Производная. Что это такое, как её найти и для чего она нужна?

«Производной функции в точке х° называется предел отношения приращения функции д^ к вызвавшему его приращению аргумента ^ в этой         точке         при ^^°.         Или         коротко:

f^ ) = 1™ ^-5----—= Ьт —

^0     Дх      Л^ОДх »

Такое определение мы сможем прочесть практически в любом учебнике по математическому анализу, кому-то оно покажется сложным в понимании, кому-то нет, а кому то и вовсе будет страшно смотреть на это скопление букв, цифр и непонятных знаков. Но как же все-таки понять - «что такое производная?»

Для этого необходимо как можно проще сформулировать определение производной. Мне видится более простым такое определение данного термина: «Производная, это величина (в частном случае; в общем случае и чаще всего производная выражается функцией) на которую изменится функция при самом минимальном изменении переменной данной функции. Производную можно определить и по-другому: «Производная функции это скорость с которой данная функция возрастает или убывает» , не даром в физике первая производная от пути по времени - это скорость, а первая производная от скорости - это ускорение. Зная, что ускорение это есть величина, с которой возрастает или убывает скорость тела, можно легко проверить верность данного определения, ведь уже было сказано выше, что первая производная от скорости это есть ускорение, а следовательно и утверждение, что производная характеризует скорость возрастания или убывания функции является верным.

Геометрическим же смыслом производной является тангенс угла наклона

/W = J™nV“ = ^

С первым вопросом «Что же такое производная?» мы с Вами разобрались и на научном и на более простом и понятном всем языке. Осталось понять как ее искать и для чего-же нам все это надо? Не будем терять времени – приступим.

Практически все задания в математике, в разделе производная функции, звучат как «Найти производную функции». Так давайте же с Вами и научимся находить элементарные производные, для этого нам понадобится таблица производных, а так же несколько свойств, используемые при нахождении                                            производных.

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция	Производная
/М = С	c' = 0, где c — const
fW = х*	(xa)' = ax0"1
fW = е*	(ex)’ = ex
Цх> = ах	(ax)' = ax Ina               ,
f(x) = 1пх	(lnx)'=l X
fW = logax
	xlna
/(x) = sinx	(sinx)' = cosx
f (x) = cosx	(cosx)' = -sinx
f(x> = tgx
	ligxj -cos X
’          /(x) = ctgx
	ICLgX) -   # sin X
/(x) = arcsinx
	"      Vi-x1
f(x) = arccosx	,          v          1
	' Vl-X2
/(x) = arctgx	farnttf-rV —
	iarctgx) - 1 + x2
f^x) = arcctgx
	Vurcctgxj — 1 + x2

Рис. 1 – Производные элементарных функций.

На рис.1 приведена таблица производных элементарных функций, «Откуда же она взялась?» - спросите Вы, да все оттуда же, из основного определения производной, которое мы с Вами разобрали в самом начале.

Легко догадаться, что раз есть примеры и задачи на эту тему, то есть и ряд правил, по которым эти самые задачи и должны решаться. Все верно, таковые правила имеются и приведены они на рис.2

Рис. 2 – правила дифференцирования

Стоит заметить, что фразы «продифференцировать функцию» и «найти производную функции» являются тождественными и обозначают одно и то же. Дифференцирование это и есть нахождение производной.

Таким образом для нахождения производной функции существует специальная таблица производных элементарных функций, а так же правила, которых необходимо придерживаться при решении задач.

Осталось найти ответ на вопрос мучающий многих школьников и студентов, который звучит примерно так: «Зачем мне эта производная в жизни?»

Для начала разберемся в применении производной непосредственно в математическом анализе. Производная в математическом анализе позволяет нам определить положение графика и его примерный вид. При помощи производной можно найти точки минимума и максимума функции, интервалы возрастания и убывания функции, а также направления вогнутости и выпуклости на интервалах функции.

Теперь давайте  разберемся с вопросом,  касающимся  применения производной на практике. Что Вы скажете мне, если я скажу, что производная применяется в таких отраслях как: геодезия, строительство, мелиорация, транспорт, экономика, деревообработка и многих других…» Вы, наверное, подумаете, мол «да зачем в деревообработке производная? Что мы так не сможем распилить дерево?»

Распилить то, скорее всего и сможете, но самым рациональным способом – вряд ли.

Важное народнохозяйственное значение имеет рациональный раскрой древесины. Комплексное решение таких задач требует применение довольно глубоких методов классической и современной математики. Однако отдельные задачи такого рода можно решить, используя только производную.

На лесопильных рамах (они предназначены для продольного пиления) бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой должна быть расстановка пил для такой распиловки? Легко догадаться, что для ответа на вопрос задачи достаточно определить толщину выпиливаемых досок.

Требуется узнать, при каком x из отрезка функция S достигает наибольшего значения. Найдем производную.

Составив функцию, которая определяет площадь бруса, взяв производную и приравняв ее к «0», мы найдем значение толщины досок при котором значение площади бруса будет максимальным. Производная позволяет определить толщину бруса, которая позволит максимально рационально использовать древесину.

Итак, давайте подведем итог нашей статьи, мы разобрались в том, что такое производная, как ее искать и где она применяется в математическом анализе и на практике. Однако, то что мы рассмотрели, является вершиной айсберга, на самом же деле мир производных намного глубже и обширнее. Надеюсь, что данная статья смогла Вас заинтересовать и у Вас появится интерес к изучению производных!