Простейшая дифференциальная игра на плоскости с четырьмя участниками

Процессы преследования являются типичными примерами дифференциальных игр. Различные методы поведения сторон в конфликтных ситуациях со многими участниками и в играх с неполной информацией моделируются прежде всего на примерах простого преследования. Несмотря на внешнюю простоту постановки, многие задачи простого преследования сами по себе являются серьезными математическими проблемами.

Одним из подходов к изучению таких дифференциальных игр является использование кооперативной теории, когда они рассматриваются как коопера- тивные дифференциальные игры. С учетом того, что движения игроков описываются дифференциальными уравнениями, возникает вопрос об устойчивости (состоятельности во времени) рассматриваемых принципов оптимальности. Отказ от данной концепции содержит в себе возможность отклонения от первоначально выбранного оптимального поведения в состояниях, в которых появляется новое оптимальное решение, не являющееся таковым в первоначальном смысле, что приводит к нарушению устойчивости процесса в целом.

В статье рассматривается простейшая дифференциальная игра с четырьмя участниками. Игроки совершают простое движение1 [1; 2], т. е. перемещаются на плоскости с ограниченной или постоянной по величине скоростью, при этом направление движения может меняться произвольным образом. Исследуется неантагонистическая кооперативная дифференциальная игра четырех лиц Гv (z0, T -10) из начального состояния z0 и продолжительностью T-10. Уравнения движения имеют вид:

z = U 1 + u 2 + u 3 + u 4 ,       (1)

z ( t о ) = z о .             ⁽²⁾

В равенстве (1) z = z ( x ; y ) , u_t = ( u^¹ ; u^ , | ^ J|< 1, i e N = { 1,2,3,4 } .

Функция выигрыша игрока i определяется следующим образом:

T

к;,. (z («)) = J h(z (t)) dt, t0

где z ( t ) = z ( t, t 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) -решение системы (1)-(2) при допустимых управлениях u 1 , u ₂, u 3 , u 4 , h i ( Z ( t )) = a i x ( t ) + b i y ( t ) + c i , a i , b i , c i = const ; a i , b , c i >  0, a i ² + b i + c i ² * 0, i e N .

Обзор литературы

Задачи простого преследования рассматривались в ряде работ2; 3 [1–5]. Так, в исследованиях Л. А. Петросяна, В. Д. Ширяева и Р. Р. Бикмурзиной4 [1; 2] решение задачи было найдено в предположении о том, что очередность встреч выбирается в начальный момент времени (программно), а игроки движутся по прямым линиям. В статье Т. Г. Абра-

Том 29, № 1. 2019

мянц, В. П. Маслова и Е. Я. Рубиновича [4] рассмотрены возможности выбора очередности встреч как программно, так и позиционно, а в работе И. И. Шевченко [5] приведено решение поставленной задачи с использованием подхода Р. Айзекса. В исследовании В. Д. Ширяева, Н. М. Куляшовой и О. О. Виноградовой⁵ при решении задачи в основном использовались геометрические методы. При изучении таких игр часто используется методология кооперативной теории игр⁶ [6-8]. В качестве принципа оптимальности в основном рассматривается С -ядро. Однако вопрос исследования выбранного принципа оптимальности осложняется тем, что в таких задачах необходимо учитывать его динамическую устойчивость.

Впервые понятие динамической устойчивости решений в дифференциальных играх как с интегральными, так и с терминальными выигрышами ввел Л. А. Петросян [6; 9-11]; он же предложил и пути преодоления динамической неустойчивости принципов оптимальности [8; 10–13]. Несколько позже в западных странах независимо от вышеназванных исследований возник интерес к указанным вопросам, и проблема получила название «time-consistency problem» (проблема состоятельности во времени) [14-16]. Однако в большинстве случаев подобный интерес ограничивался лишь констатацией проблемы, и в упомянутых работах не рассматривались вопросы, связанные с решением вопроса несостоятельности во време- ни, что крайне важно для практических приложений.

Материалы и методы

В статье при переходе к рассмотрению исследуемой дифференциальной игры с простым движением как кооперативной дифференциальной игры при построении характеристической функции был предложен общепринятый принцип максимина. Для нахождения оптимальных траекторий и оптимальных управлений (стратегий) игроков использовался принцип максимума Понтрягина. При исследовании С -ядра на устойчивость использовался явный вид условий непустоты игры четырех лиц.

Результаты исследования

Введем следующие обозначения:

и ( j ) = У u i j ) , u⁵ = u s j ) + u ( j Is, 5             I j 5        N \ 5

i е 5

SiSi i е 5

cs = Ус,, 5 с N.

Si i е 5

i е 5

Вычислим значение характеристической функции:

	1) max     ^ j h ( z ( t )) d T z 2 s (| 5 - N \ 5 ) 2 ( T - 1 0 ) 2 ‘65 • 0 npu\S\ >  N \ 5 ,
V ( 5 ;T - 1 0 , z 0 ) =.	2)    m i n     ^ j h, ( z ( t )) dT z 2 < (| N \ 5 - Я ) 2 ( Г - 1 0 ) 2 ' 6 5 t 0 npu\5 <  N \ 5 , 3) ( T - 1 0 ) ^ c npu\5 = N \ 5 . ' 6 5

Для нахождения v ( S ; T - 1 ₀, z ₀ ) воспользуемся принципом максимума [17]. Для рассматриваемой задачи 4

Сопряженное уравнение примет вид:

‘

P = [ h i ( z ^{( t} )) + h ( z ( t )) + h ( z ( t )) + ^h 4 ( z ( t )) ] _x .

Т. к. рассматривается задача со свободным правым концом и, следовательно, p ( T ) = 0, то

Тогда

H=aN (t—T) uN + bN (t—T)—

^— a N x 0 ^{— b}N У 0 .

—

Итак, следует найти max Hj =

max 2 ( a N u N + Ь^²);

достигается при

,(1) „(2) N,uN max H,

N	4 a	N      uu N -    4 bN
Следо X ( t ) y ( t ) Анало S u 1 = - 5 = { i, S S u 1 = 0, u 2 = S u 1 = - -
	a N + b N '       a ^N + b N ательно, _---— ( t t 0 ) + X 0 , V a N + bN r^-----y- ( t t 0) + y 0. V a N + bN гично находим, что 2a5         s       2 bs
	1 a s + b s ’        71 j, l } , i ^ j ^ l, i, = 0, где 5 = { i , j } , i 2 aS       S		a s + bS’ j , l e N; * j , i , j e 2 bS
	aS 2	+ bs’        i	i a s, + b .2

N;

Тогда

если S = { i , j , l } , i * j * l, i , j , l e N ;

-(5) , .   -S , -x x (t) = u 1 (t -t ) +

-(s) / x -s y (t ) = u 2 (t -1) +

4 a_N

4 a N + b N

4 b N

⁽ t ^- t 0 ^{) +} x 0 ,

T

aa

V a N + b N

⁽ t - t 0 ) + y 0 ,

4 V aN + bN

I+

t _G[ t_Q,T ] , t _G [ t , T ] .

И, следовательно,

T v (N ;T — t, z (t )) = J hN (z (t ))dT = t

⁺ asx о ^{+ 4} / bSbNкi ( t ^- t о )⁺ bsy о ⁺ cs d T = V aN + bN              J

= 4 a S a N ⁺ b S b^N ( t - 1 0 ) + asx 0 + bsy о + Cs 1 ( T - 1 ) =

+

T

=J

4 a_N ²

_ ^a N + b N

^{( t} - t 0 ^{) +} a N x 0 +

+ 4 aSaN ⁺ bsbi

■ ( t - t 0 ) + asx 0 + bsy 0 + cs ( T - t ) ,

+14 bN   ( aN+bN

T

= J [ 4 S a N + b N ( t

t

( t - t 0 ) + ^bN y 0 + c N d T =

^- t 0 ) ⁺ a N x 0 ^{+ b}N y 0 ⁺ c N ] d T =

= 2V a N + b N ( T - 1 )( T + 1 - 2 1 0 ) +

^{+ (} a N x 0 ^{+ b}N y 0 ⁺ c N ⁾⁽ T - t ) ;

v ( S ;T - t , z ( t ) ) = j h s ( z ( t ) ) d T = t

T

• •    2 a ² /    -\ . a_ca„

. ^s t - 1 + 4 r-aNL

_ ^ s + b_s         aa_N + b

2 b S ²

+a^x +t t s 0 a^ss

• + 4 b ^s b ^N ( t - 1 ) + ь +

+

+

T

= J [ 2 V a s + b s ( t — t ) + t

+ 4 ( ( a , a + b s b )/J aN + b 2 ) (

+

если

T

-J

t

a s x 0 ⁺ b s y 0 ⁺ c s ] d T =

= N a s + b s ( T - 1 ) ( T + 1 - 2 1 ) +

+

⁺ a s x 0 ⁺ b s y 0 ⁺ c s ] ( ^{T -} t ) ,

5 = { i , j } , i ^ j , i , j e N ;

⁺ a s x 0

4 a S + b S

4 aS ^{+ b}S

4 a N + b N

4 a N + b N

T

+ b s y 0 + C s ] d T = J [- 2 4 a S + b S ( t — t ) + t

(( a S a N ⁺ b S b N )/ V a N ⁺ b N ) ( t ^- t 0 ) ⁺ a s X 0 + b s y 0 + C s ] d T =

- - 4a S + b S ( T - 1 ) ( T + 1 - 2 t ) +

⁺ a s x 0 ⁺ b s y 0 ⁺ c s ] ( T - t ) ,

если S = { i , } , i e N . Таким образом,

v ( N ; T - 1 , z ( t ) ) =

- V a N ^{+ b}N ( ^T — t ) ( ^{T +} t — ^{2 t} 0 ) ⁺ + ( a N x о + b N y о + c N )( T ^- t ) ;

v ( { i , j , l } ; T - t , z ( t ) ) =                        + v ( { j , l , k } ; T - 1 , z ( t ) ) <
= V a 2 + b j ( T — t ) ( T + t — 2 t ) +                 < 3 v( 4 a j a N + V N                          v ({ i , У	N; T — t, z ( t ) ) , l } ; T - 1 , Z ( t ) ) + , k } ; T - 1, Z ( t ) ) + k } ; T - 1, z ( t ) ) < n ; t - 1, Z ( t ) ) , j } ; T - t , z ( t ) ) + l } ; T - 1 , Z ( t ) ) + k } ; T - 1 , z ( t ) ) + l , k } ; T - 1 , Z ( t ) ) < ( N; T - 1 , Z ( t ) ) , i ^ j ^ k ^ l , t g [ 1 0 T ] . праведливость этих нера- z ( t ) ) + v ( { i , j , k } ; T — t , z ( t ) ) + t , z ( t ) ) + v ( { j , l , k } ;T — t , z ( t ) ) —
a N + b N (    0 )                      + v ( { j , + ax 0 + M 0 + c ji ] ( T - t ) ;                  + v ( { i , v ( { i , j } ; T — t , z ( t ) ) =                          < 2 v (
= [4 ( ( a j a N + bb ) 1 a aN + b N ) ( t — t 0 ) +              v ( { i , + a ij x 0 + j 0 + c j ] ( T - t ) ;                     + v ( { i v ( { i } ;T - t , Z ( t ) ) =                                + v ( { i =- a^ + b i ( T - 1 ) ( T + 1 -2 1 ) +                 + 2 v ( { j, аам + bb,,                                       < 3 v + 4 у— у ( t t 0 ) + a i x 0 + biy 0 + c i ( T t ) , _ ^nN + b N                         J             i , j , k , l g N , i ^ j ^ l , i , j , l e N .                   Покажем с венств. Рассмотрим С -ядро ( С ( T-t о , z 0)) дан ной игры.                                            v ({ i , j , l } T t Теорема 1                                    + v ( { i, l , k } . T - C v ( T - t , z ( t ) ) ^0 , t g [ t o , T ] .            - 3 v ( n . t — 1 , Z
	( t ) ) = ( a2g i + b i 2 l + a 2g k + b i 2 k +
Доказательство                   22  22 +i a>i+ bb + +Dnk ( T — t ) T + t — 2t + Необходимым и достаточным усло-                ' j ji           / вием непусто™ С -ядра в игре четырех               (( Qiji + Qijk + a Zk + Qjik ) Qn лиц является выполнение следующих         +4     у—-    + неравенств7:                                                 aNN + b N V j. + v 8k + v «k + vflk ^ 3 v ( N ) ,                    ++Ь Ь ‘ + b jk + b -lk + b jlk ) b N 1 ( t — t o ) + v i + v jk + v k ^ 2 v ( N ) ,               ,             aN" + b N      Д Д ,        т                    +( a ijl + a ijk + a ilk + a jlk ) x ° +( b jl + b ijk + b lk + b jlk ) y 0 + v j + V i + v k + 2 v j,k < 3 v ( N ) , . . , ,     M                     ,                            + ( c ijl + c ijk + c ilk + c jlk )) ( T — t ) — i , j , l , k g N , i * j * k * l .                          .------- D                                                —6 aw + Ьы ( T — t )( T + 1 — 2 t n) — В нашем случае эти неравенства             NN          0 примут вид:                                          — 3 ( a N x ° + Ь " У ° + c N )( T — t ) =
= a^ + ь +j a 2+ ь + a^ + ь + a^/ + ь ^^ v V, j ,    ;       ls z        +                            jl             jkk yk      lk ik      jik    jlk + v ( { / , j , k } ; T — t , z ( t ) ) +                x ( T - t ) ( T + t -2 t ) + 12 aNN + b N ( T - t ) ( t - t 0 ) - + v ( { z , l, k } ; T — t, z ( t ) ) +                        -6 aNN + b N ( T — t )( T + t — 2 t o )=

⁷ Ширяев В. Д. С -ядро в играх четырех лиц // Сборник научных трудов SWorld. 2013. T. 4, № 4. С. 79–85.

22 22 22

= ((^ a ijl + bj! + j + bijk +1 alk + bit +

+^ a 2jik + b jik -⁶ ^ ^a N + b N ) ^{( T} - t ) ( T + t - 2 t ) ^ 0.

ф_{Х v} ) = ⁽4 w1)! -- a^ ₍ t _ t )₍ t ₊ 1 _ ^ -_t) ₊

_{+ 4} | aa v ^{+ b}b N

I 2         2

7 a^a + ^{+ b} N

⁽ t-t 0 ) ^{+ a} i x 0 ⁺ b_iy 0 ⁺ c i l x

Аналогично доказывается, что v ({i, j, i}; t -1, z (t)) +

+ v ( { j , i , k } ; t - 1 , z ( t ) ) +

+ v ( { i , k } ; T - t , z ( t ) ) -

- 2 v ( N ; T - t, z ( t ) ) =

= (7 a j ⁺ b j ⁺ 7 a j ⁺ b jk -

• - 4 V a N + b N )( T - 1 ) ( T + t - 2 t ) < 0;

v ( ^{ i , j ^} ; T ^- t , z ( t ) ) +

+ v ( { i , l } ; T - t , z ( t ) ) +

+ v ( { i , k } ; T - t, z ( t ) ) +

+ 2 v ( { j, l, k } ; T - t, z ( t ) ) -

- 3 v ( N ; T - t, Z ( t ) ) =

= (2 7a№ + bjik - 6 7aN + bN )x

x( T -1)(T + t - 21 )< 0, t e[t0T], t e[t,T], i, j,k,l e N, i ^ j ^ k ^ l.

x( T -1 )-0]+(4-2)4(2-1^x f/( aj+ ail + aik ) aN , I bj + bil + bik ) bN 1.

X I 41          ।------------- + j( t t г i ) +

-7 7   V«N + bN        VaN + bN)

⁺( a j ⁺ a il ⁺ a ik ) x 0 ⁺( ^b j ⁺ b il ^{+ b} ik ) У 0 ⁺ c j ⁺ c il ⁺ c ik )^x x ( T - 1 ₀ ) + (N a j + b ² + ^ a l ² + b l + V a_k ² + b_k ² )( T - 1 ) x x ( T + 1 - 2 1 ) -f 4 a jlk a " ^{+ bjkbN} ( t - 1 ₀ ) +

I 22

7     V a N ^{+ b} N

+ajlkx0+ bjlky0+ cjlk)(T-t)]+(4 3)4(3

^x -( N ^a j ⁺ b jl ⁺ a j^+b^ ⁺ V ^a 2 k ⁺ b ik ) ^{( T -} t ^{)( T +} t ^{- 2} t ) ^{+ f (} a jl ⁺ a jk ⁺ a lk ) a N  ⁽ bn ^{+ b} jk ^{+ b} ilk ) ^b N _f

+ 4                   +                  (tt

V a N ⁺ b N          NnN ⁺ b N

^{+ ( a} jl ^{+ a} jk ^{+ a} ilk ) x 0 ^{+ ( b} ljl ^{+ b} ljk ⁺ b ilk ) y 0 ⁺

^{+ (} c jl ⁺ c jk ⁺ c ilk ^{)) ( T -} t ) ^-

4(ajl + ajk + alk ) aN + (bjl + bjk + blk ) bN (--t ) + 2      2                    2      2

7 ^a N ^{+ b} N         aN_N ^{+ b} N

( ^a jl ^{+ a} jk ^{+ a} lk ) x 0 ⁺( ^b jl ^{+ b} jk ^{+ b} lk ) У 0 ⁺ c jl ⁺ c jk ⁺ c lk )^x

(4 - 4)!(4 - 1)!

x(T -1)]+(4)-

:-² \ a N ⁺ b j N ^{( T -} t ^{)( T +} t ^{- 2} t ₀) ^{+ + ( a} N x 0 ^{+ b} N ^y 0 ⁺ c N ^{) ( T -} t ) ^-

^- N a ²jik ^{+ b 2}jik ^{( T -} t ^{)( T +} t ^{- 2 ,) -}

Рассмотрим теперь вектор Шепли. Формулы для нахождения компонентов вектора Шепли примут вид:

Ф,( v (5 ;T -t, Z (t ))) = x (n-1)!(5 -1)!

= 5 ^ n     n ! ^X

( i e 5 )

x[ v ( 5 ; T - 1 , Z ( t ) ) - v ( 5 \ { i } ;T - 1 , Z ( t ) ) ] . (3)

Подставляя значения v ( S ; T - 1 , z ( t ) ) в выражение (3), получим:

-

4 ^a jlk ^a N ^{+ b} jlk ^b N

■⁽ t ^- t 0 ^{) +} a jlk x 0 ⁺ b jik y 0 ⁺ c jlk ) ^{( T -} t ^{) ]} =

= 112 ^{[ (- 3} V a , ^{2 + b} , ^{2 +} N a j+ b j ⁺

⁺ aa +bbi ⁺ V ^a k ^{+ b} k ^{+ a} 2 ⁺ b jl ⁺ a ² k ⁺ b ^k ⁺

⁺V ^a iik ⁺ b ik ⁺ V ^a jk ⁺ b jk ) ^{( T -} t ^{)( T +} t ^{- 2 z) +}

⁺ 6 V ^a N ^{+ b} N ^{( T -} t ^{)( T +} t ^{- 2} t o ) ⁺

₊ ^f ₃₆ aa N ^{+ b}b N

I 22

7 V a N ^{+ b} N

⁽ t ^- t 0 ^{)( T -} t ) ^-

ajlkaN + bjlkbN ■ 12---.=—

⁽ t ^- t 0 ^{)( T -} t ) ⁺

Vol. 29, no. 1. 2019 -

■ ’ ( a i x о + by о + cxT - t ) ] ,

• i ,    j , l , k e N , i * j * k * l , t e [ 1 ₀, T ], t e [ t , T ].

В случае кооперативной дифференциальной игры характеристическая функция зависит от времени, поэтому решение кооперативной дифференциальной игры изменяется в каждый момент времени. В связи с этим естественным является вопрос о динамической устойчивости рассматриваемых принципов оптимальности [6; 9–11].

Перейдем к формальному определению принципа динамической устойчивости в игре Г v ( z ₀, T - 1 ₀ ) .

Пусть z ( • ) - условно-оптимальная траектория в игре Г _v ( z ₀ , T - 1 ₀ ) , Г v ( z ( t ) , T - 1 о ) , t о <  t <  T ^- текущие игры с решениями W v ( z ( t ) , T - t ) c c E v ( z ( t ) , T - t ) , где

E v ( z ( t ) , T ^- t ) = { ^ = ( £. £ 2 ,-, ^ n ) ^e e Rⁿ 1 5 i >  v ( { i } , Z ( t ) , T — t ) , i e N , ^ 5 i = v ( N , Z ( t ) , T — t ) | .

i e N

Предположим, что W v ( z ( t ) ,T - 1 ) * 0 для всех 1 ₀<  t <  T .

Определение 1 [6; 7; 11]

Дележ ^ ^e W v ( z o , T ^- t ₀ ) будем называть устойчивым в игре Г „ ( z ₀, T - 1 ₀ ) , если существует интегрируемая на [ 1 ₀, T ] вектор-функция β ( t ) и такая дифференцируемая на [ 1 ₀, T ] вектор-функция £ ( t ), что дележ ξ представим в виде:

t

S = S ⁽ t ) , SAt ) = J РЛ^Т ) hi ( z ^{( t} ) ) d^T, t 0

и для всех t e [ 1 ₀, T ] существует такое подмножество W V ( z ( t ) , T - 1 ) множества W v ( z ( t ) , T - t ) , что

^ ( t ) + W V ( z ( t ) , T - t ) ^ W v ( z 0 , T - 1 0 ) .

Определение 2

Решение W v ( z ₀, T - 1 ₀ ) называется устойчивым, если устойчивы все входящие в него дележи. В таком сл у чае условно-оптимальная траектория z ( • ) называется оптимальной.

Данный способ реализации дележа зависит от выбора функции в ( т ) и, следовательно, является неоднозначным. Однако он обладает важным свойством: в каждый момент времени t е [ 1 ₀, T ] игроки ориентируются на один и тот же принцип оптимальности, придерживаются выбранного оптимального управления и поэтому не имеют оснований для нарушения ранее принятого соглашения.

В качестве решения W v ( z ₀, T - 1 ₀ ) рассмотрим С -ядро игры Г „ ( z ₀, T - 1 ₀ ) , которое обозначим через C v ( z ₀, T - 1 ₀ ) . Как было показано выше, C v ( z ( t ) , T - 1 ) *0 , 1 ₀ <  t <  T, где z ( • ) -условно оптимальная траектория. Выведем необходимое условие динамической устойчивости С -ядра C v ( z ₀, T - 1 ₀ ) в кооперативной дифференциальной игре с интегральными выигрышами.

Теорема 2

Для того чтобы С -ядро C v ( z ₀, T - 1 ₀ ) кооперативной дифференциальной игры Г _v ( z ₀, T - 1 ₀ ) с интегральными выигрышами было динамически устойчивым, необходимо, чтобы для каждого дележа ^ е C v ( z ₀, T - 1 ₀ ) имело место представление

т;           _ t0

где вектор-функция в ( t ) в каждый момент t е [ 1 ₀, T ] удовлетворяет условиям:

• 1)    v ( S ; z o ,T - 1 о ) + v ( N \ S ; Z ( t ) T - 1 ) -

• T

  -v(N;z⁽t^),T — t)<^Jpi⁽T'h^z⁽t))dT<

i ^{e S} 1 0

• < v ( N ; Z 0 , T - 1 0 ) + v ( N \ S ; z o , T - 1 о ) -

• - v ( S ; z ( t ) ,T - 1 ) при всех S c N ;

tt

• 2)    Ef А ^{( т} ) Ц z ^(т ) ) d ^{T =} Ef h i ( z ^(t ) ) d ^T .

i _e Nt о                              i _e Nt о

Доказательство теоремы аналогично доказательству из работ Л. А. Петросяна, Н. Н. Данилова и Д. В. Кузютина [9; 12].

Исследуем теперь динамическую устойчивость вектора Шепли.

Теорема 3

В рассматриваемой игре вектор Шепли динамически устойчив.

Доказательство

Взяв β_i ( τ ) равным

1 ( t - т ) (( - 3 V а , ² + b i + J a ² + b +

+ V a l + b l + V a k + b k + j + b j +

⁺ j ⁺ b k ⁺ a k + b l k - 3 ja 2 k ⁺ j ) ⁺

⁺V a N ⁺ b N ( t о - ^{т ) + jlk} j N   jk N ( t - t о ) ^-

V aN + bN

, ад., + bb                           | ,

• ^{- 3} I _{2    2} ~ ( t - t 0 ) - a i x 0 - b i y 0 - c i /

V a N ^{+ b} N                       )

• / ( 4 ⁽ a i a N + b i b N )/4a N + b N ) + h i ⁽ Z о ) ,

получим, что

T фi (T — to, Zо ) = J Pi (T) hi (Z (T))dT.

t ₀

Теорема доказана

Обсуждение и заключение

В работе в явном виде найдены оптимальные стратегии и траектории движения игроков. В качестве принципов оптимальности рассмотрены С -ядро и вектор Шепли. Выбранные принципы оптимальности оказались динамически устойчивыми, и, следовательно, у игроков нет оснований для завершения игры. Исследованная задача показала реализуемость идеи устойчивости рассматриваемых принципов оптимальности.

Попытки применить динамически неустойчивые принципы оптимальности при решении практических задач приводят, как правило, к грубым ошибкам, в результате которых «оптимальные» решения оказываются нереализованными. Именно динамическая неустойчивость была причиной невыполнения многих долгосрочных проектов и нарушения многосторонних договоренностей.

Поступила 09.05.2018; принята к публикации 01.10.2018; опубликована онлайн 28.03.2019

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Сomputer science, computer engineering and management                                      49