Пространственные эконометрические модели на панельных данных

В последнее время в эконометрическом сообществе наблюдается усиливающийся интерес к оцениванию различного рода зависимостей социально-экономических показателей, основанных на панельных данных. Подобный вид данных представляет собой наблюдения по определенным объектам (районам, штатам, регионам, государствам) за несколько периодов времени. По сравнению с регрессией, оцениваемой на кросс-секционных данных, эконометрические модели на панельных данных дают исследователю более полную информацию о проистекающих социальноэкономических процессах. Также использование панельных данных при моделировании зависимостей позволяет учитывать специфические эффекты, обусловленные расположением объектов в пространстве – так называемые пространственные эффекты (spatial effects).

Пространственно-регрессионные модели имеют достаточно широкое применение, зачастую они используются при анализе рынка труда, при моделировании экономического роста, при оценке последствий осуществления различных экономических, социальных и политических реформ.

Линейная регрессия на панельных данных с учетом пространственных эффектов имеет следующий вид:

Ун = ^ it в + M _t + S t

Где i – индекс, идентифицирующий объекты наблюдения, t – индекс для фактора времени, y_it - зависимая переменная, X t_t - вектор независимых переменных, β - вектор фиксированных, но неизвестных параметров, µ -коэффициент, отражающий влияние пространственных эффектов, S t -независимо распределенные ошибки.

Также в регрессионную модель зависимая переменная может включаться с учетом ее пространственных лагов (Spatial Lag model), либо модель может оцениваться с учетом авторегрессии в остатках (Spatial Error model).

Суть модели пространственного лага состоит в том, что результирующая переменная также зависит от результирующих переменных соседних наблюдений (уровень минимальной заработной платы в одном регионе косвенно зависит от уровня МЗП в соседнем регионе и т.д.). Математически SLM записывается в виде:

У it = ⁵ Z j=i ^уд₊ х_и ^в + ^ + S it

Где § - коэффициент пространственной авторегрессии, W ij - элементы матрицы пространственных весов порядка N.

При оценке модели пространственной авторегрессии метод наименьших квадратов дает несостоятельные оценки из-за корреляции пространственного лага эндогенной переменной с вектором ошибок, поэтому коэффициент детерминации оказывается сильно завышенным, а оценки коэффициентов – смещенными. Поэтому для оценки пространственно-регрессионных моделей, в том числе моделей пространственного лага, применяют метод максимального правдоподобия либо метод инструментальных переменных.

Матрицы пространственных весов учитывают степень соседства объектов, при этом помимо географического расстояния используют также понятие экономического расстояния, например, скорость доставки грузов, время перевозки пассажиров. Матрицы пространственных весов должны быть квадратными. При этом главная диагональ матрицы состоит из нулей. Таким образом, исключается влияние объекта самого на себя. Строки матрицы содержат веса, с которыми соседние объекты влияют на данный объект. На практике матрица пространственных весов приводится к нормализованному виду, то есть сумма весов по каждой строке матрицы равняется единице.

Наиболее часто на практике применяют следующие типы матриц пространственных весов:

• •     матрица граничных соседей;

• •     матрица ближайших соседей;

• •     матрица обратных расстояний.

Одна из распространенных в практике матриц пространственных весов - матрица граничных соседей i и j, имеющая вид:

• 1 0,    i = j ;

  W ij = 1

  
  

• 1,    j граничит с i ;

  
  

0, j не граничит с i .

Подразумевается, что на регион i влияют исключительно соседние с ним объекты j, то есть влияние регионов, не имеющих общих границ с исследуемым объектом, равно нулю. Недостаток использования матрицы граничных соседей в том, что для равномерности распределения влияния друг на друга объекты должны быть примерно однородны по площади.

Второй вид пространственных моделей - пространственная модель ошибок - в общем виде записывается следующим образом:

У /t = * it в + Ц^ Ф_и

4а) ^ф _i t = Р YU* ) ф _it ⁺ S it

4б)

Где ф_с - автокорреляционные пространственные ошибки, р -коэффициент пространственной автокорреляции.

Построение пространственной модели ошибок позволяет корректировать значения коэффициентов при независимых переменных с учетом пространственного взаимовлияния экономических объектов. К примеру, изменение величины одного макроэкономического показателя в конкретном регионе может происходить по причине изменений в экономике в соседних регионах.

Оценивание пространственной модели ошибок производится также, как и для моделей пространственного лага, с помощью метода максимального правдоподобия либо метода инструментальных переменных для исключения проблемы смещенных оценок.

Таким образом, преимущество пространственной регрессионной модели перед «обычной» регрессией заключается в том, что включение пространственного фактора позволяет учитывать особенности исследуемых объектов, обусловленные их географическим расположением, а также территориальной близостью по отношению друг к другу.