Прогнозирование эффективных теплофизических характеристик пироуглеродных матриц

J

Тогда, производя интегрирование в (10), получим следующее выражение для эффективного тензора тепловых напряжений произвольного многофазного поликристалла в корреляционном приближении:

tv_

^ =М           +(12)

1\Р'/

Осреднение в (12) производится по всевозможным ориентациям кристаллографических осей в каждом кристаллите и по объему среды.

Применим формулу (12) к однофазному гексагональному поликристаллу, каковым является неповрежденная пироуглеродная матрица без пор. Выше отмечалось, что тензор коэффициентов тепловых напряжений отдельного кристаллита пироуглерода имеет две независимых компоненты. В кристаллографической системе координат, в которой ось 3 направлена вдоль оси упругой симметрии 6-го порядка кристаллита, этот тензор имеет вид

В^ =^8^-4ЧРз-РОЗ.зб^                      (13)

а в произвольной системе координат

Ру (Г) = Pi 8у + (Рз - Pi )«,з (г)“уз (г) ,                      (14)

где a_jk - направляющие косинусы. Тензор модулей упругости кристаллита в кристаллографической системе координат

Су™^=аМтл ^{+ ь}<⁸™ ^jn + 8,_n5y_m) + У5_/З8_уз8_т38„₃ +

+к(8,.38уз8ю, +6у8т38„3) +

+p(8,„8v38m3 + 8(38e38> + 8te8y38„3 + 8i38m38yJ, где через я,£,у,к,р обозначены пять независимых упругих постоянных гексагонального кристалла. Они выражаются через компоненты тензора модулей упругости в матричных обозначениях стп (которые определяются стандартным образом [2] по компонентам в тензорных обозначениях) формулами

« = с₁₂, & = |(с_п-с₁₂), у=с₁₁+с₃₃-2с₁₃-4с₄₄,

— с₁₃ с_|2, р — с₄₄ 2 (^ci 1 ^12) •

Тензор модулей упругости кристаллита в произвольной системе координат записывается аналогично (14).

Вычисляя свертки статистических моментов, входящих в (12), получим следующее выражение для эффективного тензора тепловых напряжений неповрежденной пироуглеродной матрицы:

Прогнозирование эффективных характеристик пироуглеродных матриц

*_2(Vp3    2(5-2Х)

Ру _         ^у 4- -         (С33 + С]3 - Сп -Сп )(рз - р, )о,у.(15)

Для вычисления эффективного тензора коэффициентов теплового расширения ос* , определяемых (2), необходимо рассмотреть уравнения равновесия в напряжениях [2]:

e.pqek«VpVt [^ w<5im (г) + aqs (г)6(г)] = -Tiit,(16)

где eipq - единичный антисимметричный тензор Леви-Чивита, %- тензор несовместности,•

Осреднение (16) дает выражение для а*. Соответствующие вычисления приведены в [2], которые дают следующий результат для эффективного тензора теплового расширения произвольной среды в корреляционном приближении:

^ч^-шу*ci?)

где

+ <6s + 7^)7 ],

3u(q) • A-q)

а параметры податливости 5 и q среды с осредненными свойствами определяются из

=3(^+2<^.

Произведем вычисление статистического момента в (17) для пироуглсродной матрицы. Для гексагонального кристалла тензор податливостей в кристаллографической системе координат

<=15,5pq + т(5ф6л + ^) + пМ^,А> +

Wft5j38pq +5^8,3-

-vu(3_A5 _х5. л-8_ч8 _л8 + 8 т.8 ^8 л-З^З^бА,                (18)

V р рЗ «ч 13 q3 jp j3 уЗ гр /3 рЗ jg ' *

где через l,m,n,tvu обозначены материальные постоянные . Они выражаются через компоненты тензора податливостей в кристаллографической системе координат в матричных обозначениях l = Sn, m = ^(Sn -Su), n = Su *8M-2SU-2SM1

t = S_B-S_n,«=^-SpS_n).                (19)

В свою очередь Sjk связаны с компонентами тензора модулей упругости в матричных обозначениях формулами

5,

-L £зЗ_ +

2 с

Ста ^‘1

> ^зз _

^СН "*~ ^С12 с > с

12 2

1 ^сзз

с

си "^и

° 13 “       > ^44        > °66 — с с44

, с — с₃₃ (с_п + с^ 2с₁₃.

С66

Вид тензора а^ аналогичен (13).

А.А. Ташкинов, B.E. Шавшуков

Производя с помощью (18) вычисления в (17), получим следующее выражение для эффективного тензора коэффициентов теплового расширения неповрежденной пироуглеродной матрицы в корреляционном приближении:

_а* - H^UL^l 5--^L+ iq)— ^ _{+   +} ^ _ ^ ^ _ ^   ^22)

• ^{1 3}         3       ¹³ 135^) • (s-v-q) ^{11     33     13     12    3     1 у}

  где (5) = ^ У_п + 5_Я + 85_|3 + 55_|2 - 25^), (q) = ^(75„ + 25₃₃ + 6S_M - 55_и - 45,₃).

Для определения эффективного тензора коэффициентов теплопроводности разбиваем в стационарном уравнении теплопроводности краевой задачи (4) все величины на средние и флуктуационные составляющие к = (к) + к', е=<е>+е', (х) = ^у^-, и преобразуем уравнение к виду

.

Вводя скалярную функцию Грина стационарного уравнения теплопроводности осредненной среды G(r), удовлетворяющую уравнению

<К^у6^

получим для флуктуаций температуры

0'(r) = pr^r - г,)[ЙVe ft ^Vk(I,) + Vk (г, Xti(it^, О, )№»,.

Тензор коэффициентов теплопроводности определяется с помощью закона теплопроводности Фурье

^O)^-K^.(r)Vyeo), где q;- вектор плотности теплового потока, а эффективный тензор теплопроводности определяется с помощью соотношения

^,^-^Л9У(25)

Вводя в (24) флуктуационные составляющие и осредняя, получаем

• =    -X V_y0 -{К'(r)V. (г)jA^r - г,)[XV^+Vp^^)) =;

• =    -К V_y0 - ^dr_xG_kj (г - Г])(Ж|(г)К ^ (г,)) • (0'(Г|)).

Принимая координатную зависимость корреляционного тензора коэффициентов теплопроводности в виде

(К|№(Г1)М^^^^

и подставляя явный вид второй производной функции Грина уравнения теплопроводности [2]

^•(г-гЭ^-^^"^, получим для средней плотности теплового потока

(К-К',)

^^^-(x^xecr^ + l-^LvHetr)).           (26)

Прогнозирование эффективных характеристик пироуглеродных матриц

Отсюда следует выражение для эффективного тензора коэффициентов теплопроводности произвольной среды в корреляционном приближении

^=<К,гЬ^М              (27)

где по определению (X,_v) = X 8_Н .

Для неповрежденной пироуглеродной матрицы из (27) после вычисления корреляционного тензора для гексагонального поликристалла следует формула для эффективного коэффициента теплопроводности в корреляционном приближении

. _2К,+К3 2 (К3-К,)2

N _-----------------,                               (Zo)

3     9 2Х,+Х3

Применим полученные формулы для нахождения численных значений эффективных характеристик реальной пироуглеродной матрицы.

В [3,4] были приведены средние по различным источникам численные значения компонент тензора модулей упругости кристаллита пироуглерода в кристаллографической системе координат, Вычисленные по ним с помощью (20) численные значения компонент матрицы податливости в кристаллографической системе координат для монокристаллита пироуглерода равны:

Sy = 3,174-КГ5МПа, Sy = 9,523 ■ 10-5 МПа , Да = -1,585 ■ 1СГ6МПа ,

S13 = -1,428 10'5 МПа, S44 = 4,347 • 10"4 МПа, S66 = 6,666 ■ 1О'5 МПа .

Численные значения коэффициентов теплового расширения в кристаллографической системе координат по данным монографии [5] в диапазоне температур 20-100 °C равны:

^ =(-1,3) 10-6 н-(-0,2) • 10"* 1/°С, а3 = 1910-6 ч-22-lCT6 1/°С, по данным фирмы Advanced Ceramics Corporation (США) [6], а, =0,5 10-6 1/°С,     a3=6,510"6 1/°С.

Значения компонент тензора тепловых напряжений кристаллита пироуглерода в кристаллографической системе координат находим из определения Р^0) ^С^а^, которое для гексагонального кристалла сводится к двум равенствам

Pi = «1Ои ^^+<ВДз, Рз^З^су + а3су.                  (29)

С помощью (29) получаем численные значения для компонент тензора тепловых напряжений, соответствующие экспериментальным данным для о^ и а₃ из [5]

Р; =8,98-10'3 МПа/град,    Р3 = 24,2 ■ 10”3 МПа / град.

и экспериментальным данным для ^ и а3 из [6]

Р; = 29,9-КГ3 МПа/град, Р3 = 8,53 ■ 1 (Г3 МПа/град.

Численные значения коэффициентов теплопроводности в кристаллографической системе координат по данным [5] при температуре 20 °C равны:

Xj = ЗЗО-11ООВт/м-К, Х3 = 2,2^6,5Вт/мК, а по данным фирмы Advanced Ceramics Corporation (США) [6] при той же температуре, Х} >400Вт/м К, Х3 >3,5Вт/м-К.

А.А. Ташкинов, B.E. Шавшуков

Столь широкие пределы для приведенных значений теплопроводности обусловлены тем, что теплопроводность углеграфитовых материалов очень сильно зависит от степени совершенства кристаллической решетки. Поэтому для реальных пироуглеродных матриц, даже прошедших длительную высокотемпературную обработку, правильнее использовать значения для К, и К3ближе к нижнему пределу.

Эффективные характеристики поликристаллической пироугл ер одной матрицы, вычисленные по приведенным значениям кристаллографических постоянных, сведены в таблице

Эффективные характеристики поликристаллической пироуглеродной матрицы

Эффективные величины и а вычислены при нулевой пористости. В корреляционном приближении, как следует из (15) и (22), эти эффективные характеристики не зависят от пористости пироуглеродной матрицы.

Эффективная теплопроводность при ненулевой пористости вычислена по формуле . .

к'= (1-1^, (30)

где р - пористость, а К- эффективная теплопроводность беспористой матрицы.

Формула (30) получается из общего выражения (27), если последнее применить к статистической смеси двух изотропных компонент, первая из которых совпадает с беспористой пироуглеродной матрицей, а вторая - поры, т.е. среда с нулевой теплопроводностью К2 =0.

Вычисленные эффективные значения теплопроводности матрицы с порами можно использовать при не слишком высоких температурах, при которых можно пренебречь лучистым теплопереносом через поры. Оценку верхнего предела такой температуры можно получить, если потребовать

• 9 лучистый « ^теплопров ■

Лучистый поток через единичную пору по порядку величины Лучистый~^_х -Т^У где Г_тахи T_min - максимальная и минимальная температура на внутренней поверхности поры, а 0 = 5,67 ■ 10^-8 Вт/м² • К⁴ - постоянная Стефана -

Прогнозирование эффективных характеристик пироуглеродных матриц

Больцмана. Пироуглеродная матрица является хорошим проводником тепла, и величины ^тахи ^mtn близки для пор любого размера. Поэтому ^яхадя^-^Д^*-^              где т* ~ некоторая средняя температура, d - диаметр поры.

Так как [^теплопров)= ^* |^^Ь то получаем следующую оценку для температур, при которых можно пренебречь радиационным переносом тепла в пористой среде:

\ ст d

Предельная температура уменьшается с увеличением размера пор. Для пир оу гл сродной матрицы и даже для очень больших пор £?~1мм получаем 7 «13000°C, т.е. радиационным вкладом в теплопроводность пористой пироуглеродной матрицы можно пренебречь.