Прогнозирование авторегрессионных временных рядов при наличии цензурирования

Задача статистического прогнозирования возникает во многих приложениях: в медицине, экономике, метеорологии, технике, астрономии [1]. Для описания временных рядов с зависимыми наблюдениями и прогнозирования будущих значений широко применяется модель авторегрессии [1]. На практике значения временного ряда часто наблюдаются с искажениями различных типов: выбросы, пропуски, гетероскедастич-ность [2], цензурирование [3] и др.; обзор типов искажений и их математические описания представлены в работе [2]. Цензурирование временного ряда заключается в том, что часть наблюдений ряда известна точно, а об остальных наблюдениях известно лишь, что они принадлежат некоторым числовым интервалам. Такая ситуация может возникать из-за наличия у приборов конечных пределов измерения, высокой стоимости проведения точных измерений, разладки оборудования и других причин.

Цензурированные выборки независимых наблюдений подробно изучены в математической теории надежности [4]. Однако статистический анализ цензурированных временных рядов остается малоизученным и актуальным направлением исследований.

Математическая модель. Пусть временной ряд x t описывается моделью АР( p ) авторегрессии порядка p g N [1]:

x t ^e i x t - i + u t , t ^G Z , (1) где { 9 i } ” = - коэффициенты авторегрессии такие, что все корни порождающего характеристического многочлена zp - ^ p^jz” ^- j лежат внутри единичного круга; { u t } – независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины, имеющие нормальный закон распределения вероятностей L { u_t } = = N (0, а ² ).

Пусть вместо значений временного ряда наблюдаются случайные события:

A t = { X t g A t } , t g { 1, . , T } , (2)

где { A_t } – заданные борелевские множества; T >  p – длительность наблюдения.

При наличии интервального цензурирования возможны два случая:

• 1)    A_t состоит из одного элемента ( A_t = { x_t }), тогда значение x t известно точно;

• 2)    A t является числовым интервалом ( A t = [ a t , b t ), a_t <  b_t ), тогда имеет место интервальное цензурирование значения x t , а интервал [ a t , b t ) называется интервалом цензурирования.

Статистическое прогнозирование будущего значения X T ₊ ^R заключается в вычислении оценки X_{т + 1} g R на основе имеющейся информации о наступлении событий A *, . . , A T :

X т + i = f ( A T , A T - i , . , A * ) .               (3)

Погрешность прогнозирования будем характеризовать условным риском прогнозирования r (f) = E {( Xt+1 - XT+1 )2 AT, ., A*} > 0,        (4)

• т. е. среднеквадратической ошибкой прогнозирования.

Рассмотрим задачу построения оптимальной прогнозирующей статистики (ОПС) f₀ ( ■ ), минимизирующей условный риск (4), в случае известных параметров модели (1), (2):

r T ⁽ f I) = inf r T ^{( f} ).                     ⁽⁵⁾

f ( ■ )

Основные результаты. Теорема 1. Если временной ряд x t наблюдается при наличии цензурирования общего вида (2), то среди всех прогнозирующих статистик вида (3) оптимальная по критерию минимума риска (5) прогнозирующая статистика определяется условным математическим ожиданием:

**   **

^XT + 1 = ^f I ( A T , . , ^A 1 ) = ^E { ^XT + 1 A T , . , A i } ,

Г т ( f i ) = d { Xt + 1 A T , . , A * } .             (6)

Доказательство. Преобразуем условный риск (4): r T ^{( f} ) = ^E { ( ^xt + i ^- ■^Xт + i ) 2 | A T , . , A i* } =

= E { ( ^xt + i ^{- f} ( A T , . , A * )) A T , . , A * } =

^E { ( ( ^X* + 1 ^E { ^X* + 1 A T , , ' " , ^A 1 } ) + ( ^E { ^X* + 1 | A T , • "  , ^A 1 }

• - f ( A * , " , A* )) ) 2 A * , " , A-

• Заметим, что второе слагаемое зависит только от **

^AT , • ", ^A1 :

*   **   *

r T ⁽ f ) = ^E { ( ^X* + 1 ^E { ^X* + 1 | ^AT , " , ^A 1 }) | ^A* , " • , ^A 1 } +

• + ( E { x * + 1 A * , " , A * } — f ( A T , ". , A * ) ) 2 +

+ 2e { ( X * + 1 — E { X * + 11 A * , " , A * })| A * , .„ , A Jx

X ( E { ^xT + 1 A T , " , A * } - f ( A * , " , A * ) ) = D { x T + 11 ^AT , " , A * } +

⁺ ( E { x T + 1 A T , " , A * } - f ( A * , " , A * ) ) ^ min.

f ( • )

Из этого представления следует, что (6) есть решение задачи (5).

Теорема 1 является обобщением известного результата [1] в ситуации, когда цензурирование отсутствует.

Рассмотрим случай, когда цензурированы только последние q (0 ≤ q ≤ T ) значений временного ряда, а остальные T – q наблюдений известны точно. Обозначим

ц ( t , m ) = 0 1 x t - 1 ⁺ ". + 0 m x - m = £ 9 ,^x, - i , t , m e N .

i = 1

Теорема 2. Пусть в рамках модели (1), (2) наблюдаются значения x ₁ , …, x_T–q и случайные события ^AT - q + 1 = { ^X* - q + 1 ^e [ a T - q + 1 , ^Ь* - q + 1 )} , ",

A * = { x * e [ а * , Ь * ) } . Тогда ОПС имеет вид

^XT + 1

Ь *      b T - q + 1

J ". J Ц ( * + 1, p ) p ( x T , " , x T - q + 1 | ^x* - q , " , ^x 1 ) d ^X* - q + 1 "  d ^X* ^aT     ^aT - q + 1

Ь т      b T - q + 1

J ". J p ⁽ x T , " , ^X t - q + 1 | ^X t - q , " , ^x 1 ) dx T - q + 1 "  ^dX*

^aT     ^aT - q + 1

Доказательство . Оценку (6) в силу (1) можно представить следующим образом:

^X* + 1

^E { ^X* + 1 | ^AT , " , ^AT - q + 1

x

T - q

■, ^X 1 } =

I p

= ^E ] E ⁰ i^X* + 1 - i ⁺ u * + 1 | ^AT , L i = 1

*

•, ^AT - q + 1 , ^X* - q

, x ₁

= E {ц( * + 1, p )| AT, ", AT - q+1, X* - q , ", x1} , так как случайная величина uT+1 не зависит от A*,.", A*-q+1, xT-q, ", x 1 и E{uT+1} = 0. Вычислив полученное математическое ожидание, получим требуемое равенство (7).

Введем обозначение:

^(x, y, m, 5, u, v) = (u ф((x - m) / 5)- vФ((y -m) / 5))xх(ф(( y - m)/ 5 )-Ф(( x - m)/ 5)) ,

x, y, m, 5, u, v e R, где ф(x) = (1Л/2л) exp(-x2/2), Ф(x) = J ф(t)dt -соответственно, плотность и функция распределения вероятностей стандартного нормального закона N(0, 1).

Следствие. Если в рамках модели (1), (2) наблюдаются значения x 1 , …, x T– 1 и случайное событие A * = { x_T e ( a * , b_T ) } ( q = 1), то ОПС (4) имеет вид

^Хт + 1 = ⁰ 1 Ц ⁽ * , p ) ⁺ Е p 2⁰ i^X* - i + 1 ^{+ 0 П}^ ^X i = 2

х ( а * , Ь * , ц ( * , p ), о , 1,1 ) .

Доказательство. Воспользовавшись известным соотношением для модели АР( p ) [1]

p(x* |x*-1, ", X1) = ф((x* -ц(*, p))/о)/о и теоремой 2 для q = 1, получим требуемое соотношение.

Если среди последних q значений временного ряда имеются не только цензурированные наблюдения, но и к (1 <  k <  q ) известных наблюдений x^ ,.", x l _t ( * - q + 1 ≤ l 1 < … <  l k ≤ T ), то ОПС может быть получена из (7) предельным переходом Ьц ^ а^ ,.", bl_t ^ al_t .

Рассмотрим частный случай модели (1) – авторегрессию первого порядка ( p = 1):

x_t = 0 x_t - 1 + u_t , t e Z,                    (8)

и q = 1, причем предполагается, что параметры модели 0 и о известны. Для этого случая исследуем зависимость условного риска прогнозирования от длины интервала цензурирования и проведем сравнение ОПС f 0 ( • ) с прогнозирующими статистиками, часто используемыми на практике [3]. В этом случае последнее значение x _T временного ряда цензурировано интервалом ( а * , Ь * ), а предпоследнее значение x * - 1 известно точно. Поскольку в данном случае результат зависит только от одного интервала цензурирования A * = ( а * , Ь * ), то для упрощения обозначений вместо a_T и b_T будем писать a и b . Используя теорему 2, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть для модели (8) наблюдаются значение x * _—1 и случайное событие A * = { x * e [ а , Ь ) } , тогда ОПС и ее условный риск имеют вид:

X * + 1 = f , ( A * , x * - 1 ) = 0 2 x * - 1 + 0оФ ( а , Ь , 0 x * - 1 , о , 1,1 ) , (9) r * ^{( f} J = ^{(1 + 0} 2^{) о} 2 - ( ^0о^ ( ^а , ^Ь , ^{0 x}* - 1 , ^о , 1,1 ) ) 2 + (10) + 0 2 оФ ( а , Ь , 0 x * - 1 , о , а - 0 x * - 1 , Ь - 0 x * - 1 ) .

Следствие. В условиях теоремы 3 для условного риска прогнозирования справедливо асимптотическое разложение при τ = b – a → 0:

r * ( f i) = о ² + 0 ² t ² /12 -0 2 т ⁴ x

x ( 3 а ² - 6 а 0 x * - 1 + 3 0 2 x * - 1 + 2 о ² ) /720 о ⁴ + о ( т ⁴).

Доказательство. Учитывая дифференцируемость функции У ( - ) в (10) по т , воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и получим требуемое соотношение для условного риска.

Из доказанного следствия получаем, что безусловный риск ОПС имеет следующее асимптотическое разложение при τ = b – a → 0:

E { r T ( f 0 ) } = - 2 + 9 2 т ² /12 -9 2 т ⁴ х х ( 3 a ² + 3 9V / ( 1 - 9 ² ) + 2 - ² ) / 720 - 4 + о ( т ⁴).

Одной из возможных альтернативных прогнозирующих статистик является следующая [3]:

x т + 1 = f ( A T ) = 9 E { Xt I A * } = = 9 E { x_T | x_T e [ a , b ) } .

Теорема 4. Если для модели (8) наблюдается случайное событие AT ={ xT e[a, b)}, то прогнозирующая статистика (12) имеет вид x T+1 = f1 ( aT) = (e- / Vi-92 )x xv(a, b, 0, 9g/71 -92,1,1), и ее условный риск прогнозирования равен:

Г т ( f ) = 777

1—9

—

9 ² - ²

1 — 9 ^{2 X}

r Г - W

X У a , b ,0, .-----,1,1 | +

I I       71 — 92    JJ

+ ^G ° У a , b , 0, , ^-   , a , b .

7T—0²   I       71-9 2     J

Доказательство. Прогнозирующая статистика (12) выглядит следующим образом:

x_{T + 1} =9 E { x_T | x_T e [ a , b ) } = 9 ( J xn ( x |0, - ² /1 — 9 ² ) dx ) x

x ( j n ( x |0, - ²/1 — 9 ² ) dx ) .

Воспользовавшись [5] для вычисления интегралов, получим статистику (13). Аналогично вычисляется условный риск прогнозирования (14).

Следствие. В условиях теоремы 4 для условного риска прогнозирования справедливо асимптотическое разложение при τ = b – a → 0:

rT (f1) = -2 +92т2 /12 — 92 (1 — 92 )2 x x т4 (3a2 + 2-2 / (1 — 92)) / 720-4 + о(т4).

Доказательство. Проводится аналогично доказательству следствия теоремы 3.

Сравнивая E { r_T ( f 0 ) } и r_T ( f 1 ) при т ^ 0, замечаем, что усредненный риск ОПС (11) меньше риска прогнозирующей статистики (12).

Рассмотрим еще одну часто используемую прогнозирующую статистику:

x_{T + 1} = f 2 ( A T ) = 9 ( a + b ) /2.           (15)

Теорема 5. Если для модели (8) наблюдается случайное событие A T = { x_T e [ a , b ) } , то условный риск прогнозирования для статистики (15) равен :

rT (f2) = -2 /1 — 92 +92( a + b )2 /4 — (92-/71 — 92 )x x У (a, b, 0, - /71 — 92, b, a).

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 4.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5 и τ = b – a → 0. Тогда для условного риска справедливо следующее асимптотическое разложение:

rT (f 2) = -2 + 92т2 /12 + 92 (1 — 92 )2 x x т4 (a2 — -2 /(1 — 92)) / 360-4 + о(т4).

Доказательство. Проводится аналогично доказательству следствия теоремы 3.

Легко увидеть, что при т близких к нулю, риск прогнозирования статистики (15) больше, чем риск прогнозирования для статистик (9) и (12).

Численные результаты. Для сравнения прогнозирующих статистик (9), (12) и (15) проведены компьютерные эксперименты. Применялся метод Монте-Карло с числом прогонов N = 10 000. Для моделирования временного ряда использованы значения параметров: p = 1, 9 = 0,8, - = 1, q = 1, T = 100, т e {0, 0,5, _, 15}, по наблюдению x_T строился интервал цензурирования ( a , b ) длины τ, где a = x T – ατ и b = x_T + α(1 – τ), α – случайная величина, равномерно распределенная на [0, 1].

На рисунке а изображены графики зависимостей экспериментальных значений риска для всех трех прогнозирующих статистик от т . ОПС (9) имеет наименьший риск, риск статистики (12) принимает большие значения, а риск статистики (15) возрастает очень быстро и уже при малых т принимает достаточно большие значения.

На рисунках б – г изображены усредненные теоретические значения риска прогнозирования для статистик (9), (12) и (15) в зависимости от т , вычисленные по формулам (10), (14) и (16), соответственно, и 95 %-ные доверительные границы риска.

Таким образом, в настоящей работе найдена ОПС для авторегрессионных временных рядов при наличии цензурирования и ее риск; в случае авторегрессии первого порядка проведено сравнение ОПС с прогнозирующими статистиками, часто используемыми на практике; проведены компьютерные эксперименты, которые показали, что экспериментальные и теоретические значения риска находятся в хорошем согласии.