Пространственные двумерные решения

В название статьи вынесено понятие «пространственное двумерное решение». Механикам известно плоское деформированное состояние – это случай, когда в двумерной декартовой системе координат две компоненты вектора скорости деформации и гидростатическое давление зависят от x , y . Известно также плоское напряженное состояние – это когда компоненты тензора напряжений с z , т _xz , т yz равны нулю, а компоненты с _x , с y , т xy не зависят от z .

В нашем случае все компоненты тензора напряжений не зависят от z , именно такой случай мы и назвали пространственным двумерным состоянием.

Система пространственных уравнений пластичности в декартовой системе координат x 1 = x , x 2 = y , x₃ = z в стационарном случае имеет вид

d js = д iP, sij = X(d iuj 1 d A-)/2, d iuj = 0, sysy = 2 kL i, j =1,2,3                (1)

Здесь с j , s ij - компоненты тензора и девиатора тензора напряжений; и 1 = u , и 2 = v , и 3 = w -компоненты вектора скорости деформаций; X - неотрицательная функция; k_s - постоянная пластичности; p – гидростатическое давление, по повторяющимся индексам проводится суммирование.

Исключая из системы уравнений (1) компоненты девиатора тензора напряжений, получаем следующую нелинейную систему уравнений

2 k ₂2 k ₂₂

^d i P = "-J⁵ jj u i ^-      e ij e mn ^d mj u n , e ij e ij = A , ^d i u i = 0.                        ⁽²⁾

Известно, что система уравнений (2) имеет эллиптический тип. Опишем известные решения этой системы.

Решения этой системы построены Р. Хиллом в 1948 г. [1], В. Прагером в 1954 г. [2], Д. Д. Ивлевым в 1960 г. [3; 4], М. А. Задояном в 1964 г. [5–8], а также авторами этой статьи [9–13]. Отметим также ряд точных решений, построенных Б. Д. Анниным [14], для уравнений пластичности в пространственном случае с условием текучести Треска.

Симметрии системы (2)

Группа точечных симметрий системы уравнений (2) порождается следующими операторами

X, = d ., Y = 6„ ., N = x d_x ., M = u a_u ., i = 1,2,3. x_i             u_i                 x_i                 u_i

T 1 = x 2 ^d и ₃ ^{- x}3 ^d и 2 , T 2 = x 3 ^d u 1 ^{- Х}1 ^д и 3 , T 3 = ^x1 ^d и 2 ^- x 2 ^d u 1 ,

^Z 1 = ^x2 ^d x ₃ ^{- x} 3 ^d x 2 ^{+ и}2 ^д и ₃ ^{- и} 3 ^d и 2 , Z 2 = ^x 3 ^d x 1 ^{- x} 1 ^d x ₃ ^{+ и} 3 ^d и 1 ^{- и}1 ^д и ₃ , Z 3 = x 1 ^d x ₂ ^- x 2 ^d x 1 ^{+ и}1 ^д и ₂ ^{- и}2 ^д и 1 , S = ^d p .

Операторам X _i , Y _i , N , M соответствуют следующие непрерывные преобразования x ' i = x i + a i , и ' i = и ₄ + b i , x ' i = x i exp a , и ' i = и^ exp b , i = 1,2,3.

Это переносы по координатам и компонентам вектора скоростей деформации, а также растяжения.

Преобразования T_i показывают, что система уравнений (2) не меняется при жестких перемещениях

u 2 = u 2	- C 1 x 3,	u 3 — u 3	+ C 1 x 2 ,	u 1 — u 1	+ C 2 x 3
u 3 — u 3	- с 2 x 1 ,	u 2 — u 2	+ C 3 x 1 ,	u 1 — u 1	- C 3 x - 2

Группы, порождаемые операторами Zi, – это вращения вокруг координатных осей x '2 — x2 cos ф1 + x3 sin ф1, x '3 — -x2 sin ф1 + x3 cos ф1, x '3 — x3 cos ф2 + x1 sin ф2, x '1 = -x3 sin ф2 + x1 cos ф2, x '1 = x1 cos ф3 + x2 sin ф3, x '2 = -x1 sin ф3 + x2 cos ф3.

Последнее преобразование описывает инвариантность гидростатического давления относительно сдвигов

p ‘ — p + d.

Во всех этих формулах a i , b i , c i , ф i , d - групповые параметры. Обычно предполагается, что они непрерывно меняются в окрестности нуля.

Проведенные исследования показали, что все построенные решения Р. Хиллом, В. Прагером, Д. Д. Ивлевым и М. А. Задояном суть инвариантные, решения относительно некоторых одномерных подгрупп точечных преобразований, порождаемых операторами (3). Инвариантность здесь означает, что решения не меняются при некоторых преобразованиях, порождаемых группой симметрий (3). Так, решение Р. Хилла инвариантно относительно подалгебры, порожденной оператором 2 C 0 S + X ₁ + a Y 1 + в T 1 , решение Д. Д. Ивлева инвариантно относительно подалгебры 2 C 0 S + X 1 + a Y , решение Прагера инвариантно относительно подалгебры aS + X 1 + T 1 + a T 2 , решение Задояна инвариантно относительно этой же подалгебры. О чем говорит этот факт? Он говорит о том, что фактически все эти решения «двумерны», т. е. в подходящей системе координат их можно записать как функции только от двух независимых переменных. Это же можно сказать и о решениях, построенных авторами этой работы. Тогда возникает вопрос: что надо понимать под пространственным решением? Исходя из приведенных здесь решений, ответ получается такой: пространственные решения – это такие решения, которые имеют три компоненты вектора скорости, давление, фактически зависящие от двух переменных в подходящей системе координат. Эти решения являются инвариантными решениями ранга 2. В этом случае задача поиска пространственных решений может быть формально поставлена так: построение новых инвариантных решений ранга 2 для пространственных уравнений идеальной пластичности. Вид таких решений можно без труда перечислить, если перечислить все различные, с точностью до внутренних автоморфизмов, одномерные подалгебры алгебры (3).

Подалгебр, на которых можно построить инвариантные решения ранга 2, существует несколько. Перечислим их.

X ₃ + у S , X 1 + Z 1 + у S , a M + N + у S , N + Y + у S ,

Z i + a N + Y + уS, Z i + aN + в M + уS,

X 1 + a Z 1 + M + у S ,

X 1 + Y + a T 1 + у S , X 1 + Z 1 + T 1 + у S , M + N + T 1 + y S , Z i + Y + a T + y S , X i + a X 2 + T 2 + в T 3 + y S , X 1 + Z 1 + Y + a y + y s .

Здесь α , β , γ – произвольные постоянные, разным значениям этих постоянных соответствуют не подобные подалгебры.

В этой работе рассмотрим только решения инвариантные относительно подалгебры X ₃ + γ S .

Замечание. Другие решения, построенные на подалгебрах (4), а также вид всех инвариантных решений, которые могут быть построены для системы уравнений (1), можно найти в [11].

Решения. инвариантные относительно этой подалгебры, следует искать в виде u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), p=p(x,y)+γz.                        (5)

Подставляя соотношения (5) в систему уравнений (1) получим

∂ _x σ _x +∂ _y τ _xy = 0, ∂ _x τ _xy +∂ _y σ _y = 0, ∂ _x τ _xz +∂ _y τ _yz =γ , ∂ _x u +∂ _y v = 0,

( σ _x -σ _y ) ² + ( σ _x -σ _z ) ² + ( σ _y -σ _z ) ² + 6( τ ² _xy +τ ² _xz +τ ² _yz ) = 6 k _s ² ,

(6) σ _x - p =λ∂ _x u , σ _y - p =λ∂ _y v , σ _z - p = 0, 2 τ _xy = λ ( ∂ _x v + ∂ _y u ),

2 τ _xz = λ∂ _x w , 2 τ _yz =λ∂ _y w .

Сделаем замену переменных в (6) по следующим формулам

σ _x = k ( у/ 3 cos ω + sin ω cos2 ϕ ), σ _y = k ( 3 cos ω - sin ω cos2 ϕ ), τ _xy = k sin ω sin2 ϕ .          (7)

Здесь k =δ k _s , 0 <δ< 1 – некоторая постоянная.

Подставляя эти соотношения в (6) получаем

( - cos ω+ 3sin ω cos2 ϕ ) ∂ _x ω+ 3sin ω sin2 ϕ∂ _y ω - 2sin ω∂ _y ϕ = 0,

(cos ω+ 3sin ω cos2 ϕ ) ∂ _y ω+ 'J 3sin ω sin2 ϕ∂ _x ω + 2sin ω∂ _x ϕ = 0,

∂ τ+∂τ=γ , ∂ u +∂ v = 0, τ ² +τ ² = k ² - k ² = K ² ,                 (8)

xxz y yz xy       xz yz s

σ _x - p =λ∂ _x u , σ _y - p =λ∂ _y v , σ _z - p = 0, 2 τ _xy = λ ( ∂ _x v + ∂ _y u ), 2 τ _xz = λ∂ _x w , 2 τ _yz = λ∂ _y w .

Из (8) видим, что исходная система распалась на две подсистемы: два первых уравнения по сути совпадают с уравнениями, описывающими плоское напряженное состояние

( - cos ω+ 3sin ω cos2 ϕ ) ∂ _x ω + 3sin ω sin2 ϕ∂ _y ω - 2sin ω∂ _y ϕ= 0,              (9)

(cosω+3 sinωcos2ϕ)∂yω+ 3sinωsin2ϕ∂xω +2sinω∂xϕ = 0, и уравнениями, напоминающими уравнения, описывающие пластическое кручение стержня, при γ=0 и другом пределе текучести

∂τ +∂τ =γ , τ ² +τ ² = k ² - k ² = K ² .                        (10)

xxz y yz xz yz s

Решая уравнения (9) и (10) можно найти компоненты тензора напряжений, при этом

σ _z = p = 1/2( σ _x +σ _y ). Единственная проблема – это определение постоянной k .

Для определения компонент вектора скорости получаем следующие уравнения

∂ x u   ₌    ∂ y v   ₌ ∂ x v +∂ y v _{,   ∂ x (}    ∂ x w   _{) +∂ y (} ∂ y w  _{) =γ .}

2 σ _x -σ _y 2 σ _y -σ _x     6 τ _xy           w _x ² ₊ w _y ²          w _x ² ₊ w _y ²

Отметим, что последнее уравнение при γ ≠ 0 до сих пор недостаточно исследовано, оно даже не вошло в справочник [15].

В итоге получилось, что решение системы уравнений (6) – это фактически суперпозиция плоского напряженного состояния и пластического кручения вокруг оси z .

Приведем некоторые другие решения уравнений (6). Для этого найдем группу точечных симметрий системы уравнений (6).

Эта группа порождается операторами

X 1 =∂ x , X 2 =∂ y , Y i =∂ u _i , N = x ∂ x + y ∂ y , M = u i ∂ u_i , i = 1,2,3.

T = x ₁ ∂ _{u 2} - x ₂ ∂ _{u 1} , Z ₃ = x ₁ ∂ _{x 2} - x ₂ ∂ _{x 1} + u ₁ ∂ _{u 2} - u ₂ ∂ _{u 1} , S =∂ _p .

Ищем решение, инвариантное относительно подалгебры, порождаемой операторами X ₁ +α T + Y ₁ +β Y ₃ +γ S .

Решение следует искать в виде

u = x +α xy + U ( y ), v =-α /2 x ² + V ( y ), w =β x + W ( y ), p =γ x + P ( y ).

Из уравнения несжимаемости получаем v=-α/2(x+y)-y+C1.

Подставляем (12) в (6) и получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений d (λU')=γ, d (λW')=0,6ks2λ-2=2(1+αy)2+6((U')2+β2+(W')2).          (13)

dy          dy

Из (13) имеем

λ U ' =γ y + C ₂, λ W ' = C ₃.

Здесь C ₁, C ₂, C ₃ – произвольные постоянные.

Получаем

U '/ W ' = ( γ y + C 2 )/ C 3 ,

6 k _s ² λ^{- 2} = 2(1 +α y ) ² + 6( β ² + (1 + ( C ₄ +ν y ) ² )( W ') ² ), ν=γ / C ₃, C ₄ = C ₂/ C ₃.

Систему уравнений (13) удается свести к квадратурам, которые выражаются через эллипти- ческие интегралы.

Построенное решение можно использовать для описания пластического течения слоя, сжи- маемого жесткими плитами ортогональными оси oz.

Запишем систему (6) в цилиндрической системе координат r , θ , z .

∂rσr+r-1∂θσrθ+(σr-σθ)/r=0,∂rσrθ+r-1∂θσθ+2σrθ/r=0,

∂ _r σ _rz + r ^{- 1} ∂_θσ_{θ z} + σ _rz / r = 0, σ _r - p =λ∂ _r u , σ_θ- p =λ ( u / r +∂_θ v / r ), σ _z - p = 0, 2 σ _{r θ} = λ ( ∂_θ u / r + r ∂ _r ( v / r )), 2 σ _{z θ}=λ r ^{- 1} ∂_θ w , 2 σ _zr = λ∂ _r w ,

( σ _r -σ_θ ) ² + ( σ _r -σ _z ) ² + ( σ_θ-σ _z ) ² + 6( σ _r ² _θ+σ ² _{θ z} +σ _r ² _z ) = 6 k _s ² , ∂ _r u + u / r +∂_θ v / r = 0.

Ищем инвариантное решение на подалгебре Z ₃ + M , оно имеет вид u = U ( θ ), v = V ( θ ), w = W ( θ ), p = P ( θ ) +α ln r .                     (15)

Подставляя (15) в (14) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений d _θσ _r + ( σ _r -σ_θ ) =α , d _θσ_θ + 2 σ _{r θ} = 0, d _θσ _{r θ} + σ _rz = 0, σ _r - p = 0, σ_θ - p =λ ( U / r + V '/ r ), σ _z - p = 0, 2 σ _{r θ} = λ ( U '/ r + r ∂ _r ( V / r )),

2 σ _{z θ} =λ r ^{- 1} W ', 2 σ _zr =λ / r ,                                 (16)

( σ _r -σ_θ ) ² + ( σ _r -σ _z ) ² + ( σ_θ-σ _z ) ² + 6( σ _r ² _θ+σ_θ ² _z +σ _r ² _z ) = 6 k _s ² ,

U + V '=0.

Здесь штрих означает производную по θ .

Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

( X ( U ' - V ))' = a , X ( U ' - V ) = P , ( X W ')' = 0, 6 k ^ X"¹ = ( U '- V ) 2 + ( W ') 2 + 1.

Система (17) решается полностью аналогично системе (13).

Найденное решение можно использовать для описания пластического течения в сходящемся плоском канале с жесткими и шероховатыми стенками.

Другие решения системы уравнений (1) можно найти в [11].

Заключение

В работе изучен класс уравнений, который назван уравнениями, описывающими пространственное двумерное деформированное состояние. Для этих уравнений найдена группа точечных симметрий, допускаемая ими в смысле Ли. Показано, что двумерное напряженное состояние – это есть суперпозиция плоского напряженного состояния и кручения вокруг оси z . Построены несколько инвариантных решений этих уравнений.