенсивность внешнего возмущения B.

Функции, входящие в выражение (24), имеют вид:

Еп(т) = -(Сп(т)а^Еот)У;

------------- ;

^п (^ ) ^п («О ^)

Фп«) = МО - М) ■

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ

С помощью выражения (24) были проанализированы резонансные свойства объекта. Установившийся резонанс наблюдается, если . Если принять функцию медленного времени равной единице, то изменение амплитуды колебаний с учётом (23) будет описываться следующим выражением:

Явление прохождения через резонанс наблюдается при внешнем возмущении постоянной частоты W(t) = Qt. На рисунках, приведённых ниже, представлены количественные результаты прохождения через резонанс. Возмущающая частота Q подбиралась таким образом, чтобы наилучшие условия для увеличения амплитуды наблюдались при т = 0.

На рис. 2 и 3 показано как изменяется амплитуда A₀(t) и A 1(т) в резонансной области при значении параметра M равном 5. Кривые 1, 2, 3, 4 и 5 получены для б₀ соответственно равных 0.01, 0.02,0.03,0.04 и 0.05 .Собственная частота ю₀(б₀ т) обратно пропорциональна арЛе^т^ , а ю1(Б₀т) обратно пропорциональна L(б₀ т) , поэтому на нулевой собственной частоте прохождение через резонанс происходит медленнее, чем на первой.

На рис. 4 и 5 показано, как изменяется амплитуда колебаний A₀(t) и A 1(т) в зависимости от скорости изменения длины канатаБ₀. На рис. 4 кривые 1, 2, 3 и 4 получены для значений M соответственно равных 50, 20, 10 и 5. Параметр вязкоупругости б₀ слабо влияет на A₀(t), т.к. при колебаниях на нулевой частоте основная часть энергии колебаний связана с колебанием груза, а малые демпфирующие силы действуют в канате. При колебаниях на первой и последующих частотах основная часть энергии колебаний связана с колебанием точек каната при этом параметр M, характеризующий массу груза, слабо влияет на амплитуду, а демпфирующие силы оказывают на амплитуду существенное влияние. На рис. 5 кривые 1,2 и 3 получены для значений б₀ соответственно равных 0, 0.01 и 0.05.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в отличии от асимптотических методов, использование метода Канторови-ча-Галёркина позволило для изучения колебаний получить решение, имеющее модовую структуру. Это актуально при анализе резонансных свойства каната. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний, что упрощает анализ резонансных свойств объекта.

Рис. 2. Изменение амплитуды A₀ в резонансной области

Рис. 3. Изменение амплитуды A₁ в резонансной области

Рис. 4. Зависимость амплитуды A₀ от скорости движения границы

Рис. 5.Зависимость амплитуды A₀ от скорости движения границы

В отличие от большинства исследований в данной области в статье приведены количественные характеристики резонансных свойств. Результаты анализа представлены в виде графиков. Решение произведено в безразмерных переменных, что позволяет использовать полученные количественные результаты для анализа колебаний технических объектов.