Проективный инвариант косимплектических многообразий

Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям Т. Леви-Чивита, Т. Томаса, Г. Вейля. В последнее десятилетие интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей. Во многих работах изучаются геодезические преобразования псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой.

В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой.

Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии. Эта геометрия имеет многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы-Клейна и т.д.

Почти контактные метрические структуры, например, внутренним образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], а также на пространствах главных Т1-расслоений над почти эрмитовыми многообразиями [8] и являются обобщением контактных метрических структур, естественно возникающих на нечетномерных многообразиях, снабженных контактной структурой, т.е. дифференциальной 1-формой максимального ранга [9]. Теория почти контактных метрических структур берет свое начало в 50-е годы минувшего столетия и в настоящее время переживает бурное развитие. Особо интересными свойствами обладают так называемые квази-сасакиевы структуры, введенные в рассмотрение Блэром [10] и обобщающие сасакиевы и косимплектические структуры, являющиеся контактными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Исследование этих структур проводится в самых разнообразных аспектах.

Особый интерес представляют проективные свойства косимплектических многообразий. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследование инвариантов (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдо-риманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами.

Косимплектические структуры являются естественным контактным аналогом келеровых структур. Такие структуры индуцируются, например, на вещественных вполне геодезических подмногообразиях келеровых структур [6]. Проективные свойства многообразий, наделенных ко-симплектической структурой, практически не были изучены, эта статья восполняет этот пробел.

Пусть M²ⁿ⁺¹ - нечетномерное гладкое многообразие; С ” ( М ) -алгебра гладких функций многообразия М; X (М) - модуль гладких векторных полей многообразия М; d - оператор внешнего дифференцирования.

Определение1.[1] Почти контактной метрической (короче АС-структурой) на гладком многообразии М называется совокупность {7,^,Ф, g =< •,• >} тензорных полей на этом многообразии, где //-дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры , § -векторное поле, называемое характеристическим вектором, Φ – поле тензора типа (1,1), называемое структурным эндоморфизмом, g – риманова метрика на М. При этом

• 1)    η ( ξ ) = 1     2) Φ ( ξ ) = 0;

• 3)    n ° Ф = 0;   4) Ф2 = - id + n ® Е ;

• 5)    Φ X , Φ Y = X , Y - η ( X ) η ( Y ); X , Y ∈ Χ ( M ), .

Многообразие с фиксированной АС -структурой называется почти контактным метрическим (короче АС -многообразием). Хорошо известно [1], что тензор Ω ( X , Y ) =< X , Φ Y >  кососимметричен; он называется фундаментальной формой АС- структуры.

Если задать почти контактную метрическую структуру на многообразии М, то естественным образом в модуле X(М) возникает пара взаимно дополнительных проекторов: m = η ⊗ ξ , l = id - ξ ⊗ η . Очевидно, что m + l = id . Кроме того, легко показать, что l = -Φ ² .

На почти контактном метрическом многообразии М возникает пара распределений L = ker n = Im Ф , M = ker Ф — первое и второе фундаментальные распределения соответственно, при этом для модуля X(М) гладких векторных полей верно Χ ( M ) = L ⊕ M , где dim L = 2 n , а dim M = 1. Более того, комплексификация X C ( M ) = С ®Х ( M ) распадается в прямую сумму собственных распределений эндоморфизма Φ ^С :

ΧC(M)=DΦ-1⊕DΦ- -1⊕DΦ0 , причем DΦ0 = M . Проекторами на слагаемые этой суммы будут соответственно эндоморфизмы

π =- ¹ ( Φ ² + - 1 Φ ), π = ¹ ( -Φ ² + - 1 Φ ), m = id +Φ ².

В работе [1] было доказано, что к (2n+1)-мерному АС-многообразию как метрическому f-многообразию дефекта 1 внутренним образом присоединяется G-структура, структурной группой которой является группа Ли U ( n ) × { e } . Тотальное пространство этой G-структуры состоит из модифицированных А-реперов, т.е. комплексных реперов вида

( p , ε ₀, ε ₁,..., ε _n , ε ∧ ,..., ε ∧ ),

1n где е = Е , е = V2n(e„), е = V2n(e„), a =1,^,n, (e,...e„) — базис пространства Lp как Ц-pa        a a        a             1 n                         P модуля, p ∈ M .

В работе [1] на пространстве присоединенной G-структуры были получены тензорные компоненты формы римановой связности; первая группа структурных уравнений и компоненты тензора Нейенхейса эндоморфизма Φ АС-многообразий.

Определение 2. [4] АС-структура называется нормальной , если выполняется следующее условие

2NΦ +dη⊗ξ=0,         X,Y∈ Χ(M), где NΦ -тензор Нейенхейса эндоморфизма Φ , определяемый формулой

N _Φ ( X , Y ) = ( Φ ²[ X , Y ] + [ Φ X , Φ Y ] -Φ [ Φ X , Y ] -Φ [ X , Φ Y ]).

Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [5] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры.

Определение 3 .[1] Нормальная АС-структура называется косимплектической , если выполняются следующие условия: d η =0 и d Ω =0 .

Определение 4 .[1] Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, называется косимплектическим многообразием .

Определение 5 .[2] Диффеоморфизм φ : М → М псевдориманова многообразия ( М , g ) называется геодезическим преобразованием , если он любую геодезическую переводит в геодезическую.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим тензор Р проективной кривизны, являющийся инвариантом геодезических преобразований. Напомним, что тензор проективной кривизны вычисляется по формуле [2]:

P ( X , Y ) Z = R ( X , Y ) Z —( < r ( Z ), Y >  X -< r ( Z ), X >  Y ), ( * ) n - 1

где R-тензор кривизны, r - тензор Риччи.

Теперь вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектических многообразий.

Для этого получим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензора Риччи косимплектических многообразий.

Из работы [1] известно, что первая группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

1) d d a = -9 Ь л d ;

2) d d = 9 b л d ;                                   (1)

• 3)    d d = 0.

А в силу того, что косимплектические структуры характеризуются тем, что УФ = 0 [1], следующие компоненты формы римановой связности будут нулевыми:

a Qa    a Q»

• ⁹ = ⁹ b = ⁹ 0 = ⁹ a .

b

Проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнения (1). Продифференцировав внешним образом (1 1 ), получим:

• — d 9 b л d + 9 л d d = 0.

С учетом (11) имеем:

• — d 9 a л d + 9 b л (-9 C л d ) = 0,

или

( d 9^a _b + 9 a л 9 _b ^c ) л d = 0,

Обозначив через

A 9a = d^ + 9ca л 9b,(2)

последнее уравнение запишем в виде

A9b л d = 0.(3)

Далее, разложив 2-форму A 9_b^a по базису {9 b л 9 ^ ; 9 b л d^k ; to л d ; и л « } : a acd f g acd f               ac f g ac f

• A9 = Aw 9 л 9d + Af 9С л di + Abfe9C л d + Abf09b л d +

a c d acd                  ac d              a cac

+Abcdd л d + Ab dc л dd + Abdd л dc + Abc0d л d + Ab dc л d и подставив ее в уравнение (3), получим:

A bfg 9^f _c л 9 dd л d + A bf‘ⁱ 9^f _c л to _d л d + A ag 9 _c ^f л d л d + A bf ₀ 9 _c ^f л to л d +

+ A baca d л d л d + A bac^l to _c л d _d л d + A bc d л d _c л d +

+ A b, _c0 d л ю л d + A _b ^{a c 0} d _c л го л d = 0.

Отсюда, в силу линейной независимости базисных форм, имеем: acd         acd         acac

A bfg = 0; A bf = 0; A; bfg ] = 0; A bf 0 = 0;

Aa = 0; Aacd = 0; Aac = 0; A = 0; Ac0 = 0. bcd]      ’ b         ’ qbd]      ’ bc]0

Следовательно, (4) примет вид:

A9b=Aafg9cf л d+Aacdd л d+Abacd л ®c+Aa 0d л ®(5)

Продифференцируем внешним образом уравнение (1 2 ):

d 9^b _a л d _b - 9^b _a л d d _b = 0 .

С учетом (12) имеем:

d 9 b л d b - 9 b л (9 b л d c ) = 0

или

( d 9^b _Q - 9^C _Q л 9 c ) л d b = 0.

Так как

A9 b — d 9 b - 9^c _a л 9 b , последнее уравнение запишется в виде A 9^bb л a _b — 0

или

A9b л ®a — 0 .(6)

Принимая во внимание равенство (5) и подставив его в уравнение (6), получим:

f_c л to л to _a + A b to) л to л to _a + A aC to d л to _c л to _a + A c ₀ to л to л to _a — 0.

Отсюда имеем: ac         a          aca

Abfg 0; Abcd 0; Abd 0; Abc 0

Таким образом

A9 = Aacto л toc, где Abac|= A'bd]= 0.

Подставив выражение A 9 _b ^a в (2), получаем вторую группу структурных уравнений косимплек-тических многообразий в виде:

d 9 =-9 a л 9 b + A bd to d л to c .                            (7)

Итак, полная группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

d to — 9 л to ;

d ^to a = 9 b л to ;

d to — 0;

d 9 b =-9 a л 9 + Cto л to c ;

где { A ad } - семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричных по верхним и нижним индексам. Можно показать, что они образуют тензор на М²ⁿ⁺¹, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].

Сравнивая соотношения (7) со второй группой структурных уравнений римановой связности d9i — -9 л 9k +1R to л to , j k j 2 jkl где Ri jkl -компоненты тензора Римана-Кристофеля, в силу линейной независимости базисных форм и Rijkl = gisRsjkl получим, что на пространстве присоединенной G-структуры:

^Rabcd = ^R л bcd = ^R л. = ^Rabc 0 = ^R л = ^R лл = R лл = R 0 b 0 = R л = 0, a         abcd                abc 0 abc 0 abc 0                 a 0 b 0

ad

R л л — A bc . abcd

С учетом полученного, вычислим компоненты спектра тензора Риччи r j — - R ^k косимплектического многообразия:

rab — ra 0 — r00 — 0, ah

^Г л     A hb .

ab

C учетом ( * ) получаем спектр тензора проективной кривизны:

P - cd — 1-( AM - Ai s : );

b 2n a         ac 1 hca

P л       A bd ⁺ ,-. A bh ° d ;

bcd           2 n

a л bcd

ad 1 hd a

A bc        A bh ° c ;

2 n

P 0 л ab0

1 ah n Ahb ;

2 n

P 0 л a0b

1 ah hb , 2n

а остальные равны нулю [3].

Заключение

Теорема 1. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.

Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М²ⁿ⁺¹ проективно плоско, то есть P j_kl = 0. С учетом (2) это равносильно

• - A ac + — A hc S a = 0;   — A h = 0.

bd          bh d                   hb

2 n             2 n

Отсюда сразу следует, что

A bd = 0.

В этом случае, с учетом (1), получаем, что R^ = 0, то есть M²ⁿ⁺¹ - плоское многообразие. Обратное утверждение очевидно. □