Проективный инвариант косимлектических многообразий

Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям Т. Леви-Чивита, Т. Томаса, Г. Вейля. В последнее десятилетие интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей. Во многих трудах изучаются геодезические преобразования псевдорима-новых многообразий, наделенных дополнительной структурой.

В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, которая имеет многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы-Клейна и т.д.

Почти контактные метрические структуры, например, внутренним образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], а также на пространствах главных Т ¹ -расслоений над почти эрмитовыми многообразиями [8] и являются обобщением контактных метрических структур, естественно возникающих на нечетномерных многообразиях, снабженных контактной структурой, т.е. дифференциальной 1-формой максимального ранга [9]. Теория почти контактных метрических структур берет свое начало в 50-е годы минувшего столетия и в настоящее время переживает бурное развитие. Особо интересными свойствами обладают так называемые квази-сасакиевы структуры, введенные в рассмотрение Блэром [10] и обобщающие сасакиевы и косимплектические структуры, являющиеся контактными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Исследование этих структур проводится в самых разнообразных аспектах.

Особый интерес представляют проективные свойства косимплектических многообразий. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследование инвариантов (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдориманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами.

Косимплектические структуры являются естественным контактным аналогом келеро-вых структур. Такие структуры индуцируются, например, на вещественных, вполне геодезических подмногообразиях келеровых структур [6]. Проективные свойства многообразий, наделенных косимплектической структурой, практически были не изучены, эта статья восполняет этот пробел.

Пусть М ^{2 n +1} - нечетномерное гладкое многообразие; С ^∞ (М) -алгебра гладких функций многообразия М; X (М) - модуль гладких векторных полей многообразия М; d - оператор внешнего дифференцирования.

Определение 1 [1]. Почти контактной метрической (АС-структурой) на гладком многообразии М называется совокупность {η,ξ, Φ, g =< ⋅,⋅ >} тензорных полей на этом много- образии, где η–дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры , ξ –векторное поле, называемое характеристическим вектором, Φ – поле тензора типа (1,1), называемое структурным эндоморфизмом, g – риманова метрика на М. При этом

• 1)    η ( ξ ) = 1 2) Φ ( ξ ) = 0 ;

• 3) п ° Ф = 0 ; 4) Ф ² =- id + п®£ ;

• 5)    Φ X , Φ Y = X , Y - η ( X ) η ( Y ) ; X , Y ∈ Χ ( M ), .

Многообразие с фиксированной АС-структурой называется почти контактным метрическим (АС) многообразием. Хорошо известно [1], что тензор Ω ( X , Y ) =< X , Φ Y >  кососимметричен; он называется фундаментальной формой АС –структуры.

Если задать почти контактную метрическую структуру на многообразии М, то естественным образом в модуле X( М ) возникает пара взаимно дополнительных проекторов: m = η ⊗ ξ , l = id - ξ ⊗ η . Очевидно, что m + l = id . Кроме того, легко показать, что l =-Φ ².

На почти контактном метрическом многообразии М возникает пара распределений L = ker n = Im Ф , M = ker Ф — первое и второе фундаментальные распределения соответственно, при этом для модуля X( М ) гладких векторных полей верно Χ ( M ) = L ⊕ M , где dim L = 2 n , а dim M = 1 . Более того, комплексификация X C ( M ) = ® Х ( M ) распадается в прямую сумму собственных распределений эндоморфизма Φ ^С :

ΧC(M)=DΦ-1⊕DΦ- -1⊕DΦ0 , причем DΦ0 = M . Проекторами на слагаемые этой суммы будут соответственно эндоморфизмы

π =- 12( Φ ² + - 1 Φ ) , π = 12 ( -Φ ² + - 1 Φ ) , m = id +Φ ² .

В работе [1] было доказано, что к (2 n +1)-мерному АС-многообразию как метрическому f-многообразию дефекта 1 внутренним образом присоединяется G-структура, структурной группой которой является группа Ли U ( n ) × { e } . Тотальное пространство этой G-структуры состоит из модифицированных А-реперов, т.е. комплексных реперов вида

• -модуля, p ∈ M .

В работе [1] на пространстве присоединенной G-структуры были получены тензорные компоненты формы римановой связности; первая группа структурных уравнений и компоненты тензора Нейенхейса эндоморфизма Φ АС-многообразий.

Определение 2 [4]. АС-структура называется нормальной, если выполняется следующее условие

2NΦ +dη⊗ξ=0,         X,Y∈ Χ(M), где NΦ - тензор Нейенхейса эндоморфизма Φ , определяемый формулой

N _Φ ( X , Y ) = ¹₄( Φ ² [ X , Y ] + [ Φ X , Φ Y ] -Φ [ Φ X , Y ] -Φ [ X , Φ Y ]).

Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [5] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры.

Определение 3 [1]. Нормальная АС-структура называется косимплектической, если выполняются следующие условия: d η =0 и d Ω =0 .

Определение 4 [1]. Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, называется косимплектическим многообразием.

Определение 5 [2]. Диффеоморфизм φ : М → М псевдориманова многообразия (М , g ) называется геодезическим преобразованием, если он любую геодезическую переводит в геодезическую.

• 1.    Постановка задачи

Рассмотрим тензор Р проективной кривизны, являющийся инвариантом геодезических преобразований. Напомним, что тензор проективной кривизны вычисляется по формуле [2]:

P ( X , Y ) Z = R ( X , Y ) Z - 1 ( < r ( Z ), Y > X -< r ( Z ), X > Y ),             ( ∗ )

n - 1

где R - тензор кривизны, r - тензор Риччи.

Теперь вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектических многообразий.

Для этого получим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензора Риччи косимплектических многообразий.

Из работы [1] известно, что первая группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

1) d ω ^a = - θ _b ^a ∧ ω ^b ;

2) d ω a = θ a^b ∧ ω b ;                                      (1)

3) d ω = 0.

А в силу того, что косимплектические структуры характеризуются тем, что ∇Φ = 0 [1], следующие компоненты формы римановой связности будут нулевыми:

∧

θ ∧ ^a = θ b^a = θ 0 ^a = θ a ⁰ .

b

Проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнения (1).

Продифференцировав внешним образом (1 1 ), получим:

• - d θ _b ^a ∧ ω ^b + θ _b ^a ∧ d ω ^b = 0 .

С учетом (1 1 ) имеем:

• - d θ _b ^a ∧ ω ^b + θ _b ^a ∧ ( - θ _c ^b ∧ ω ^c ) = 0 ,

или

( d θ _b ^a + θ _с ^a ∧ θ _b ^c ) ∧ ω ^b = 0 ,

Обозначив через

∆θba = dθba +θсa ∧θbc ,(2)

последнее уравнение запишем в виде

∆θba ∧ωb =0 .(3)

Далее, разложив 2-форму ∆ θ _b ^a по базису { θ _b ^a ∧ θ _c ^d ; θ _b ^a ∧ ω ^k ; ω ⁱ ∧ ω ^j ; ω ⁱ ∧ ω } :

∆θba = Abafcgdθcf ∧θdg + Abafcdθcf ∧ωd+Abafcgθcf ∧ωg + Abafc0θcf ∧ω+

+Aa c d acd               ac d            a cac

bcdω ∧ω +Ab ωc ∧ωd + Abdω ∧ωc + Abc0ω ∧ω+ Ab ωc ∧ω и подставив ее в уравнение (3), получим:

acd f g b acd f              b ac f g b ac fb

Abfe^c Л od Л to + Abf oc Л tod Л to + Abfg9C Л to Л to + Abf 0° Л toЛ to + a c d b acd                b ac db

^{+ A}bcd ^{to Л to Л to + A}b ^to c ^Л to d ^{Л to + A}bd ^{to Л to} c ^{Л to +}

+ A ,_c0 to^c л to л to + A , 0 to _c л to л to = 0.

Отсюда, в силу линейной независимости базисных форм, имеем: acd acd acac

A bfg = 0; A bf = 0; A b|f|g ] = 0; A bf 0 = 0;

A bd ] = 0; A b = 0; Ab = 0; A bc _P = 0; A ba ⁰ = 0.

Следовательно, (4) примет вид:

A6b = Afob л to + Ab to л to + A^to л toc + lb0to л to(5)

Продифференцируем внешним образом уравнение (1 2 ):

d o , л to _b - 0 л d to _b = 0 .

С учетом (1 2 ) имеем: d o , л to _b - 0 b л ( 0 b л to _c ) = 0

или

( d o b - o c Л o b ) Л to b = 0 .

Так как

^eba = dob -oc л ed, последнее уравнение запишется в виде

A o b л to b = 0

или

Ao b л to _a = 0 .                                       (6)

Принимая во внимание равенство (5) и подставив его в уравнение (6), получим:

A bfg o f Л to л to _a + A b,_cd to ^c л to л to _a + A bad to d л to _c л to _a + A a ₀ to л to л to _a = 0 .

Отсюда имеем: ac a           ac a

A bfg = ⁰; A bcd = ⁰; ^A bd = ⁰; A bc 0 = ^0.

Таким образом

Aob=Aacto л to,, где <1= Abd]= 0.

Подставив выражение Ao b в (2), получаем вторую группу структурных уравнений ко-симплектических многообразий в виде:

d o b =-o , л o b + A bd to d л to c .                        (7)

Итак, полная группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

d to ^a =-o a л to ;

dtoa = ob л tob;

d to = 0;

d o b =-o ^a _c л o b + A bd to d л to _c ;

где { A b^c_d } - семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричных по верхним и нижним индексам. Можно показать, что они образуют тензор на М ²ⁿ⁺¹ , называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].

Сравнивая соотношения (7) со второй группой структурных уравнений римановой связности

dR — —^ л R + 1R to л to1 , j k j 2 jkl где R jk1 -компоненты тензора Римана-Кристофеля, в силу линейной независимости базис ных форм и Rijk1 — gisRk1 получим, что на пространстве присоединенной G-структуры:

Rabcd — Rлbcd — Rлл  — Rabc0 — Rл   — Rлл  — Rл л — R0b0 — Rл   — 0, a abcd               abc0     abc0     abc0               a0b0

ad

R л л — A bc . abcd

С учетом полученного вычислим компоненты спектра тензора Риччи r _y — — R ^k _ук косим-

плектического многообразия:

r ab — r a 0 — r 00 — 0, ah Г л — Ah b . ab

C учетом ( * ) получаем спектр тензора проективной кривизны:

P ^a

1 hb a л Cd   ~  (^ch dd

2 n

b

— A O ),

a л bcd

ac 1 hc a

^— A bd ⁺ — A bh ^O d , 2 n

a ad

P л ^— A bc bcd

1 hd a — Abh ^O c , 2 n

P 0 л ab0

1 ah 0

^— и A hb , P л 2 n           a 0 b

—

1 _ah

A hb , 2 n

а остальные равны нулю [3] .

Заключение

Теорема 1. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только то гда , когда является плоским многообразием .

Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М2n+1 - проективно плоско, то есть Рljkl = 0. С учетом (2) это равносильно ac 1 hc a 1 ah

A bd ⁺ _п A bh ^O d — ⁰ , _п A hb — ^0.

2 n           2 n

Отсюда сразу следует, что ac

A bd ^{— 0.}

В этом случае, с учетом (1), получаем, что R j_k1 — 0 , то есть М² n ⁺¹ - плоское многообразие. Обратное утверждение очевидно. □