Пространства постоянной кривизны, уравнение Лиувилля и контракции алгебр Ли
Автор: Костяков И.В., Куратов В.В.
Журнал: Известия Коми научного центра УрО РАН @izvestia-komisc
Рубрика: Научные статьи
Статья в выпуске: 4 (62), 2023 года.
Бесплатный доступ
Уравнение Лиувилля эквивалентно двумерному уравнению Лапласа и приводится к нему преобразованием Бэклунда, которое с точки зрения теории групп можно интерпретировать с помощью контракции Иненю-Вигнера. Мы разбираем построение решений уравнения Лиувилля для представления нулевой кривизны с помощью контракции алгебры Ли sl(2) и используем для этого нильпотентные образующие.
Уравнение лиувилля, контракции групп ли
Короткий адрес: https://sciup.org/149143594
IDR: 149143594 | УДК: 530.145 | DOI: 10.19110/1994-5655-2023-4-49-56
Spaces of constant curvatere, the Liouville equation and contractions of Lie algebras
The Liouville equation is equivalent to the two-dimensional Laplace equation and is reduced to it by the Lie-Bäcklund transformation, which, from the point of view of group theory, can be interpreted from using the Inönü-Wigner contraction. We analyze the construction of solutions to the Liouville equation to represent zero curvature using the contraction of the Lie algebra sl(2) and use nilpotent generators for this.
Список литературы Пространства постоянной кривизны, уравнение Лиувилля и контракции алгебр Ли
- Liouville, J. Sur l'équation aux différences partielles d2logλ dudv ± λ 2a2 = 0 / J. Liouville // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1853. - Vol. 18. - P. 71-72.
- Жибер, А.В. Уравнения типа Лиувилля / А.В. Жибер, Н.Х. Ибрагимов, А.Б. Шабат // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 249, № 1. – С. 26–29.
- Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. – Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 280 с.
- Дубровин, Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. – Москва: Наука, 1986. – 760 с.
- Катанаев, М.О. Геометрические методы в математической физике / М.О. Катанаев // arXiv:1311.0733 [math-ph]. – 2006 с.
- Векуа, И.Н. Замечания о свойствах решений уравнения Δu = −2Keu / И.Н. Векуа // Сиб. матем. журн. – 1960. – Т. 1, № 3. – С. 331–342.
- Попов, А.Г. Точные формулы построения решений уравнения Лиувилля Δ2u = eu по решениям уравнения Лапласа Δ2v = 0 / А.Г. Попов // Докл. РАН. – 1993. – Т. 333, № 4. – С. 440–441.
- Лезнов, А.Н. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем / А.Н. Лезнов, М.В. Савельев. – Москва: Наука, 1985. – 280 с.
- Лезнов, А.Н. Нелинейные уравнения и градуированные алгебры Ли / А.Н. Лезнов, М.В. Савельев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. – 1984. – Т. 22. – С. 101–136.
- Лезнов, А.Н. Точно решаемые квантово-механические и двумерные квантово-полевые модели / А.Н. Лезнов, М.В. Савельев, И.А. Федосеев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. – 1985. – Т. 16, вып. 1. – С. 183–233.
- Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E.P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1953. – Vol. 39. – № 6. – P. 510–524.
- Громов, Н.А. Контракции классических и квантовых групп / Н.А. Громов. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 318 с.
- Громов, Н.А. Предельные переходы в Тода системах / Н.А. Громов, И.В. Костяков, В.В. Куратов // Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей (Труды Коми НЦ УрО РАН, № 151). – Сыктывкар, 1997. – С. 51–59.
- Костяков, И.В. Преобразования Бэклунда для An–цепочки Тода и контракции / И.В. Костяков, В.В. Куратов // Тез. докл. XIII Коми респуб. молод. науч. конф. – Сыктывкар, 1997. – С. 219.
- Андреев, В.А. Преобразования Беклунда цепочек Тоды / В.А. Андреев // ТМФ. – 1988. – Т. 75, № 3. – С. 340–352.
- Тахтаджян, Л.А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. – Москва: Наука, 1986. – 528 с.
- Пуанкаре, А.Ж. Избранные труды: сборник научных трудов. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре / А.Ж. Пуанкаре. – Москва: Наука, 1974. – Т. 3. – 772 с.
- Тахтаджян, Л.А. О вещественных проективных связностях, подходе В.И. Смирнова и решениях уравнения Лиувилля типа черных дыр / Л.А. Тахтаджян // ТМФ. – 2014. – Т. 181, № 1. – С. 206–217.
- Андреев, В.А. Применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению σxt = eσ / В.А. Андреев // ТМФ. – 1976. – Т. 29, № 2. – С. 213–220.
- Лезнов, А.Н. Симметрии и солитонные решения нелинейных уравнений / А.Н. Лезнов, В.И. Манько, C.М. Чумаков // ТМФ. – 1985. – Т. 63, № 1. – С. 50–63.
- Takhtajan, L.A. Quantum Liouville theory in the background field formalism I. Compact Riemann surfaces / L.A. Takhtajan, L.-P. Teo // Commun. Math. Phys. – 2006. – Vol. 268. – P. 135–197.
- Погребков, А.К. Теория поля Лиувилля / А.К. Погребков, М.К. Поливанов // Математическая физика и комплексный анализ: сборник обзорных статей 4. К 50-летию Института. Тр. МИАН СССР. – 1987. – Т. 176. – С. 86–96.
- Фаддеев, Л.Д. Нулевые моды для квантовой модели Лиувилля / Л.Д. Фаддеев // Функц. анализ и его прил. – 2014. – Т. 48, № 3. – С. 14–23.
- Polyakov, A.M. Quantum geometry of bosonic strings / A.M. Polyakov // Physics Letters B. 1981. – Vol. 103, № 3. – P. 207–210.
- Яглом, И.М. Проективные метрики / И.М. Яглом, Б.А. Розенфельд, Е.У. Ясинская // Успехи мат. наук. – 1964. – Т. 19, № 5(119). – С. 51–113.
- Кулаков, Ю.И. Геометрия пространств постоянной кривизны как частный случай теории физических структур // Докл. АН СССР. – 1970. – Т. 193, № 5. – С. 985–987.
- Михайличенко, Г.Г. Двумерные геометрии / Г.Г. Михайличенко // Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 260, № 4. – С. 803–805.
- Пименов, Р.И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений / Р.И. Пименов // Литовский мат. сб. – 1965. – Т. 5, № 3. – С. 457–486.
- Пименов, Р.И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени) / Р.И. Пименов. – Ленинград: Наука, 1968. – 496 с.
- Zamolodchikov, A.B. Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory / A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov // Nucl. Phys. B. – 1996. – Vol. 477. – P. 577–605.
