Пространственный расчет упругопластических составных стержней

В настоящей статье исследуется поведение под нагрузкой пространственно-деформируемого составного упругопластического стержня, имеющего переменное сечение по длине. Тонкостенные ветви открытого профиля, составляющие стержень, соединены между собой структурными связями в виде раскосов, распорок, планок или перфорированных листов. В работе применяются основные положения общей теории составных стержней, разработанной А. Р Ржаницыным [4]. Для материала ветвей составного стержня устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжением. Используется гипотеза о нелинейно-упругом материале, основанная на теореме, доказанной Л. М. Качановым в [2], согласно которой при активной пластической деформации поведение упругопластического тела неотличимо от поведения нелинейно-упругого тела.

Исследование стержня базируется на использовании системы дифференциальных уравнений, полученных в [4] и описывающих напряженно-деформированное состояние упругого пространственно работающего составного стержня постоянного сечения по длине с упругоподатливыми связями сдвига, имеющими постоянную жесткость по длине стержня, и абсолютно жесткими поперечными связями. Геометрическая неизменяемость поперечного сечения стержня обеспечивается часто поставленными поперечными диафрагмами жесткости. Эта система уравнений предназначена для определения усилий в продольных связях сдвига в n швах составного стержня. В данной работе осуществлена замена указанной системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях [3], в которую введены параметры, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность решаемой задачи. Ось составного стержня делится по длине на m равных частей с образо- ванием участков между смежными сечениями и (j’ +1) длиной c . Используется метод шагового нагружения конструкций [1].

Полная система дифференциальных уравнений, включающая в себя уравнения приращения сдвигов в швах составного стержня и уравнение стесненного кручения составного стержня в целом, в конечно-разностной форме примет вид

А2Т(к)Кс2^к)) = Г(k)^(k) - + airТ<к^k),- + g (c ^gi ) j g.g + ^id) igj,iij + i=1

bg _T(k )£ k )      cg kk)_§⁽.k )     ^⁽ k ) _

+ ^ gri ^i . gri ⁺ Z^ luj ig) , luj ⁺ igi ,0           /11

r = 1                 l , u = 1                                   ⁽⁾

-e g ) c ) a< )/ c ^ j ,

(k) 2 (k) 2     (k) (k)       (k) n (k) (k)

Cωj Δθj / c - Ctj θj = -Bωj - ∑ Tigj ωigj , ig=1

где ^ g ) - коэффициент жесткости связей сдвига ig -го шва, соединяющего между собой i -ю и g -ю ветви составного стержня, на k -м шаге нагружения; T gk ) - суммарное сдвигающее усилие в ig -м шве, накапливаемое по длине составного стержня от его начала до i -го поперечного сечения;

z j

T j = f Tg ) dz ,               (2)

о здесь Tg) - сдвигающие усилия, действующие в ig -м шве составного стержня на к -м шаге нагружения;

д 2Т^(к >  igj

_г ⁽ к ) _эт^{( к} ) . т^{( к} ) ig , j + 1 ² T igi ⁺ T ig , j - 1 ,

A 2 e j^k ) = e J + 1 - 2 e j^k ) + e j - 1 ;           (4)

aig - число связей сдвига, соединяющих i -й стержень с другими стержнями (не считая g -го стержня); big - число связей сдвига, соединяющих g -й стержень с другими стержнями (не счи- тая i -го стержня); cig - число связей сдвига, не примыкающих ни к i -му, ни к g -му стержню.

Коэффициенты при неизвестных и нагрузочный член в (1) определяются из выражений

,( k ) ₌ ( ® Г ₊ _CA yj^ .   (^ ')²     1___ 1

° ^igj , ig      _r( k )        n                   n                   -( k ), Щ k ),

C ® j          p equ ( k ) T          p equ ( k ) T      E cija A j    E cgja A gj

Z E1 dj  Jxdj  Z E 2 dj  Jydj d=1                 d=1

Arn( ^k W ^k ) C( k ) _ ^A ® igj ^A® ilj ^O igj . ilj _r) k )

C ω j

Av ( ^k W ^k )     Ax( ^k W ^k )       1

^A y igj ^A y ij         ^{A x}igj ^{A x}ilj          1

+ n + n + T7( k ) д , Z E q ^m J xdj  Z E 2ed" ⁽ k ¹ J ydj  ^bc'^jaAj

( ^k W ^k )

( k )      ^A® igj ^A® grj

° igj . gr^j            k )

C ω dj

5 ⁽ k ), • = igj , luj

d = 1

( ^{k      k} )

Δ ω igj Δ ω luj

d = 1                  d = 1

Av ( ^k W ^k )      Ax( ^k ) Ax( ^k )

Δyigj Δygrj + Δxigj Δxgrj nn

Z E 2j ⁽ k ¹ J xdj  Z E 25 ⁽ k ¹ J ydj

-

E ( ^k ) A • , E cgja A gj

f ^{( k} )

C ω dj

d = 1

Av (k W k)     Ax(k W k)

+  Δyigj Δyluj   +  Δxigj Δxluj nn

Z E d ( k ¹ J xdj  Z E d ⁽ k ¹ J yd,

,

В ( ^k W ^k ) s ( k ) ₌ B® j ^A ® igj ^U ig^{j ,0}_r( k )

C ω dj

M x >  A y g

+-------- n

d = 1                  d = 1

M k A x ig

++

n

N ik    N j^k

-

Z e u ^{( k 1} J xdj  Z e d < k >  j ,dj

d = 1

d = 1

F ^{( k} ) A- F^{( k} ) A • ’ E cija A ij E cgja A gj

где A®ik), A®^), A®gj и A®^- разности сек-ториальных координат положения швов в j -м поперечном сечении, отнесенные к стержням i и g , i и l, g и r, l и u соответственно при к -м шаге нагружения (ветви l и u не являются ни i -ми, ни g -ми ветвями); Axigj и Ayigj, Axij и Ayuj, Axluj и Ayluj, Axluj и Ayluj - разности координат центров тяжести j -х поперечных сечений ветвей i и g , i .и l, g и r,, l и u, составляющих стержень; E2d“( ) и E2d“( ) - эквивалентные модули деформаций для j -го поперечного сечения d -й ветви составного стержня, учитывающие сжимаемость оси ветвей стержня, влияние деформаций сдвига материала ветвей и развитие пластических деформаций при их изгибе в плоскостях y0z и x0z соответственно на к -м шаге нагружения; ECka и EC j - секущие модули деформаций для осевых волокон j -х поперечных сечений i -й и g -й ветвей стержня соответственно при k -м шаге нагружения; Aij и Agj - площади j -го поперечного сечения ветвей i и g соответственно; Jij и Jgj - эквиториальные моменты инерции j -го поперечного сечения ветвей i и g соответственно; b®., - внешний бимомент в j -м поперечном сечении составного стержня на k -м шаге нагружения; Mxj' и My j - изгибающие моменты в j -м поперечном сечении составного стержня от внешней нагрузки при изгибе в плоскостях y0z и x0z соответственно на к -м шаге нагружения; Nj) и Ng) - продольные силы в j -м попереч- ном сечении ветвей i и g составного стержня от внешней нарузки на к -м шаге нагружения; C®) и Ctj) - жесткости при стесненном и чистом кручении соответственно j -го поперечного сечения составного стержня при k -м шаге нагружения.

В ы ражения для определения E ₁ ²d^{u (} ) и E ‘edj ⁽ ) были получены и опубликованы нами ранее [5]:

Eequ ( k ) =

Её/ju ( k ) =

М ^{( k-1)}h л      ^{( k -1)})

^Mxdj h ydj ^{(1   fc} odj )

(л. с ^{( k -1)} _ (k^{k -1)}/,   n‘^{( k -1)} v

^{( a} ^ 12 dj     ^Y ydj h ydj Q ydj   ) J ^xdJ

м ^{( k-1)}h л (\-£⁽k ^-1))

^M ydj h xdj ^{(1 b} odj )

^{( k -1)}_зХ ^{k -1)}z,  o^{,( k}—Nj л-

^{( Ab} 23 dj     ^Y xdj h xdj Q xdj   ) J ydj

где M g kJ ) и M yd ^- ) - изгибающие моменты в j -м сечении d -й ветви стержня, возникающие при изгибе в плоскостях y 0 z и x 0 z соответственно на ( k - 1) -м шаге нагружения; h_yd j и h_xd j - высота j -го поперечного сечения d -й ветви стержня при изгибе в плоскостях y 0 z и x 0 z соответственно; e O kj ) - линейная деформация оси d -й ветви в j -м сечении при k -м шаге нагружения;

Ap( k - 1) _ -( k - 1) _ -( k - 1). ,-( k - 1) _ -( k - 1) _ -( k - 1). ^{a e} 12 dj = ^e 1 dj ^e 2 dj ; ^{a e} 23 dj = ^e 2 dj ^e 3 dj ;

р ( k - 1)  -( k - 1)    -( k - 1)

^e 1 dj   , ^e 2 dj ^{и e} 3 dj

-

краевые линейные деформации в трех продольных волокнах поперечного сечения d -й ветви, возникающие в соответствии с гипотезой плоских сечений от продольной силы N dk ^- ) , изгибающих моментов M X^к-^ и M d 9, действующих в двух главных пло скостях инерции j -го поперечного сечения; / d j ^и W" углы сдвига на j -м участке d -й ветви стержня от единичной поперечной силы при изгибе в плоскостях у 0 z и x 0 z соответственно на ( к - 1)-м шаге нагружения; Q ' d^- ) и Q ' dj” ) - первые производные от поперечных сил, действующих в j -м сечении d -й ветви стержня при изгибе в плоскостях у 0 z и x 0 z соответственно на ( к - 1) -м шаге нагружения, которые в конечно-разностной форме имеют вид:

шаге нагружения составного стержня; M /j ^- ) -крутящий момент в j -м поперечном сечении составного стержня, по)лученный при ( d - 1)-м шаге нагружения; ad)- ) - секториальная координата места расположения и -го волокна j -го поперечного сечения d -й ветви составного стержня при ( d - 1) -м шаге нагружения;

V j^{k - 1)} = ( j ^{- 1}) - v j -^{- 1)} )/2,

мА ^{( d - 1)} — (А^{-к - 1)} — ^{( к - 1)} + (^кА^<г^{к - 1)} —А^{(к -1)}3/2 П ^ ³ V j    = ⁽ ^ j + 2    2 V j + 1 + 2 V j - 1     V j - 2 ^)/2 . ⁽¹²⁾

Выражения для определения жесткостей C a jj и C j ) имеют вид:

Q .^-1 - ( Q yd - j + 1 - Q y S- ‘ - 1)/(² c ), q S"¹¹ - ( q X k ':, - q X к -Здо c ).

Для определения деформаций e ⁽ k 1) , E ,' k, 1) , ( к - 1) (к - 1) ¹ dj ² dj

E dj и e O _dj контур s j -го поперечного сечения ветвей стержня делится на p участков с и -м волокном на границах смежных участков. Линейная деформация в каждом и -м волокне j -го поперечного ) сечения d -й ветви составного стержня Е и - ¹) является функцией следующих параметров:

np

Nl ¹=nj e cк л s ) J * d - °( s ) ds ,    (13)

d=1u=1 Su np

C j ) = ZZj G ) dd A s ) J dj (s s ) ds .      (14)

d = 1 v = 1 _S u

с ^{( к - 1)} — Д ^{к - 1)}fp^{( к - 1)} р^{( к - 1)} р^{( к - 1)} Д ^{к - 1)}з    ПОЗ

^E dj u   = ^E dj u ^{( Е} 1 dj   " ‘ 2 dj , ^Е 3 dj , ^E to dj v ), ⁽¹⁰⁾

где Е^и - линейная деформация от стесненного кручения в и -м волокне j -го поперечного сечения d -й ветви составного стержня при ( к - 1) -м шаге нагружения.

Параметры, от которых зависит функция Е ) - ¹) , определяются из решения системы уравнений равновесия

где E Cd^- ) ( s ) - функция, построенная путем интерполяции по значениям секущего модуля E ( dj ” ) в узловых точках и контура s j -го поперечного сечения d -й ветви при ( к - 1) -м шаге нагружения; j a kd - ) ( s ) - момент инерции при стесненном кручении единицы длины линии профиля s j -го поперечного сечения d -й ветви при ( d - 1) -м шаге нагружения; G dj ^{- 1)} ( s ) - функция, построенная путем интерполяции по значениям модуля сдвига G dd U ) в узловых точках и контура s j -го поперечного сечения d -й ветви при ( d - 1) -м шаге нагружения; J^ dkj (s ) - момент инерции при чистом кручении единицы длины линии профиля s j -го поперечного сечения d -й ветви при ( d - 1) -м шаге нагружения; s _v - длина и -го участка конту

_Nint( к - 1)/-( к - 1) -( к - 1) -( к - 1)  ( к-1)x__N(к - 1)

N dj      ^{( Е} 1 dj   , ^Е 2 dj , ^E 3 dj   , ^b to dj v ) = N dj ,

_Mint( к - 1)z-( к - 1) -( к - 1) -( к - 1)   ( к - 1)х   ,,( к - 1)

M xdj     ^{( Е} 1 dj   , ^Е 2 dj  , ^E 3 dj   , ^E to dj v ) = M xdj  ’

_Mint( к - 1)z-( к - 1) -( к - 1) -( к - 1)   ( к - 1)z_ ,,( к - 1)

M ydj     ^{( E} 1 dj   , ^E 2 dj  , ^E 3 dj   , ^E to dj v ) = M ydj  , ⁽¹¹⁾

ра s поперечного, сечения.

Величина E ^;dj - ) определяется по диаграмме деформирования материала d -й ветви в зависимости от E dL - ) , получаемой при решении системы (11).

Модули G dk - ¹) и E C d u ¹) связаны между собой зависимостью

с ( к - Cω j

' ¹⁾ A 3 v j^{k -1)} / c 3 - C j ^-1) A V j^{k -1)} / C =

e ^{( k -1)} __Д2/3^{( k-1)}т^{(к -1)} /г2 ^E a dj u = ^azy j     ® dj u / ^{c 2} ,

- M /j ^{- 1)}

( к - 1) _

G dj υ  ⁼

Е ( ^к - ¹) E cdj υ

2(i+ ^ dj „ -¹¹)'

где N d*^{k - h} M xd^k "» , M j ^{- 1)} - выражения для определения главного вектора и главных моментов эпюры нормальных напряжений в j -м поперечном сечении d -й ветви после ( к - 1)-го шага нагружения; N d^{к -} ) , M Xk ) , M yd ^- ) - продольные сила и изгибающие моменты, действующие в главных плоскостях j -го поперечного сечения d -й ветви, полученные при ( d - 1) -м

где p dd y 1) - коэффициент Пуассона, определяемый по формуле:

U ( к - 1) ^μ dj υ

1 1 E Cd -^{- , )}(1 - 2 p o ) -⋅

2 2       E o

здесь E o и p o - модуль деформаций Юнга и коэффициент Пуассона в начальной точке диаграммы деформирования материала.

Положение центра жесткости в j -м поперечном сечении составного стержня, необходимое для определения tydЦ1 и J^kj^(5), устанавливается относительно произвольной декартовой системы координат x и у с использованием выражений cj-1) = (П -Пj»), (17) c(к-1) = (П<^ -П6-^/(П^ -Пj»), (18) где nn

ТУ^{( к - 1)} — V eqeuiu ⁽ к ^{- 1)} Г V pequ ⁽ к ^{- 1)} г

П1 j   = / , E1 dj     J xdj / , E 2 dj     JУdJ, d=1

nn

П ( к - 1)- V^ equ ( к-1)Т , V F^еЧ^и ( к - 1) T ,

П 2 j = / E1 dj Jxydj / E 2 dj Jxydj , d=1

nn

<■-1)=/ e(к-1) Jxdj (/E-d*(к-1) Jydjbxdj+ d=1

n

+/E-j <к-1) J^lj d=1

nn п j"=/Ed*(к-1) Jxd (/ e^ <к-,) J,djb„j + d=1                  d=1

n

+ / ^E-j ^{1 к - 11} j ).

d = 1

nn

^ПЙ ^{- 1)} = / ^E2d ^{( к - 1) J}ydj ( / ^E-d* ^{( к - 1)} J xydj b xdj + d = 1                  d = 1

n

+ / E d* < ^{к - l)} J ,dj b ,_dj ), d = 1

nn

П?;" = / E ed* ' ^{к - 1}> J_x ,dj (/ E d < ^{к 11} J ydj b xdj + d = 1                  d = 1

n

+/Ed< к-1> Jxydjbydj), d=1

где bxdj и bydj - координаты центра тяжести j -го поперечного сечения d -й ветви относительно осей x и у соответственно; Jxdj и Jydj - экваториальные моменты инерции j -го поперечного сечения d -й ветви относительно осей x и у соответственно; Jxydj и Jyxdj - центробежные моменты инерции j -го поперечного сечения d -й ветви относительно осей x и у соответственно.

Коэффициенты жесткости связей сдвига g ig ) определяются по формулам, приведенным в [4], но с использованием за пределом упругости эквивалентного модуля деформаций, если элементы связей работают на изгиб (по аналогии с E -q* ^{( к} ) или E 2-dy ^{( к} ) ), и секущего модуля деформаций, если элементы связей работают на осевую силу (по аналогии с E c j или E cj ).

Для определения перемещений составного стержня Z(к) и п(j*) в плоскостях у0z и x0z система уравнений (1) дополняется уравнениями изгиба nn

/ E -dj* ^{( к} ) J xdj ■ A 2 Z ^k ) / c 2 + / т д ) А у д + m x* ) = 0, (20)

d = 1                                  ig = 1

nn

/ E -d ⁽ k ) J ydJ ■ А 2 п * > / c 2 + / T g* ) A x g + M у* ) = 0, (21) d = 1                                   ig = 1

где M X ) и M ^(k ) - выражения для определения изгибающих моментов в главных плоскостях инерции j -го поперечного сечения стержня, составленные с учетом влияния перемещений z X ) , п j* ) и df ) ;

A ² Z ⁽j* ) = Z j + 1 - 2 Z : ^k ) + Z j - 1 ,          (22)

А² П ** ) = n J + 1 - 2 п ** ) + n j- 1 .          (23)

Привлекая граничные условия, вышеприведенные выражения позволяют выполнить пространственный деформационный расчет неупругого составного стержня. Результаты деформационного расчета могут в дальнейшем быть использованы для проверки устойчивости составного стержня путем подстановки их в определитель, составленный из коэффициентов при вариациях независимых переменных проварьированной системы уравнений равновесия. Равенство этого определителя нулю будет свидетельствовать о критическом состоянии составного стержня [6].