Прогнозирование остаточного срока активного существования космического аппарата

Проектирование космических аппаратов (КА), начиная с разработки технического задания на систему и кончая выпуском технической документации на опытное производство, является ключевым в общей проблеме обеспечения надёжности КА. Важной работой, регламентирующей взаимоотношения всех участников разработки КА, является обоснование программы обеспечения надёжности изделия в целом, его составных частей и элементов, а также выработка и согласование порядка подтверждения требований по надёжности на всех этапах создания [1–4]. С этой целью используют модели типовые и модели (процедуры) подтверждения надёжности. После выбора основных проектных, схемных и конструкторско-технологических решений перед окончательным оформлением проекта службой надёжности предприятия совместно с подразделениями-разработчиками осуществляются оценка (экспертиза) результатов проектирования с позиций обеспечения надёжности и корректировка принятых решений [5–8]. Космический аппарат представляет собой сложный многокомпонентный комплекс, содержащий в себе как аппаратные, так и программные средства [9–11].

Соответственно, возникает необходимость оперативного контроля их характеристик и анализа состояния в процессе эксплуатации. Надёжность является одной из важнейших характеристик технической системы [12, 13]. Согласно ГОСТ Р 27.102-2021 [1], под надёжностью принято понимать свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования [13]. Поскольку КА имеет сложную структуру (а следовательно, и сложный характер взаимосвязей между отдельными блоками), усложняется и сам процесс получения показателей надёжности [8, 9, 13]. Статистико-математические методы контроля дают возможность контролировать непосредственно сам ход производства КА с точки зрения его устойчивости в соблюдении заданных технических условий и на основании непрерывного наблюдения за качеством изготавливаемой продукции упреждать дефекты. Это предупреждение брака возможно потому, что статистический метод контроля указывает на необходимость вмешательства в производственный процесс [14–16] тогда, когда количество брака ещё не возросло, когда выпускаемая продукция удовлетворяет техническим условиям КА, но когда определённые статистические характеристики дают основание подозревать появление систематических ошибок, нарушающих устойчивое состояние процесса. Такое предупреждение брака особенно важно в высокотехнологичном производстве КА при изготовлении деталей, где задача контроля заключается в том, чтобы не допускать просачивания дефектных узлов и агрегатов и чтобы добиться возможной однородности качества и взаимозаменяемости деталей [15]. Статистический контроль позволяет уменьшить и свести практически к нулю дефекты КА [14, 15]. Кроме того, статистико-математические методы позволяют надёжно пользоваться выборочным контролем и получать достаточно обоснованные выводы относительно всего парка КА, исходя из данных анализа сравнительно небольшой выборки [16]. Уменьшение объёма выборки удешевляет организацию контроля и позволяет более тщательно проводить отдельные измерения, что часто обеспечивает лучшие результаты, чем сплошной контроль.

Если процесс производства приведён в устойчивое состояние, то методы математической статистики довольно эффективно используются для того, чтобы заблаговременно определить возможные нарушения этого состояния [15].

Методы оценки и прогнозирования ресурса и безотказности космических аппаратов по информации об отказах за период испытаний (наблюдений)

Одной из важнейших задач является оценка ресурса КА по результатам испытаний (наблюдений). При испытаниях космической техники наиболее типичными являются многократно усечённые планы, когда некоторые КА снимают с испытаний ещё до исчерпания ресурса или до достижения предельного состояния [3–6]. Прогнозирование ресурса КА по ресурсным отказам представляет собой наибольшие трудности именно при многократно усечённых планах испытаний. В этом случае моменты отказов КА и моменты отстранения от испытаний неотказавших объектов образуют многократно усечённую выборку. Наиболее распространёнными методами оценки ресурса по многократно усечённым выборкам являются метод Джонсона [5–8] и метод максимального правдоподобия [3–8]. Метод Джонсона рассчитан на ручной счёт. Вместе с положительными сто- ронами у него есть и недостаток, заключающийся в том, что он не учитывает конкретные моменты снятия с испытаний неотказавших блоков КА, а использует только расположение их наработок между конкретными наработками отказавших объектов. Все методы определения характеристик ресурса по результатам испытаний (наблюдений) можно разде- лить на параметрические и непараметрические. Параметрические методы предполагают известным вид закона распределения ресурса, а отыскиваются только параметры закона распределения. Параметрические методы определения характеристик ресурса позволяют оценивать как гамма-ресурс, так и средний ресурс. При контрольных испытаниях КА испытывать изделия удобнее по гамма-процентному ресурсу tγ, поскольку этот показатель можно определить по результатам испытаний меньшей про- должительности: вероятность P(tγ) =

Y

т. е. гамма-процентный ресурс определяет наработку, при достижении которой заданный процент КА будет находиться в исправном состоянии, или (100 – γ)% КА откажет. Причём в качестве остаточного ресурса, как правило, используется средний остаточный ресурс КА как показатель высокого уровня безотказной работы КА сверх назначенного времени в задачах продления сроков эксплуатации. Однако иногда появляется возможность довести до предельного состояния определённое количество КА из числа выделенных для этой цели лидерных образцов. В таких случаях для оценки остаточного ресурса КА можно использовать гаммапроцентный остаточный ресурс [3–8].

При использовании непараметрических методов определения характеристик ресурса невозможно оценить средний ресурс по результатам однократно или многократно усечённых испытаний (наблюдений), поскольку невозможно оценить характеристики ресурса снятых с испытаний изделий КА. Но, пользуясь непараметрическими методами, можно оценить гамма-ресурс. Непараметрические методы обычно рассчитаны на ручной счёт. Указанный метод является развитием метода нахождения оценок гамма-ресурса, изложенного в ГОСТ Р 27.102-2021 [1, 12–15].

Параметрические методы могут быть рассчитаны как на использование ручного счёта, так и на использование компьютерной обработки. В свою очередь, параметрические методы, рассчитанные на применение ручного счёта, могут быть графическими и аналитическими . В графических методах широко применяется вероятностная бумага для нормального закона, закона Вейбулла, экспоненциального закона. Принципы и способы использования вероятностной бумаги хорошо освещены в современной литературе [4–8].

Аналитические методы для ручного счёта основываются на следующем положении. Берут такое количество наработок ω1, ω2,  …, сколько неиз вестных параметров в распределении. Находят эмпирические частоты:

ⁿ 1                ⁿ 2

F _э(ω ₁) = N ; F _э(ω₂) = N ; …, где n_i — количество исчерпавших ресурс изделий в интервале наработки (0, ω _i ); N — количество эксплуатировавшихся изделий; i = 1, 2, … После этого решают систему уравнений F _э(ω _i ) = F _т(ω _i ).

В этой системе количество уравнений равно количеству неизвестных параметров в распределении, a F _т — теоретическая функция распределения ресурса. Следует отметить, что такой способ применим только к полным и однократно усечённым выборкам [9–12]. Изложим нахождение параметров распределения ресурса при помощи этого способа. Нормальное распределение ресурса t симметрично относительно среднего ресурса t _ср, которое является центром рассеивания, т. е. мода и медиана совпадают с t _ср. Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами.

При этом плотность распределения обозначим следующим образом:

f ( t ) =    ¹ exp

( t – t ср )²

2 ^ 2

,

где σ — среднее квадратическое отклонение ресурса. Параметры распределения определяют следующим образом: выбираются наработки ω₁< ω₂ и затем находятся F _э(ω₁) и F _э(ω₂). Рекомендуется выбирать количество наработок ω₁ и ω₂ так, чтобы 0,1 <  F _э(ω₁) < 0,3 и 0,5 <  F _э(ω₂) < 0,9. Для центрированной нормально распределённой величины по вероятности P ₁ = F _э(ω₁) находим соответствующий ей затабулированный квантиль u ₁ и по вероятности P ₂ = F _э(ω₂) находим квантиль u ₂. Поскольку

ω₁ ≈ t _ср + u ₁σ;

ω2 ≈ tср + u2σ, то оценки параметров tср и σ будут следующими:

и ₂ю 1 - и 1 ю₂

t _{ср u 2 – u 1}

Ю2 - Ю1 с =-- u2 – u1

Например, над десятью спутниками проводились наблюдения до 3 000 мото-ч. Семь из них исчерпали ресурс при наработках 2 000, 2 300, 2 500, 2 560, 2 650, 2 800, 2 890 мото-ч. Известно, что ресурс распределён по нормальному закону. Чтобы определить параметры его распределения, берём ω₁ = 2 400 мото-ч и ω₂ = 3 000 мото-ч. Ввиду того, что F _э(ω₁) = 0,2 и F _э(ω₂) = 0,7, находим u ₁ = –0,842 и u ₂ = 0,524. Окончательно определяем:

t

ср

0,524∙2400+0,842∙3000

0,524 + 0,842

= 2 770 мото-ч;

3 000 – 2 400

а =-----------

0,524 + 0,842

= 440 мото-ч.

Затем находим значение 80%-го гамма-ресурса по формуле из работы [5]:

^т 0,8 = T -1 ^{+ (} t - ^i)

Q ( Т -1 ) - 0,8

Q ( t .J - Q ( t)

Получаем, что t _0,8 = 2 400 мото-ч.

Аналогичным способом определяются параметры при распределении ресурса по закону Вейбулла. Выбираем наработки ω1 < ω2, находим Fэ(ω1) и Fэ(ω2). Далее, так как выполняются приближённые равенства ln ln           ≈ mlnω – lnt ;

1 — F э (® 1 )            1       0

ln ln           ≈ m lnω – ln t ,

1 — F,(«2)           2       0, находим оценки параметров m и t0, как истинных значений параметров и характеристик распределения, по следующим формулам:

ln ln

T- F w

– ln ln

1 — F M)

m =

lnro₂ - ln® 1

1 0 = ® ^m /ln

1 — f эЮ

Развитие этого метода для многократно усечённых испытаний (наблюдений) при распределении ресурса по закону Вейбулла со смещением подробно описано в работе [5]. Одним из важнейших теоретических методов определения оценок и доверительных интервалов для характеристик ресурса является метод максимального правдоподобия. Этот параметрический метод обычно используется при электронной обработке, хотя в некоторых случаях здесь может быть применён и ручной счёт. Оценки параметров и характеристик распределения ресурса, полученные по методу максимального правдоподобия, для многих планов многократно усечённых испытаний (наблюдений) и многих видов закона распределения ресурса являются состоятельными, асимптотически нормальными и асимптотически эффективными. Оценка будет состоятельной, если она при увеличении количества испытываемых объектов сходится к оцениваемому параметру или оцениваемой характеристике по вероятности. Асимптотически нормальными и асимптотически эффективными оценками параметров распределения будут такие оценки, нормированная функция распределения которых при увеличении количества испытываемых объектов сходится к нормированной функции распределения нормального закона с минимально возможным для оценок эллипсоидом рассеяния. Метод максимального правдоподобия находит применение для определения оценок и доверительных интервалов для характеристик ресурса в централизованной системе сбора и обработки информации об отказах КА и спутниковых систем по результатам испытаний (наблюдений) партии образцов.

Непараметрические методы определения характеристик ресурса безотказности космических аппаратов

При расчёте ресурсов КА по данным об отказах следует различать два нижеследующих случая.

Случай 1. Все одноимённые КА из рассматриваемой партии исчерпали свой ресурс (полная выборка), либо все КА, на которых агрегаты не достигли предельного состояния, к концу наблюдений или испытаний имеют одинаковую наработку (усечённая выборка).

Случай 2 . Часть КА из рассматриваемой партии исчерпали ресурс в процессе эксплуатации, а другие не исчерпали. Причём наработки не исчерпавших ресурс КА как меньше, так и больше ресурсов агрегатов, достигших предельного состояния (многократно усечённая выборка).

До расчёта характеристик ресурса необходимо определить, какой случай отражает имеющаяся информация, и соответственно этому использовать методику для случая 1 или 2.

Методика расчёта 80%-го гамма-ресурса для случая 1

Введём обозначения: N — количество эксплуатировавшихся изделий;

п — количество изделий, исчерпавших ресурс ( п ≤ N ), назовём для краткости эти изделия отказавшими, а остальные, не исчерпавшие ресурс, — неотказавшими.

Располагаем наработки t_i отказавших изделий в порядке возрастания: t ₁<  t ₂< … <  t_n . Вычисляем при каждой наработке t_i значение кривой убыли

N — i + 0,5

Q ( t i ) =---- n ---- до тех пор, пока Q ( t i ) не окажется меньше 0,8 (так как необходимо определить 80%-й гамма-ресурс, который нормируется для космической техники). После этого находим такую наработку ( t_{i –1} ≤ t _0,8<  t_i ), при которой Q ( t _0,8) = 0,8. Применяем следующую формулу:

Q (О - 0,8

t = t + ( t — t )’

^{08    1-1 (1}         Q(t-J - Q(t)

Допустим, эксплуатировалось 10 КА до одинакового значения наработки 4 000 мото-ч. На этих КА четыре одноимённых изделия исчерпали ресурс при наработках в порядке возрастания: 2 400, 3 000, 3 600, 3 800 мото-ч. Ресурс остальных шести одноимённых изделий не был исчерпан.

Здесь N = 10; n = 4;

t ₁ = 2 400 мото-ч;

t ₂ = 3 000 мото-ч;

t ₃ = 3 600 мото-ч;

t4 = 3 800 мото-ч при наработке T = 4 000 мото-ч.

Находим:

Q (2 400 мото-ч) = 0,95;

Q (3 000 мото-ч) = 0,85;

Q (3 600 мото-ч) = 0,75;

Q (3 800 мото-ч) = 0,65.

Так как Q (3 000 мото-ч) = 0,85

и Q (3 600 мото-ч) = 0,75, то получаем, что 80%-й гамма-ресурс t _0,8 = 3 300 мото-ч.

Методика расчёта 80%-го гамма-ресурса для случая 2

Допустим, что имеется статистика наработки t_i отказавших изделий в порядке возрастания: t ₁<  t ₂< … <  t_n и наработки, до которых наблюдались неотказавшие КА, также в порядке возрастания T ₁<  T ₂< … <  T_k ( n + k ≤ N ) .

При этом одинаковые наработки неотказавших КА записывают один раз. Остальные обозначения: n0 — количество отказавших изделий в интервале наработки (0, T1); n1 — количество отказавших изделий в интервале наработки (T1, T2) и т. д.; nk–1 — количество отказавших изделий в интервале наработки (Tk–1, Tk); nk — количество отказавших изделий после наработки Tk (n0 + n1 + … + nk = n); N1 — количество изделий, продолжающих эксплуатироваться после наработки T1 и т. д.; Nk — количество изделий, продолжающих эксплуатироваться после наработки Tk. Вычисляем при каждой наработке Ti функцию Q(Ti) :

Q ( T ₁) =

N – n ₀ N

Q ( T ₂) = Q ( T ₁)

N ₁

– n ₁

^N 1   ^;

Q ( T ₃) = Q ( T ₂)

N ₂ – n ₂

N 2   ^;

.;

Q ( T k ) = Q ( T k –1 )

N – n k –1       k –1

^N k –1

В тех интервалах ( T_i , T_{i +1}), в которых количество отказавших КА n_i ≠ 0, находим ∆ _i = [ Q ( T_i ) – Q ( T_{i +1})]/ n_i . Значения функции Q при наработках t_i , при которых КА исчерпали ресурс в интервале наработки ( T_i , T_{i +1}), будут: Q ( T_i ) – 0,5Δ _i ; Q ( T_i ) – 1,5∆ _i ; Q ( T_i ) – 2,5∆ _i ; … После нахождения функции Q при наработках T_i для t_i находим среди этих наработок две соседние (обозначим их граничные значения R ₁ и R ₂), причём таких, что Q ( R ₁) ≥ 0,8 и Q ( R ₂) ≤ 0,8. Определим 80%-й гамма-ресурс по следующей формуле:

t 0,8 = R 1 + ( R 2 – R 1 )

Q ( R 1 ) - 0,8

Q ( R 1 ) - Q ( R ₂) ■

Например, эксплуатировалось 10 изделий. Три изделия исчерпали ресурс при наработках 2 500, 3 000, 3 500 мото-ч. По одному не исчерпавшему ресурс изделию снято с испытаний при наработках 2 000, 2 800, 3 200, 3 300 мото-ч и три не исчерпавших ресурс изделия — при наработке 4 000 мото-ч. То есть в данном случае N = 10; n = 3;

T ₁ = 2 000 мото-ч;

T 2 = 2 800 мото-ч;

T 3 = 3 200 мото-ч;

T 4 = 3 300 мото-ч;

T 5 = 4 000 мото-ч.

Находим также, что n 0 = 0;    n 1 = 1;

n 2 = 1;    n 3 = 0; n 4 = 1;    n 5 = 0 и    N 1 = 9;

N 2 = 7; N 3 = 5; N 4 = 4; N 5 = 0. Находим

Q (2 000 мото-ч) = 1;

Q (2 800 мото-ч) ≈ 0,889;

Q (3 200 мото-ч) ≈ 0,762;

Q (3 300 мото-ч) ≈ 0,762;

Q (4 000 мото-ч) ≈ 0,571.

Определяем ∆1 = 0,111; Δ2 = 0,127; Δ3 = 0,191.

Находим значения функции Q при наработках t_i :

Q (2 500 мото-ч) ≈ 0,944;

Q (3 000 мото-ч) ≈ 0,825;

Q (3 500 мото-ч) ≈ 0,667.

В данном случае границы будут следующими: R ₁ = 3 000 мото-ч и R ₂ = 3 200 мото-ч. Таким образом, 80%-й гамма-ресурс t _0,8 = 3 080 мото-ч.

Приведём вычисления значений функции Q ( T_i ) при наработках, при которых изделия снимались с испытаний:

• •    для T ₁ = 2 000 мото-ч:

n ₀ = 0;

N = 10;

Q ( T ₁) =

N – n ₀

_N = 1;

• •    для T ₂ = 2 800 мото-ч:

n ₁ = 1;

N ₁ = 9;

N – n

Q ( T ₂) = Q ( T ₁) ^{1    1} ≈ 0,889;

N ₁

• •    для T ₃ = 3 200 мото-ч:

n ₂ = 1;

N ₂ = 7;

N – n

Q ( T ₃) = Q ( T ₂) ^{2    2} ≈ 0,762;

N ₂

• •    для T ₄ = 3 300 мото-ч:

n ₃ = 0;

N ₃ = 5;

Q ( T ₄) = Q ( T ₃) ^{N 3 – n 3} ≈ 0,762;

N ₃

• •    для T ₅ = 4 000 мото-ч:

• n ₄ = 1;

• N ₄ = 4;

N – n

• Q ( T ₅) = Q ( T ₄) ⁴ _{N 4}⁴ ≈ 0,571.

Приведём вычисления значений функции Q ( T_i ) при наработках, при которых ресурс изделий был исчерпан:

• •    в интервале ( T ₀… T ₁) = 0…2 000 мото-ч: n ₀ = 0;

• •    в интервале ( T ₁… T ₂) = 2 000…2 800 мото-ч: n ₁ = 1;

∆1 = 0,111;

Q (2 500) ≈ 0,944;

• •    в интервале ( T ₂… T ₃) = 2 800…3 200 мото-ч: n ₂ = 1;

∆2 = 0,127;

Q (3 000) ≈ 0,825;

• •    в интервале ( T ₃… T ₄) = 3 200…3 300 мото-ч: n ₃ = 0;

• •    в интервале ( T ₄…T₅) = 3 300…4 000 мото-ч: n ₄ = 1;

∆4 = 0,191;

Q (3 500) ≈ 0,667.

Выводы

В статье представлены методы оценки и прогнозирования ресурса и безотказности КА по информации об отказах за период испытаний. Представлены типовые определения надёжности. Отмечено, что КА представляет собой сложный многокомпонентный комплекс, содержащий в себе как аппаратные, так и программные средства. Сформулированы способы оперативного контроля их характеристик и анализа состояния в процессе эксплуатации в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации, технического обслуживания, ремонта, хранения. Постулируется, что статистический контроль позволяет уменьшить и практически свести к нулю дефекты КА. Кроме того, статистикоматематические методы позволяют надёжно пользоваться выборочным контролем и получать достаточно обоснованные выводы относительно всего парка КА, исходя из данных анализа сравнительно небольшой выборки. При испытаниях наиболее типичными являются усечённые планы, когда некоторые КА снимают с испытаний ещё до исчерпания ресурса или до достижения предельного состояния. В статье предложено использовать наиболее распространённые методы оценки ресурса по многократно усечённым выборкам: метод Джонсона и метод максимального правдоподобия. Методы определения характеристик ресурса по результатам испытаний разделены на параметрические и непараметрические. Параметрические методы предлагается использовать для известных видов закона распределения ресурса, а именно для определения характеристик, которые позволяют оценить гамма-ресурс и средний ресурс. Причём, в качестве остаточного ресурса предложен средний остаточный ресурс, как показатель высокого уровня безотказной работы КА сверх назначенного времени. В статье подчеркивается, что в непараметрических методах определения характеристик ресурса невозможно оценить средний ресурс по результатам однократно или многократно усечённых испытаний, поскольку невозможно оценить характеристики ресурса снятых с испытаний изделий КА. Непараметрические методы обычно рассчитаны на ручной счёт. Предлагается метод, который является развитием метода нахождения оценок гамма-ресурса, где рекомендуется использовать центрированную нормально распределённую вероятность для определения квантиля. В качестве примера расчёт выполнен для 10 КА с целью определения 80%-го гамма-ресурса. Показано, что асимптотически нормальными и асимптотически эффективными оценками параметров распределения будут такие оценки, нормированная функция распределения которых при увеличении количества испытываемых объектов сходится к нормированной функции распределения нормального закона с минимально возможным для оценок эллипсоидом рассеяния. Рассмотрены два случая расчёта ресурсов КА по данным об отказах. Определены значения кривой убыли при наработках, при которых КА исчерпали ресурс в интервалах наработки и снимались с испытаний.