Проектно-баллистический анализ транспортных операций космического буксира с электроракетными двигателями при перелетах на геостационарную орбиту, орбиту спутника луны и в точки либрации системы Земля - Луна

Выведение космических аппаратов (КА) на удаленные орбиты (геостационарную, селеноцентрические и др.) сегодня осуществляется носителями тяжелого класса. Такие запуски стоят порядка $100 млн, к тому же они расписаны на несколько лет вперед. Масса полезной нагрузки (ПН) при этом составляет всего 0,10–0,15 от массы КА на орбите старта. Поэтому в последнее время стал появляться интерес к выводу КА на опорную орбиту ракетой-носителем (РН) с последующим выведением на целевую орбиту при помощи электрора-кетной двигательной установки (ЭРДУ) малой тяги. Этот динамический маневр более продолжителен, но позволяет увеличить относительную массу ПН до величин ~0,35–0,40.

Эффективным решением проблемы транспортировки может быть создание номенклатурного ряда специализированных межорбитальных буксиров (МБ) на базе ЭРДУ, которые стыкуются с ПН на орбите старта, выводят ее на рабочую орбиту, используя собственные энергодвигательные возможности, а затем отстыковываются, возвращаются на орбиту старта с целью дозаправки рабочим телом и осуществления последующих транспортных операций. В монографии [1] подробно описываются проекты многоразовых элек-троракетных буксиров (ЭРБ) на базе ядер-ной или солнечной энергетических установок (СЭУ).

В настоящее время технический прогресс в создании солнечных батарей (СБ), использующих фотоэлектрические преобразователи (ФЭП) на арсениде галлия или аморфном кремнии, и средств выведения (РН семейства «Ангара») позволяет создать и вывести на орбиту ЭРБ с СЭУ мощностью до 400 кВт.

Одним из проектов МБ является разработанный РКК «Энергия» ЭРБ с солнечной энергоустановкой мощностью 400 кВт [2] (рис. 1).

Рис. 1. Многоразовый межорбитальный буксир (ММБ) с электроракетной двигательной установкой и солнечной энергоустановкой мощностью 400 кВт: 1 — панель солнечной батареи ММБ; 2 — панель солнечной батареи модуля полезной нагрузки (МПН); 3 — балка блока ЭРД (поворотная); 4 — полезная нагрузка МПН; 5 — блок ЭРД ММБ (вращающийся); 6 — блок расходных компонентов МПН; 7 — балка панели солнечных батарей (вращающаяся); 8 — блок приборно-агрегатный ММБ

В данной работе исследуются возможности ЭРБ с солнечной энергоустановкой с мощностью 400 кВт для динамических маневров в системе Земля – Луна при различных проектных параметрах двигательной установки.

основные проектные параметры электроракетного буксира с солнечной энергоустановкой

В качестве источника энергии рассматривались СБ на основе ФЭП из арсенида галлия двух видов: ныне существующих с КПД 28% (ФЭП А) и перспективных с КПД 40% (ФЭП Б). Площадь солнечных батарей ФЭП А равна 1 245 м2 и ФЭП Б — 871,5 м2 [1].

В табл. 1 приведены основные энергомассовые характеристики буксира.

Таблица 1

основные энергомассовые характеристики рассматриваемого варианта электроракетного буксира*

Наименование системы	Масса, кг
	ФЭП А	ФЭП Б
Приборный блок	1 400	1 300
Энергодвигательный блок, в т. ч.:	10 200	9 050
– система электроснабжения энергодвигательного блока	5 500	4 500
– система ориентации солнечных батарей	300	250
– система обеспечения раскрытия солнечных батарей	200	150
– электроракетная двигательная установка (без системы хранения рабочего тела)	1 200	1 200
– система обеспечения теплового режима энергодвигательного блока	700	700
– бортовая кабельная сеть	300	300
– автономная двигательная установка (АДУ) незаправленная	500	450
– корпус энергодвигательного блока	1 500	1 500
Сухая масса солнечного электроракетного буксира (СЭБ) с резервом 10% (без резерва)	12 750 (11 600)	11 400 (10 350)
Заправки АДУ (высококипящие компоненты)	1 050	700
Масса заправленного СЭБ	13 800	12 100

Примечание . * — электроракетный буксир, отличный от описанного в работе [2].

Данные о фактических параметрах тяговых модулей с ЭРДУ большой мощности приведены в работах [3–5] и представлены в табл. 2.

Таблица 2

технические характеристики современных тяговых модулей большой мощности [3–5]

Двигатель	Мощность ТМ, кВт	ν , м/с	КПД	Тяга, Н	Цена тяги, кВт/Н
HiPEP	39,0	96 000	0,8	0,670	58,2
HiPEP режим 2	24,4	82 700	0,78	0,460	53,0
HiPEP режим 3	42,0	80 000	0,74	0,780	53,8
NEXIS DM 1	25,0	75 000	0,75	0,475	52,6
ИД-500	35,0	70 000	0,78	0,780	44,9
NASA-457M	50,0	27 500	0,63	2,200	22,7
PPS-20kML	23,5	27 500	0,65	1,050	22,4
NASA-457M режим 2	40,7	20 000	0,58	2,400	17,0

Исходя из известной электрической мощности N , подводимой к энергодвигательному блоку (ЭДБ), определяется суммарная тяга ЭРДУ

P = 2 N η/ν, где η — тяговый КПД ЭДБ; ν — скорость истечения рабочего тела (РТ).

Проектные варианты для последующих расчетов выбирались из следующих соображений. Электрическая мощность, подводимая к ЭДБ, принималась равной 360 кВт, скорость истечения рабочего тела (ксенона) находилась в диапазоне 15…80 км/с. Тяговый КПД реальных двигателей принимается, исходя из статистических данных (табл. 2). КПД изменяется в зависимости от рабочего режима и, как правило, увеличивается с ростом скорости истечения (табл. 3).

Таблица 3

тяговые кПд и уровни тяги эрб

(мощность, подаваемая на блок эрд, 360 квт)

Проектный вариант	ν , м/с	КПД	Тяга, Н	Цена тяги, кВт/Н
1	80 000	0,75	6,75	53,3
2	75 000	0,75	7,20	50,0
3	70 000	0,75	7,71	46,7
4	65 000	0,75	8,31	43,3
5	60 000	0,70	8,40	42,9
6	55 000	0,70	9,16	39,3
7	50 000	0,70	10,08	35,7
8	45 000	0,65	10,40	34,6
9	40 000	0,65	11,70	30,8
10	35 000	0,65	13,37	26,9
11	30 000	0,60	14,40	25,0
12	25 000	0,60	17,28	20,8
13	20 000	0,60	21,60	16,7
14	15 000	0,60	28,80	12,5

баллистические схемы перелетов

В качестве средства выведения на низкую геоцентрическую орбиту предполагается использовать РН «Ангара-5». Выбор РН определяет параметры орбиты выведения и максимальную массу ЭРБ на этой орбите. В качестве орбит выведения предполагается использовать круговые геоцентрические орбиты высотой 200 км и наклонением 51,6° (запуск с космодрома «Восточный») и 63,15° (запуск с космодрома «Плесецк»).

При этом выведение на низкую геоцентрическую орбиту предполагается осуществлять двумя пусками:

• •    ЭРБ без рабочего тела для маршевой ЭРДУ;

• •    модуль полезной нагрузки (МПН) и рабочее тело для ЭРДУ.

Перелеты «низкая геоцентрическая орбита – геостационарная орбита» и обратно. Баллистическая схема данного динамического маневра состоит из нескольких этапов (рис. 2):

• •    доставка модулей на низкую геоцентрическую орбиту (орбиту старта) высотой 350–400 км (для исключения влияния верхней атмосферы Земли), стыковка ЭРБ с ПН и блоком расходных компонентов;

• •    выведение ПН на ГСО с низкой геоцентрической орбиты (орбиты старта) с помощью ЭРБ (рис. 3);

• •    возвращение ЭРБ с СЭУ на исходную низкую геоцентрическую орбиту.

Рис. 2. Баллистическая схема выведения космического аппарата (КА) с электроракетной двигательной установкой (ЭРДУ) на геостационарную орбиту (ГСО): 1 — выход КА в заданную точку на ГСО и отделение полезной нагрузки; 2 — траектория движения КА с ЭРДУ; 3 — орбита старта; 4 — ГСО; 5 — внешний радиационный пояс Земли; 6 — внутренний радиационный пояс Земли

Перелеты с низкой геоцентрической орбиты на низкую селеноцентрическую орбиту и в точки либрации L1, L2 системы Земля – Луна. Целевыми орбитами являются околокруговая селеноцентрическая орбита с высотой 100 км и нулевым наклонением и орбиты точек либрации L1 и L2.

В системе Земля – Луна есть пять «особых» точек ( L 1, L 2, L 3, L 4, L 5), так называемых «точек либрации». Их особенность состоит в том, что КА, располагаясь в этих точках, под совместным действием Земли и Луны движутся так, что первоначальное положение КА все время остается неизменным. Точки L 1 и L 2 располагаются на прямой, проходящей через центры Земли и Луны (рис. 3). Доставка ПН в точки L 1 и L 2 может представлять большой практический интерес, в частности, для наблюдения за потенциально опасными астероидами. Баллистическая схема перелетов к Луне и точкам либрации представлена на рис. 3.

Рис. 3. Баллистическая схема перелетов к Луне и точкам либрации: 1 — барицентр системы Земля–Луна; 2 — буксир; 3 — орбита выведения; 4 — плоскость орбиты Луны; 5 — сфера действия Луны; 6 — Луна; 7 — плоскость орбиты Луны; 8 — плоскость экватора; 9 — Земля; i₀ — наклонение начальной орбиты; i_L — наклонение орбиты Луны

Траекторию перелета ЭРБ в системе Земля – Луна будем разделять на три участка:

• •    пространственного геоцентрического движения вблизи Земли;

• •    барицентрического движения, исследуемого в рамках задачи трех тел;

• •    селеноцентрического движения.

Перелет к точкам либрации L1 и L2 системы Земля – Луна разделялся на два участка:

• •    пространственного геоцентрического маневра перехода со стартовой на промежуточную орбиту, лежащую в плоскости орбиты Луны;

• •    барицентрический участок плоского перелета с промежуточной орбиты к заданной точке либрации.

определение минимальной высоты орбиты старта

На низких околоземных орбитах высотой 200…700 км ощутимое влияние на движение КА оказывает возмущающее воздействие остаточной атмосферы Земли. Поскольку суммарная тяга блока ЭРД достаточно мала (см. табл. 3), начальный уровень реактивного ускорения a ₀ составляет всего (0,180…0,775)∙10^–3 м/с² (при стартовой массе ЭРБ ~37 т). Эти величины имеют одинаковый порядок с возмущающим (тормозящим) аэродинамическим ускорением. Поэтому выбор высоты орбиты старта имеет важное значение с точки зрения эффективности транспортной операции ЭРБ.

Даже приближенные оценки показывают, что высота орбиты старта должна быть больше, чем высота орбиты выведения РН. Доставка каждого модуля на орбиту старта с целью их сборки в единый транспортный модуль должна осуществляться с помощью разгонного блока (РБ) с жидкостным ракетным двигателем (ЖРД), масса которого с запасом топлива вычитается из массы ПН.

Примем, что условием возможности начала движения ЭРБ с низкой орбиты является существенное (например, на порядок) превышение уровня реактивного ускорения над максимальным уровнем возмущающего аэродинамического ускорения

P си =--->> max f (H , о) = maxop (H , z) V2,

0 M[                J 1     CT,          2 € Z           CT,      CT, где fa — модуль возмущающего аэродинамического ускорения; Hст, Vст — высота орбиты старта и круговая скорость на этой орбите, соответственно; о =

CXaS

2 M.

среднее значе-

ние баллистического коэффициента КА ( C_Xa — коэффициент аэродинамического сопротивления; S — характерная площадь ЭРБ); ρ — плотность верхней атмосферы Земли, зависящая не только от высоты H _ст, но и от набора параметров z , описывающих динамику верхней атмосферы.

При приближенных проектно-баллистических расчетах можно пользоваться «статической» моделью плотности атмосферы Земли (например, ГОСТ 4401-81) [6], в которой фигурирует «средняя» плотность, зависящая только от высоты HСТ.

Более точные расчеты требуют использования «динамической» модели плотности (например, ГОСТ Р 25645.166-2004) [7]. В этой модели плотность задается в следующем виде:

ρ = ρнK1 K2K3K4, где ρн — ночной вертикальный профиль плотности атмосферы; K1 — сомножитель, отражающий изменение плотности при изменении интенсивности солнечного радиоизлучения F на волне длиной 10,7 см относительно некоторого среднего уровня интенсивности F0; K2 — сомножитель, учитывающий суточный эффект в распределении плотности; K3 — сомножитель, учитывающий полугодовые вариации плотности атмосферы; K4 — сомножитель, учитывающий корреляцию между вариациями плотности и геомагнитной возмущенностью.

Коэффициенты динамической модели атмосферы определяются по таблицам ГОСТ [7] и зависят от времени суток, сезона, индекса солнечной активности F ₀, при этом плотность атмосферы может значительно изменяться за довольно короткий промежуток времени из-за вспышек на Солнце.

Приведем для справки значения плотности верхней атмосферы, соответствующие указанным выше моделям (табл. 4).

Таблица 4

Плотность верхней атмосферы

Высота орбиты, км	ГОСТ [6] ρ , кг/м3	ГОСТ [7]
		ρ max, кг/м3	ρ min, кг/м3
200	2,519·10–10	3,98·10–10	1,69·10–10
400	2,794·10–12	18,9·10–12	0,443·10–12

Значение характерной площади ЭРБ S принимается для ориентировочных расчетов равным 0,25 S _max, где S _max — площадь солнечных батарей (см. табл. 1); коэффициент лобового сопротивления C_Xa для движения тела в разряженной атмосфере принимается равным 2…2,5.

Принимается, что эффективная работа блока ЭРД возможна при величине реактивного ускорения на порядок выше аэродинамического сопротивления, т. е. ( a ₀ / f_a ) > 10. Такое превышение для приведенных выше параметров ЭРБ обеспечивается на высоте 330…360 км. Эти высоты примерно соответствуют высоте функционирования МКС, что можно использовать для контроля за сборкой и начальным этапом функционирования ЭРБ.

учет деградации панелей солнечных батарей при движении в радиационных поясах земли

Движение КА в областях повышенной радиационной активности сопровождается деградацией СБ. Основная доля деградации происходит в радиационных поясах Земли, поэтому при расчете перелетов на ГСО, на низкую селеноцентрическую орбиту или к точкам либрации использовалась одна и та же модель.

Экспериментально установлено [8], что удельная мощность и КПД СБ уменьшаются пропорционально энергии, плотности и времени воздействия потоков корпускулярных частиц:

N ( t ) = N ₀(1 – k _д R ( t )), где k _д — коэффициент деградации (в расчетах принимаем 1/°); R ( t ) — суммарная доза радиации, полученная КА в текущий момент времени.

Для расчета полученной дозы радиации при движении КА в радиационных поясах Земли используется аппроксимационная модель распределения интенсивности радиации [8].

При моделировании перелета на ГСО с возвращением полная деградация панелей CБ составила ~2%.

выбор траекторий и режимов управления вектором тяги при перелетах с малой тягой в системе земля – луна

Задачей проектно-баллистической оптимизации называется задача выбора проектных параметров ЭРБ и режимов управления вектором тяги, обеспечивающих реализацию динамического маневра межорбитального перехода при минимальном (максимальном) значении заданного критерия оптимальности. Сложность такой задачи заключается в том, что траектории существенно зависят от проектных параметров, а, в свою очередь, проектные параметры КА определяются выбранными траекториями и режимами управления.

В качестве критерия оптимальности примем относительную массу ПН µ = М _ПН/ М ₀, где М _ПН — масса ПН; М ₀ — стартовая масса КА.

Уравнение баланса масс ЭРБ запишем в следующем виде:

M0 = МПН + МЭРБ + МРТ , где МЭРБ — масса ЭРБ; МРТ — масса РТ, необходимого для прямого и обратного перелетов.

Масса ПН и РТ после выведения на орбиту старта и стыковки с ЭРБ принимается равной 23 350 кг, что соответствует массе ПН, которая может быть доставлена на опорную орбиту средствами РН «Ангара-А5». Поэтому увеличение массы ПН возможно только за счет уменьшения расхода РТ.

Таким образом, масса комплекса (ЭРБ с СЭУ + РТ + ПН) на орбите старта равна 37 150 кг для ФЭП А и 35 450 кг — для ФЭП Б.

В данной работе проектные параметры ЭРБ были приняты в соответствии с табл. 1. Поэтому рассматривается только динамическая часть проблемы оптимизации: выбор траекторий и режимов управления вектором тяги.

Перелеты на геостационарную орбиту с возвращением ЭРБ на орбиту старта. Перелет с низкой круговой орбиты старта на ГСО и обратно относится к классу динамических маневров перехода между некомпланарными круговыми околоземными орбитами. Эта проблема достаточно подробно описана в литературе [7, 9–12]. Решение данной задачи известно как в строгой постановке, с использованием математических моделей движения в форме уравнений в оскулирующих элементах или равноденственных элементах и алгоритмов на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина, так и с использованием упрощенных моделей движения В.Н. Лебедева, полученных в результате усреднения точных уравнений движения [10]. Последний подход представляется предпочтительным для решения задач проектнобаллистической оптимизации, так как позволяет получить результаты в аналитическом виде, удобном для последующего анализа.

Введем две правые системы координат, начало которых совместим с центром масс КА:

• •    подвижную орбитальную OXYZ, ось OX которой направлена вдоль трансверсали, ось OY — по радиус-вектору r , ось OZ — по нормали к плоскости орбиты;

• •    связанную OX₁Y₁Z₁ с осями, совпадающими с главными центральными осями инерции КА (рис. 4).

Примем, что вектор тяги P направлен вдоль связанной оси OX ₁ ЭРБ, которую в дальнейшем будем называть продольной.

В работе [9] приводится решение задачи перелета с малой тягой между некомпланарными круговыми орбитами. Согласно этому решению, оптимальный маневр между некомпланарными круговыми орбитами представляется в виде суперпозиции двух простых маневров: изменения радиуса круговой орбиты и поворота плоскости орбиты. В этом случае радиальная составляющая реактивного ускорения равна нулю.

Несмотря на то, что оптимальное решение задачи, приведенное в работе [9], получено в предположении, что начальная и конечная орбиты близки, его можно применить и для перелета с низкой круговой орбиты на ГСО, так как под действием малого реактивного ускорения эволюция параметров орбиты происходит медленно.

Таким образом, примем, что при перелете с низкой круговой орбиты на ГСО вектор тяги лежит в местной горизонтальной плоскости OXZ . Направление вектора тяги задается углом v между трансверсалью и вектором тяги (рис. 4). Тогда составляющие реактивного ускорения будут равны:

ax = (P/M)cosv; ay = 0; az = (P/M)sinv, где a0 — начальное реактивное ускорение; P — тяга ЭРД; M — текущая масса КА.

Рис. 4. Управление вектором тяги при перелетах между некомпланарными орбитами

Принятая конструктивная схема ЭРБ [2], в которой управление вектором тяги реализуется поворотом блока ЭРД независимо от ориентации корпуса КА, позволяет реализовать любую программу изменения угла V-

При помощи составляющей реактивного ускорения az, нормальной к оскулирующей плоскости орбиты, можно изменять наклонение i. Если в точках, где аргумент широты принимает значения п/2, 3п/2, ..., изменить направление бинормальной составляющей az на противоположное, то наклонение орбиты будет изменяться монотонно. Следо- вательно, при помощи управления ax = a0exp

a_z = a ₀ exp

V x

ν

cos ψ ; a_y = 0;

sin| ψ | sign(cos u )

можно одновременно изменять средний радиус r и наклонение орбиты i . Здесь u — аргумент широты; V_x — текущая характеристическая скорость.

Оптимальная программа разворота вектора тяги относительно оскулирующей плоскости орбиты имеет вид [11]:

v( Vx, u) = arctg(tgvm( Vx)cosu), где vm — амплитуда периодических колебаний этого угла, зависящая от текущей характеристической скорости.

Для проведения проектно-баллистических расчетов удобно использовать программу управления вектором тяги, являющуюся модификацией известной программы В.Н. Лебедева [10]

v( V x , u ) = V m ( V x )sign(cos u ).

Изменение v _m задается монотонно возрастающей функцией, полученной в ходе решения краевой задачи в работе [10], радиус орбиты изменяется немонотонно (рис. 5).

Рис. 5. Измененение траекторных параметров и параметров управления в процессе полета (r0 = 6 731 км;

r k = 42 164 км; i 0 = 51,6 ° ; i_k = 0 ° )

Характеристическая скорость перелета вычисляется по формуле [10]:

V xk = V 0

^п(Ч - ^г 0) ₊ ^ 0

r k

где r ₀ — радиус стартовой круговой орбиты; r_k — радиус конечной орбиты; i ₀ — наклонение начальной орбиты; i_k — наклонение конечной орбиты; V ₀ — орбитальная скорость на исходной орбите.

Характерной особенностью приведенных решений является то, что траектория и программа управления не зависят от величины реактивного ускорения, а определяются только граничными условиями перелета.

На рис. 6 показан вид трассы ЭРБ, полученной при выведении на ГСО (последние витки).

Долгота,

Рис. 6. Трасса выведения в рабочую точку ГСО с долготой

X р = 90 ° . Последние витки траектории (r k = 42164 км; a₀ = 0,001 м/c²) [12]. 1…8 — время (сутки)

Выбор оптимальных дат старта. Электрическая мощность, вырабатываемая СБ на освещенных участках траектории, зависит от угла в между направлением на Солнце и нормалью к поверхности батарей: N = N m a x cosp. Задачей управления ориентацией СБ является обеспечение максимального значения cosp.

В зависимости от даты старта, которая определяет начальную ориентацию плоскости орбиты относительно Солнца, траектория межорбитального перелета ЭРБ будет характеризоваться различным временем затенения. Поставим задачу отыскания таких дат старта, при которых суммарное время т пребывания ЭРБ в тени минимально.

Приближенный метод расчета времени пребывания КА с двигателем малой тяги в тени [11] состоит в интегрировании уравнения dτ = 1

dt 2π

где т — продолжительность теневого участка (в угловой мере) на витке круговой орбиты радиуса r . Уравнение (1) получено из допущения о цилиндрической конфигурации теневой области [11]. Здесь

X = arcsin

R э

r

- cos28

sin 8

×

1 + sign

) - cos28

J где 8 — угол между нормалью к плоскости орбиты и направлением на Солнце; Rэ — экваториальный радиус Земли.

При расчете суммарного времени затенения путем интегрирования уравнения (1) необходимо учитывать движение Солнца по эклиптике и прецессию восходящего узла орбиты Q. Приближенно можно считать

9 = 9 0 + 0,0172 t ; 9 0 = 0,0172( D 0 - 80);

d Ω     2 ε

=       sin u cos i, dt       µr7

где 9 0 — начальное положение Солнца в плоскости эклиптики; D ₀ — дата старта (число суток с начала текущего года); t — время, сут; е ₀ = 2,634-10¹⁰ км⁵/с².

Изменение параметров r , i оскулирующей околокруговой орбиты получается в результате интегрирования уравнений движения.

Серия расчетов перелетов в окрестность ГСО, выполненных для различных значений параметров Q 0 , D 0 , позволяет построить линии равных времен пребывания КА в тени и выбрать оптимальные дату старта и положение восходящего узла орбиты. Так, диаграмма (рис. 7), построенная для а ₀ = 1,0∙10^–3 м/с² и v = 60 км/с, показывает, что при одинаковом моторном времени перелета Т_m = 86,4 сут время пребывания в тени составляет 0…18,6 сут. Оптимальные и неоптимальные даты старта повторяются с периодичностью шесть месяцев. При фиксированной дате старта можно добиться уменьшения времени пребывания КА в тени за счет оптимального выбора начальной ориентации плоскости орбиты (угла Q 0 ).

Рис. 7. Линии равной продолжительности теневых участков для перелета ЭРБ с СЭУ на геостационарную орбиту а₀ = 1,0 • 10^-3 м/с²; i₀ =51 ° [12]

Расчеты перелетов с учетом светотеневой обстановки показали, что продолжительность теневых участков может достигать до 10% от суммарной продолжительности перелета.

Предполагается, что ЭРБ имеет аккумуляторные батареи достаточной мощности для того, чтобы поддерживать необходимый уровень тяги на теневых участках.

Перелеты к Луне и в точки либрации с возвращением ЭРБ на орбиту старта. Движение КА в системе Земля – Луна традиционно рассчитывается в рамках теории сфер действия. Это оправдано при использовании двигателей большой тяги в рамках импульсной постановки задач. Однако, при расчете движения КА с малой тягой реактивное ускорение сравнимо с возмущающими ускорениями Земли и Луны [13].

Для решения вариационных задач используются две модели движения КА: плоская и пространственная. На начальных этапах решение ведется в рамках ограниченной круговой задачи трех тел (Земля и Луна движутся по усредненным круговым орбитам). Для уточненных расчетов используется модель, учитывающая реальное движение Луны и Земли относительно барицентра [14].

Для каждой модели движения КА траекторию перелета КА в системе Земля – Луна будем разделять на три участка:

• •    геоцентрического движения вблизи Земли;

• •    барицентрического движения в рамках задачи трех тел;

• •    селеноцентрического движения.

Поиск оптимального управления вектором тяги осуществляется с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [15].

На первом участке перелета движение рассчитывается в полярной геоцентрической системе координат в рамках задачи двух тел. При этом гравитационное влияние других небесных тел учитывается как возмущение. Кроме того, учитываются возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли.

На втором участке движение аппарата описывается в инерциальной полярной барицентрической системе координат.

Для расчета некомпланарного движения используется комбинированная барицентрическая система координат (рис. 8).

Положение центра масс КА относительно барицентра определяется радиус-вектором r и аргументом широты КА u . Положение плоскости орбиты КА задается углами восходящего узла Ω и наклонения i . В случае некомпланарного движения требуется перейти к более точному описанию реального движения Земли и Луны, поэтому величина и направление векторов –r_Z и –r_L , определяющих положение Земли и Луны, а также угол η, определяющий угловое положение Земли и Луны, вычисляются по эфемеридам Луны.

На участке формирования селеноцентрической орбиты с заданными параметрами определяется управление в рамках ограниченной круговой задачи двух тел (Луна, КА). Граничные условия перелета определяются параметрами промежуточной орбиты.

Стыковка барицентрического и селеноцентрического участков движения осуществляется при достижении границы сферы действия Луны (66 000 км от центра Луны).

Барицентр системы

Средняя плоскость движения Лупы

Плоскость орбиты КА

Луна

Линия пересечения орбит КА и Луны

Рис. 8. Комбинированная барицентрическая система координат

Оптимальное управление вектором тяги в постановке ограниченной круговой задачи трех тел находилось согласно формализму принципа максимума Понтрягина с учетом разбиения всей траектории на указанные выше участки [15].

Задача об оптимальном движении в рамках ограниченной задачи трех тел (Земля – Луна – КА) в общем случае сводится к двухточечной шестипараметрической краевой задаче. Решение краевых задач такого порядка сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Поэтому пришлось разбивать всю траекторию на характерные участки и упрощать модели движения в рамках каждого участка.

На рис. 9 показана типичная траектория движения на барицентрическом участке перелета в проекции на плоскость движения Луны для ЭРБ с ФЭП А.

Рис. 9. Перелет низкая околоземная – низкая окололунная орбита. Проекция траектории движения на плоскость движения Луны. КПД ФЭП 28%; наклонение орбиты выведения 63,15 ° ; тяга ЭРДУ 6,75 Н; скорость истечения рабочего тела 80 км/c

На участке селеноцентрического движения после входа в сферу действия Луны для формирования околокруговой селеноцентрической орбиты удобно применять локально-оптимальные законы управления для уменьшения скорости КА, эксцентриситета и радиуса перицентра орбиты. Управление для изменения плоскости орбиты производится отклонением вектора тяги от плоскости орбиты на угол Х 2 .

На рис. 10 приведены изолинии длительности маневра формирования заданной селеноцентрической орбиты на поле координат селеноцентрических скоростей [16].

Рис. 10. Изолинии длительности маневра формирования селеноцентрической орбиты на поле координат селеноцентрических скоростей